對一道不適合六年級學生習題的思考

沈亞

[摘 要]通過對一道題的分析，提出質疑，明晰教師應對學生的練習進行思考，使練習適合學生的思維能力和知識基礎，讓學生得到更好的發展。

[關鍵詞]教材 正方體 思維 空間觀念 能力

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）20-024

2013年第10期《中小學數學》（小學版）刊登了童義清老師所寫的《教材能否再多編一題》一文，童老師在文章中說教學六年級總復習時遇到這樣一道填空題：“由幾個相同小正方體搭成的立體圖形，從正面看到的是，從左面看到的是，這個立體圖形至少是由 個小正方體組成的。”

童老師班上的大部分學生，也包括童老師，認為是由6個小正方體（如圖1）組成的。課堂上，生1站起來反駁道：“我不同意，我認為是由5個小正方體組成的。”其他學生聽后一頭霧水，生1操作（如圖2）后，其他學生才恍然大悟。童老師對此進行了深刻細致的剖析：“全班60多名學生幾乎沒有人想到這種方法，這或許跟我們教材編排的思路有關。通過對比北師大版教材、蘇教版教材以及人教版教材，發現這些教材中凡是涉及由小正方體搭成的立體圖形題，都是把小正方體有序緊密地進行排列，要么是直直的一行，要么是直直的一列，每個小正方體都至少有1個面和其他小正方體重合（如圖3），卻很少出現面不重合且只有棱重合（如圖4）的情況。”

因此，童老師認為由于教材上很少出現這種情況——小正方體面不重合而棱重合，所以學生憑借從教材中獲得的知識和經驗進行初步判斷時出現了偏差。

仔細拜讀之后，我很佩服童老師對各種不同版本教材細心解讀的精神，讓我深刻地感受到一線教師對教材的大膽質疑與不同設想，但童老師文章中的一段文字引起了我的思考：“生1擺出的這個圖形不是很復雜，相反少了1個正方體（如圖2），顯得更加簡單。”這里，我不禁問道：“如果更顯簡單，為何60多名學生（也包括童老師）幾乎都沒有想到這種方法？”當然，童老師歸結的原因是跟教材編排的思路有關，而且進行了細致入微的闡述，但我并不認可童老師由此得出教材需要再多編一題這樣的結論，因為將三視圖還原實物幾何體的時候，由三視圖（正面、上面、左面）可以準確地確定實物圖的形狀。生1擺出的這個圖形看似并不復雜，但是回到題目原點就會發現：此題根據兩個方向（正面、左面）的視圖還原實物圖，對于空間觀念尚在建立階段的小學生而言是極不合理的。主要理由如下：

（1）很難確定這個實物圖需要小正方體的具體數量。

（2）還原這個立體圖形至少是由 個小正方體組成的，不僅要想象出可能的實物圖，而且要從中選出最少的個數。

（3）只根據兩個方向觀察的平面圖形，還原實物圖的可能性眾多，具有不唯一性。

（4）還原面不重合，只有棱重合，這一特例處于一般人思維的盲區：從正面看，至少需要5個小正方體；從左面看，右側至少還要添1個小正方體，所以自然而然地認為至少要6個小正方體。

（5）我先生是搞建筑設計的，看到這樣的題目，送我一句話：“題目不完整，容易讓人產生歧義。”同時，他明確地表示：“既然要還原實物圖，那么通常要提供必要的三視圖（正面、上面、左面），否則就很難準確還原。”

看他對這種題目不屑一顧的樣子，更激起了我的好奇心，商量著讓他還原出實物圖，開始他猶豫了一下，而后畫出結果（如圖5）。我笑后給出生1的方法，他搖搖頭又來了一句：“這種題目也太怪了。”這不由得讓我想到一句笑話：“小學一年級的數學思考題難倒大學老教授。”

而后在我的再三請求下，他給我畫了兩幅由三視圖還原的實物圖，從中可以清楚地比較出由6個和5個小正方體搭成的圖形，我發現正視圖和側視圖是一樣的，只有俯視圖有明顯的區別（如圖6）。由此可見，要準確還原實物圖的確需要由三視圖來支撐，否則真的有些強人所難了，更何況是對小學生而言。

細讀文章后，我認為童老師在備課時應該沒有考慮到這一題的難度，原文如下：“這道題是考查學生對空間幾何體三視圖與實物圖的相互轉化能力，由于是復習課，多數內容比較簡單，所以課堂上我沒有準備小正方體學具。”顯然，童老師沒有用小正方體來引導學生進行觀察、操作等活動，而是直接讓學生憑借已有的知識經驗抽象、概括出結論。童老師很可能課前沒有將這題進行研究，才會在初步判斷時也認為答案是6個小正方體。我根據自己多年的教學經驗得出：讓學生練習的題目，教師必須試做，才能了解題目的深淺程度，預設學生可能出現的錯誤。不可否認，就這題的難度而言，試做后有可能使學生的錯誤率降低，但并不能完全避免學生錯誤的發生。如果發現題目的難度過大，教師完全可以自行改編或者直接刪除。

