基于建模的“雞兔同籠”教學(xué)

杭勇

[摘 要]“雞兔同籠”是一道非常有名且具有代表性的題目，根據(jù)基本的“雞兔同籠”模型又拓展出了很多同類型的題目。從建模角度出發(fā)，通過基本列表分析、嘗試建模、拓展應(yīng)用三個角度，為幫助學(xué)生理解雞兔同籠提供思路。

[關(guān)鍵詞]建模 列表 拓展 雞兔同籠

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）20-091

在傳統(tǒng)雞兔同籠教學(xué)中，教師大多使用的是使用基本的“砍腳法”“假設(shè)法”進行教學(xué)，但是學(xué)生如果碰到了“分?jǐn)?shù)”“錢幣”“人馬”等稍稍變換了的題目，就沒辦法用雞兔同籠的解題方法來分析。模型則是從本質(zhì)出發(fā)，以不變應(yīng)萬變，幫助學(xué)生建立起較為完整的思考模式，讓學(xué)生不但知其然，更知其所以然。

一、列表分析，打下基礎(chǔ)

在初識雞兔同籠的時候，教師可以用“笨”方法來讓學(xué)生有最為直觀的感觸，也就是利用列表的方式讓學(xué)生觀察雞和兔發(fā)生了怎樣的變化。

師：現(xiàn)在一共有7只雞和兔子，如果按照這個表（用PPT播放）來列，不同只數(shù)的雞和兔子分別有多少只腳呢？（生列表，師觀察，并帶動學(xué)生在板書中將列表補充完整）

師：你們在計算和列表的時候，發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：總只數(shù)是不變的，一直是7只，每減少1只雞增加1只兔子，就會多2只腳。

師：沒錯，那反過來呢？我想少4只腳，需要怎么做呢？

生2：那就得把2只兔子換成2只雞。

師：我想多8只腳呢？

生3：那就把4只雞換成4只兔子。

師：如果雞兔總數(shù)不變，我現(xiàn)在要24只腳，那么有幾只兔子幾只雞？

生4：5只兔子2只雞。加入都是兔子，那么7只兔子有28只腳，現(xiàn)在要去掉4只，就用2只雞來換2只兔子，所以是5只兔子2只雞！

在這個階段，學(xué)生更多的是用比較傳統(tǒng)有效的方法理清兔子和雞之間到底有什么關(guān)系，這個思考的過程需要教師巧妙、持續(xù)的引導(dǎo)。

二、嘗試建模，歸類分析

在第二個階段，就是要把之前所列的表格、總結(jié)的規(guī)律轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號構(gòu)成的模型，在將來遇到同類的問題時，只需將數(shù)據(jù)套入這個模型就能得到正確答案。

師：現(xiàn)在仔細(xì)觀察表格，頭數(shù)等于什么？

生5：頭數(shù)=雞頭數(shù)+兔頭數(shù)。

師：那兔頭數(shù)又等于什么？

生6：兔頭數(shù)=腳數(shù)÷2-頭數(shù)。

師：我們來驗證一下生6說的對不對。選20只腳，20÷2-7=3（對比表格），沒錯，就是3只兔子。我們再驗證一下這個表格之外的雞兔同籠用這個公式對不對。假設(shè)一共有20只，有44只腳，那么有幾只兔子幾只雞？

生7：44÷2-20=2，所以是一共有2只兔子，18只雞，2只兔子是8只腳，18只雞有36只腳，加起來一共是44只，也是對的。

師：看來我們總結(jié)的這個模型是正確的。

在第二個階段，是將現(xiàn)象劃為規(guī)律，并用數(shù)學(xué)符號表示出來，整個過程是由實（數(shù)據(jù)）轉(zhuǎn)虛（思考結(jié)果），再由虛（思考結(jié)果）轉(zhuǎn)實（數(shù)學(xué)模型）的過程，有些學(xué)生可能會適應(yīng)不了轉(zhuǎn)換的過程，需要教師注意引導(dǎo)和指導(dǎo)。

三、拓展應(yīng)用，開放思維

拓展部分需要教師將由雞兔同籠拓展出的問題列出來，在學(xué)生思路比較清晰的時候，及時穩(wěn)固。

師：除了雞兔同籠，實際上還有另外一種，那就是鶴龜問題。假設(shè)現(xiàn)在鶴龜一共有30只，有76只腳，誰知道有幾只鶴幾只龜？

生8：這個可以用雞兔同籠的模型，76÷2-30=8，有8只烏龜和22只鶴。

師：沒錯，實際上我們平時也經(jīng)常接觸“雞兔同籠”的問題。給你們舉個例子，警察查案子，需要知道車棚里有多少三輪車和自行車，看門的大爺說一共有10輛車，而照片只顯示一共有26個輪子，那么你們知道自行車和三輪車各有幾輛么？

生9：三輪車比自行車多1個輪子，假設(shè)全是自行車，那么就20個輪子，要換下來6輛三輪車才能多6個輪子，所以一共有6輛三輪車和4輛自行車。

師：很好，其實這個和雞兔同籠問題很像，如果讓你來總結(jié)這個模型的話，你覺得是什么呢？

生10：應(yīng)該是三輪車數(shù)=（輪子數(shù)÷2-車數(shù)）×2。

師：很好。給你們留兩個思考題（略），你們不但要計算出結(jié)果，還要把模型列出來，下節(jié)課我們再一起討論。

在拓展部分，教師要循序漸進，讓學(xué)生以雞兔同籠的思考模式進行思考，但又不能被局限在雞兔同籠的模型上，形成一個最終的模型。

模型強調(diào)的是一種思考模式，而不是死記硬背。雞兔同籠問題涉及范圍非常廣泛，也非常適合利用模型的思想來思考，教師要利用好這個特點，為學(xué)生構(gòu)架起系統(tǒng)的思考模式。

（責(zé)編 童 夏）