高效數學課堂，從講透例題開始

柳金晶

摘 要：隨著新課程理念的不斷深化，如何打造輕負高效的課堂已成為一線教師急需解決的問題。提高課堂教學效率需要教師充分理解教材，揣摩教材編寫專家選擇例題的用意。不但要思考例題與本堂課知識點的關聯，還要考慮與接下來所學知識的聯系，做到知識點的深化與可持續發展。學生能夠將同一知識點運用于不同的情境中，正是學以致用這一教學目標的最好詮釋。所以教師必須把知識點講透，特別是承載了知識點的經典例題。

關鍵詞：“馬飲水”模型；情境教學；高效課堂

課本中的例題是經過學科專家精挑細選的，教師的任務就是把例題講透。所謂講透題目，就是不但要講清例題與本節課知識之間的關系，還要教會學生在不同情境中靈活運用知識，并注重與其他學科的互相滲透。講透題目是高效教學的必然要求，下面我通過“馬飲水”模型的教學來進行說明。

原題是浙教版八年級上冊50頁例2，題目為：直線l表示草原上的一條河，一騎馬少年從A地出發，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中，他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線。

解答此題比較容易，即作點A關于直線l的對稱點，對稱點與B的連線與l的交點就是所求的點。這樣操作的可行性，可以用兩點之間線段最短（或者三角形的兩邊之和大于第三邊）來解釋。教師要思考這一例題放置的位置是圖形的軸對稱這一課時，所以要把軸對稱的本質體現出來，即抓住本質，形成模型。事實上，這是一個典型的“馬飲水”數學模型。它的本質是，在軸對稱圖形中，尋求一動點到兩定點的距離和最短。這一模型的考查非常多，下面通過不同的問題情境，與其他學科的滲透以及問題的深化三個方面來進行說明。

一、不同情境下的數學問題

首先是不同的幾何模型。幾何是初中數學的一個重要組成部分，幾何圖形的考題千變萬化，比如“馬飲水”模型就可以放入各種基本幾何圖形中（一般是軸對稱圖形）。

情境1：等腰三角形

如圖，已知在等腰△ABC中，∠ABC=120°，P是底邊AC上的一個動點，M、N分別是AB、BC的中點，若PM+PN的最小值為2，求△ABC的周長。

情境2：正方形

正方形ABCD的周長為8，點E是線段AB的中點，點P是對角線AC上的一個動點，求PE+PB的最小值。

情境3：圓

AB是⊙O的直徑，OC是⊙O的半徑，OC⊥AB，OC=1，點D在弧AC上，弧AD是弧CD的2倍，點P是半徑OC上的一個動點，那么AP+PD的最小值是多少？

事實上，只要具備軸對稱的圖形都可以出這類考題，比如菱形、等腰梯形等等。由于篇幅的原因，就不再贅述。

其次是不同的函數圖像。由于“馬飲水”模型的本質是軸對稱性，所以它的應用不僅可以是幾何圖形，還可以是具有軸對稱性的函數圖象。初中學習的函數圖像都具備軸對稱性，所以這一知識點也可以放在函數圖像上。下面就舉雙曲線與拋物線兩個例子。

情境4：雙曲線

點A、B是雙曲線y=上的兩點，其中A（2，3），B（3，2），在直線y=-x上找一點P，使PA+PB的值最小。

情境5：拋物線

已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上。

（1）求a的值；

（2）求點B關于x軸對稱的點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求點Q的坐標。

二、滲透在其他學科中

理科的學習總會有許多的聯系，其中物理學科與數學學科的關系就很緊密。比如光線的傳播，總是按照最短路線進行的，與數學中的最小值很相似。下面就舉一個光線反射的例子。

例.一束光線從y軸上的點A（0，2）出發，經過x軸上點C反射后經過點B（6，6），則光線從點A到點B所經過的路程是多少？

三、同一知識點的繼續深化

如圖，一牧民從A點出發，到草地MN去喂馬，該牧民在傍晚回到營帳B之前先帶馬去小河邊PQ給馬飲水（MN、PQ均為直線），試問牧民應走怎樣的路線，才能使整個路程最短？（簡要說明作圖步驟，并在圖上畫出）

總之，數學教學是一份富有創造性的工作，要提高工作的效率，教師必須要充分利用好教材，把教材中的例題講透。只有這樣，才能讓學生擺脫題海戰術，為學生的減負做一點切實有效的事。

參考文獻：

王淑敏.新課改背景下提升初中數學課堂教學效率的策略研究[J].新課程，2015（11）：137.

編輯 趙海宏