童老師建議教材在編排例題或練習時，涉及小正方體還有可能出現面不重合而棱重合的情況，但童老師對這一題沒有注明出處，只是寫道：“教學六年級總復習時，我與學生遇到……”由此可以推測，此題很有可能是教輔用書上的，而并非出自正規教材。現如今充斥市場的是各種各樣、名目繁多、盈利性強的教輔用書，那數量真是鋪天蓋地，質量卻是良莠不齊。我個人認為：“出這道題目的人極有可能運用正向思維，考慮的也是由6個小正方體搭成的圖形，只是沒考慮到解決問題的人可能運用逆向思維，即根據兩個方向（本題是正面、左面）觀察到的平面圖形還原實物圖，而且涉及面不重合但棱重合這一特例。基于此，確實沒有必要一一羅列所有的可能。”

我認為，這種題目的出現只會增加小學生學習空間幾何體的難度，不利于他們空間觀念的培養。空間思維是一種復合思維，快速、高效是它的兩個顯著標志。而且，此題的難度遠遠超越了小學生空間思維能力的極限，練習之后，反而會影響學生已經建立的空間觀念，導致他們容易和已有的知識儲備、個人經驗產生混淆。另外，先不論這種練習是否會打擊學生學習數學的興趣，降低他們學好數學的熱情，如此的拔苗助長也是極其不可取的。而生1提出的方法，也從另一個側面說明此題的不合理。試想，如果沒有出現生1的方法，那么這道題的答案將毫無疑問是6個小正方體。如此不合理的題目才會引出錯誤的答案，追本溯源，又怎能將出現這種特殊情況的原因簡單地歸結為和教材編排有關？我認為童老師思考錯了方向，糾錯了責任方。不過，如果童老師先考慮不同版本教材共同的編寫意圖，再認真研讀課程標準，繼而調整思路，就會發現各種版本教材的編者沒有將這一特例引入教材的原因了。同時，《數學課程標準》（2013版）中明確指出：“空間觀念主要表現為能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與三視圖、展開圖之間的轉化。”這里清楚地說明此題超越了課程標準的范疇，從而失去了考查學生空間思維能力及知識掌握程度的價值，這樣的練習其效果適得其反。

文章的結尾處，童老師還提出這樣的建議：“試想，如果教材在編排例題或練習時，在保證基本要求能夠實現的基礎上，適當輻射小正方體還有可能出現其他的位置關系（如圖7），體現立體圖形與幾何圖形轉換情況的多樣性，就可以避免學生形成思維定式，更有利于適應不同層次學生的學習需求。”大膽設想一下，如果教材編者采納了童老師的建議，出現面不重合而棱重合的情況，那么類似這種的題目就可以堂而皇之地讓所有學生進行練習。那我們再回到此題，就會發現這道題并非只有生1出示的這一種擺法，還有多種情況（如圖9）。

請問：“這真的能更有利于適應不同層次學生的學習需求嗎？能讓學生更好地發展空間觀念嗎？”我認為此道題超出了教材的廣度，超越了課程標準的深度，超越了學生空間思維能力的極限。經查閱資料后，我發現：通過小正方體組合圖形的三視圖，確定組合圖形中小正方體的個數，在中考或競賽中經常會出現這樣的題型。可見，這類習題在小學數學課堂上作為研究素材顯然是拔苗助長，根本不合時宜的，又怎能不讓學生生畏呢？我認為，此道題只會增加學生學習空間幾何體的難度，不利于發展他們的空間觀念。對空間觀念尚在建立的學生來說，在這種問題上實在不必太過苛求；對于空間觀念本來就不強的學生來說，這種題目的練習無疑更是雪上加霜，也與我們現行教育所提倡“切實減輕學生負擔”的理念背道而馳。但愿出題的人能夠把握教材的本意，而我們一線教師更要準確地理解編者的意圖，精心選題，事先備題，才能讓更多的學生進行扎實有效的訓練，從而切實提高學生的數學素養。

數學的思想是化繁為簡，所以我們不能在數學上化簡為繁。教師對教學內容進行拓展、延伸應遵循一定的規律，不能隨意地對教學內容進行擴展，從而導致知識性的錯誤發生。由于上述這道題極具思考性，對于空間觀念特別強的學生而言，此題如果作為課外思維訓練，讓這類學生練習一下未嘗不可。

以上純屬個人觀點，如有不妥，敬請指正。我很愿意拋磚引玉，與大家共同進步。

（責編 藍 天）