教學技巧從壓軸試題談拋物線教學設計

葛殷殷

[摘 要] 中考數學的壓軸試題離不開拋物線，往往對于拋物線相關性質的研究成為教學難點和關鍵，教師應選取合適的問題，在師生雙向交流基礎上，將問題中的拋物線模型總結和開發出來，加強學生對壓軸拋物線問題的理解和掌握.

[關鍵詞] 拋物線；初中；數學；壓軸；設計

在初三復習教學環節，拋物線問題成為教學的難點和重點. 近年來，中考壓軸試題往往以拋物線為載體進行設計，通過拋物線中問題的編制，考查學生對核心知識、方法的掌握程度. 壓軸試題如何研究呢？筆者認為這需要教師一定的積累，結合羅增儒教授提出的解題教學引論來說，復習教學的研究需要關注三個層次：其一是研究近年的相關原題，畢竟原題考查的是最核心的問題，也考查的是知識整合較全面的問題，教學這樣的問題對學生思維的啟發比較重要；其二是加強教師改編問題的復習，考慮到原題往往多次做過，學生對問題已失去新意，教師需要將壓軸問題的更多視角在改編問題中加以呈現，以拋物線為例，筆者在下文中改編了知識點考查頻繁卻不失新意的一些問題供教學之用；其三是提高學生對壓軸問題數學模型的抽象再認知，在進行一類問題的教學設計和設想時，教師應注重多角度知識的滲透、思維的啟發以及對學生情感、態度、價值觀的培養.

建立模型

問題 點D（0，1）為一定點，P是拋物線y=x2上任意一點，試說明點P到直線y=-1的距離與該點P到定點D的距離的大小關系.

近幾年，利用拋物線的定義命制的中考題備受青睞，而且大多以壓軸題的形式出現，由于學生的建模能力不強，這類問題成為學生的“障礙”，筆者擬以本題為背景建立數學模型，結合初中的基本幾何圖形及直角坐標系中的函數圖像等，把這類壓軸題巧妙轉化.

課堂探究

先在拋物線上任取幾個特殊點，計算出這些點到直線y=-1的距離及PD的長度，從中發現規律并進行說理.

說明 本題從特殊出發，讓學生尋找其發展規律，歸納出一般的結論并進行驗證，然后加以變式與推廣，旨在理解和掌握拋物線的定義這一核心知識，同時，有意識地挖掘和提煉其中蘊涵的數形結合、方程、函數、轉化等數學思想方法，使學生經歷觀察、試驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神.

解決問題

問題1 在直角坐標系中，已知點A（0，1），P為拋物線y=x2上一動點，探究：

（1）（2015年眉山市中考改編）已知點C（3，5），當點P位于何處時，△PAC的周長有最小值？并求出△PAC的周長的最小值.

（2）（2015年黃岡市中考改編）過點A的直線y=kx+b與拋物線交于M，N兩點，對于過點A的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切？如果有，請求出直線m的解析式；如果沒有，請說明理由.

解析 （1）如圖2，由模型可知點A（0，1）、直線y=-1為拋物線中的定點與定直線，易得AC=5，過點P作直線y=-1的垂線，垂足為點H，則有PA=PH，所以△PAC的周長=PC+PH+5. 因為當C，P，H三點共線時，PC+PH最小，此時點P的坐標為3，，△PAC的周長（最小）為11.

（2）易知點A（0，1） 、直線y=-1為拋物線中的定點與定直線，如圖3，過點M，N分別作直線y=-1的垂線，垂足分別為M′，N′，可得NN′=NA， MM′=MA，那么MN=MM′+NN′，作梯形MM′N′N的中位線PQ，由中位線性質知PQ=（MM′+NN′）=MN，即圓心到直線y=-1的距離等于圓的半徑. 所以存在直線y=-1滿足條件.

說明 學生在解決第（1）問的時候，對其中數據的處理、函數圖像的幾何特征已經比較熟悉了，這時教者趁熱打鐵，順勢利導，將兩道壓軸題的背景合二為一，設置于同一拋物線中，避免學生再次讀題、審題、理順關系，為課堂教學贏得了時間，既達到了命題者的考查意圖，又使學生感受到了數學的魅力，體驗到了數學的樂趣，克服了畏難心理，使學生增進對數學的理解和學好數學的信心.

問題2 （2015年天津市中考改編）如圖4，過點F0，作一直線交拋物線y=x2于P，Q兩點，若線段PF與QF的長分別是p，q，試判斷+=2是否成立，并說明理由.

解析 由模型推廣1可知，點F0，、直線y=-為拋物線中的定點與定直線，如圖5，過點P，Q分別作直線y=-的垂線，垂足分別為M，N，則PM=PF，QN=QF. 設點P的坐標為m，m2，則點M的坐標為m，-，又F0，，則可求得直線PF的解析式為y=x+，將其與拋物線方程聯立可求得點Q的坐標為-，，于是N-，-. 則p=PF=PM=m2+，q=QF=QN=+. 所以+=2. 所以+=2成立.

說明 本課以拋物線為背景，將多個中考問題進行了有效改編，問題之間存在著相互聯系，通過改編類似問題，能讓學生了解問題解決過程中重要的知識結構，只有研究更為深刻的知識才能將壓軸題背后的本質講解得更為清楚. 筆者認為，不斷加深對中考壓軸類似問題的探索以及改編問題的嘗試，才能將拋物線中更多被考查的知識點融入學生的腦海中.

總之，教學必須依賴問題，特別是近幾年的熱點問題，教師要對熱點問題進行研究，并組織合理的課堂教學設計，如本課將拋物線中的三角形周長、定值等問題整合到教學中，盡管以壓軸問題形式進行體現，但學生在環環相扣中也能較好地接受并解決，從而提高教學的有效性.