問題探索數學思維定式的雙重性及其教學對策探究

李中云

[摘 要] 本文在理解思維定式的內涵及其雙重性的基礎上，分別闡述了思維定式在數學教學中的積極作用和消極作用，并針對思維定式二重性的教學對策作了初步探討.

[關鍵詞] 思維定式；積極作用；消極作用

在初中數學學習中，學生由于以往經驗和記憶的影響，思維或多或少存在一定的定式，習慣于采用某種相對固定的思想方法去分析、解決問題. 此時，很多老師較多地關注思維定式的負面或思維定式的消極意義，而不能引導學生主動利用思維定式的積極作用，就急于打破這種思維定式. 事實上，我們可以把定式看作數學認知過程的一個靜態因素，我們在教學中不能籠統地反定式，而應正確定位思維定式的真實內涵和客觀功能，逐步建立和完善定式點，使它充分發揮積極作用，還要把負效應適時地轉化為積極作用，更好地培養學生的思維品質，使其思維能力向高層次發展.

思維定式的內涵及其雙重性

所謂思維定式，是指由于同一類問題多次使用相同的思維方法、思維策略獲得成功解決，因而遇到相近、相似（指實質而不是指外表）的問題時所做出的習慣性反應. 它常表現為思維主體在思維活動中按自身已形成的某種固定的經驗、模式、習慣去按部就班地考慮和解決問題，思維過程比較固定，很難跳出程序步驟的約束進行跳躍性思維和逆向思維.

思維定式所強調的是事物之間的相似性和不變性. 所以，新的問題相對于舊問題是其相似性起主導作用時，由舊問題的求解所形成的思維定式往往有助于新問題的解決，而當新問題相對于舊問題是差異性起主導作用時，由舊問題的求解所形成的思維定式則往往有限于新問題的解決. 所以，當兩次的思維活動屬于同類活動時，前次思維活動會對后次思維活動起正確的引導作用；當兩次的思維活動屬于異類活動時，前次思維活動會對后次思維活動起錯誤的引導作用. 由此可見，思維定式具有兩面和雙重效應，即在環境不變的條件下，定式使人能夠應用已掌握的方法迅速解決問題，有助于知識的學習和技能的掌握，能夠提高靈活應用知識和分析解決問題的能力；而在情境發生變化時，它則會妨礙人采用新的方法，干擾學習，是束縛創造性思維的枷鎖.

思維定式在初中數學教學中對

學生學習的影響

1. 思維定式在初中數學學習中有著積極的影響

建構主義學習理論認為，學習并非是學習者對知識的被動接納，而是在自己已有知識經驗基礎上的主動建構. 因此，學生在學習并探究新的知識時，往往會將學過的類似知識，或將新知識的特征與舊知識的特征進行比較， 發掘其相同或相似點，再將已有的知識和經驗與當前情境建立聯系，做出它們在另外的屬性上也相同或相似的推理，以實現知識遷移.

如學習分式的四則運算法則時，學生自然而然地用分數四則運算法則類比，從而使分式四則運算法則的教學無難度可言，教師需要做的只是解題方法技巧的訓練. 又如，有些學生會因為扇形與等腰三角形形狀相似，從而用三角形的面積公式類比扇形面積，得出S=lR的正確結論.

2. 思維定式在初中數學學習中的負面影響

學生在學習新知識、解決新問題時，易受一個個框框的限制，而不去改變思維的方向，不能多角度地、全面地、整體地看問題. 這種習慣性的思維當與問題的解答途徑不一致時，往往會形成負遷移，從而產生消極的影響，干擾、影響新思路的形成.

在初中數學學習中，由于思維定式的趨向性及專注性，學生在理解一個概念、熟悉一種解題方法后，在面臨新的條件要變換方法時，仍會運用常規的方法求解，導致解題的單一與呆板.

思維定式在初中數學教學中給

教師的啟示

1. 分析思維定式的形成過程，形成科學的思維定式

數學教學的目的在于建立符合數學思維自身要求的思維定式. 數學學習中，學生在面臨相似特征的問題時，能同已學過的知識或已解決的問題的特征進行比較，利用已有的知識、方法和經驗與當前問題情境的聯系，去識別與理解那些意義不明、特征不清、條件隱蔽的對象，從而為問題的解決做好準備，再通過同化或順應過程促進對新概念、新規律的認識與理解，形成正確的思維定式. 這種科學的思維定式，不僅是數學概念系統的重要組成部分，也是數學思維能力的具體體現.

如，數學概念的教學，如果就概念講概念，草率地把概念硬灌輸給學生，那么只能形成僵硬的概念定式；如果充分調動學生學習的積極性，從實際事例和學生的已有知識出發，通過分析比較，引導學生步步深入地揭示概念的內涵和外延，抓住事物的本質，那么學生頭腦中建立起來的就是積極的、活躍的“概念定式”，就會形成適合的定式思維.

2. 發揮思維定式的積極作用，促進思維定式正遷移

學生認識問題和解決問題的過程總是在已有定式的基礎上發生的，并利用已有的經驗按照一定的模式去解決. 正確、穩定的思維定式可使學生在解決類似問題時表現出習慣化、自動化，從而大大縮短解題的探索過程.

所以猜想錯誤.

3. 重視學生的數學思維訓練，消除思維定式負遷移

由于學生在解決問題時不擅長尋找和運用問題中所需的全部信息，只能從一個角度考慮問題，造成思維的封閉和單一. 因此，教學中，教師要善于打開學生思維的心扉，通過一題多變、一題多解、多題一解等一系列變式，呈現出一種動態，生動地展現在學生面前，引導學生融會貫通多種數學思想方法，從不同角度進行探索、發現，尋找更靈活多變的方法，從而不斷發展學生思維的廣闊性和靈活性，不斷提高其解題能力.

如，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD平分∠CAB. 求證：AC+CD=AB.

比較多的學生能夠找出其證明方法，但他們幾乎都會想到靠證明全等三角形使問題得證. 教師就請其中的代表來黑板板演其證明過程. 然后教師問同學們：可以不通過全等來證明嗎？在教師的啟發下，有學生發現如下證明方法.

證法1：過點D作DE⊥AB 于點E，則∠DEA=90°. 因為AD平分∠CAB，所以∠CAD=∠EAD. 又因為∠C=90°，所以 DC=DE（角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等）. 在△ACD和△AED中，因為∠CAD=∠EAD，∠C=∠DEA=90°，所以∠CDA=∠EDA. 所以AC=AE（角平分線上任意一點到角的兩邊距離相等）. 在△ABC中，由∠C=90°，AC=BC，得∠CAB=∠B=45°. 因為DE⊥AB，所以∠DEB=90°. 所以∠EDB=45°. 所以DE=EB. 所以AB=AE+EB=AC+DE=AC+CD.

教師充分肯定了該學生的證明方法，它是一種更優化的證明. 接著，教師鼓勵學生思考另外的證法. 既然可以把較長線段截短，那可以把較短的線段怎么做呢？于是比較多的學生思考到了下面的證明方法.

證法2：如圖1，延長AC至點E，使CD=CE，并連接ED. 因為∠ACB=90°，所以∠ECD=90°. 又因為CD=CE，所以∠CED=45°. 在△ABC中，由∠C=90°，AC=BC，得∠CAB=∠B=45°，又AD平分∠CAB，所以∠1=∠2. 在△EAD和△BAD中，因為∠AED=∠B=45°，∠1=∠2，AD=AD，所以△EAD≌△BAD. 所以AE=AB. 又AE=AC+CE=AC+CD，所以AB=AC+CD.

還可以找出第三種證明方法嗎？在教師的等待和鼓勵下，有學生找出了下面的證明方法.

證法3：如圖2，延長DC至點E，使得CE=AC. 因為∠ACD=90°，所以∠ACE=90°. 所以∠1=∠E=45°. 因為AD平分∠CAB，所以∠2=∠3=∠CAB. 因為∠ACB=90°，AC=BC，所以∠CAB=∠B=45°. 所以∠2=∠3=∠CAB=×45°=22.5°. 所以∠1+∠2=45°+ 22.5°=67.5°. 又因為∠4=∠3+∠B=22.5°+45°=67.5°，所以∠1+∠2=∠4. 所以EA=ED（等角對等邊）. 在△EAB中，因為∠B=45°，∠E=45°，所以EA=AB. 又EA=ED=EC+CD=AC+CD，所以AB=AC+CD.

綜上所述，在教學中發揮思維定式在數學教學中的積極作用，需要把負效應適時地轉化為積極作用，更好地培養學生的思維品質，促進學生的思維能力向高層次發展.