如何引領學生在聯想中展開數學直覺思維

王志南

摘要：研究表明，直覺思維能把埋藏在潛意識中的思維成果，同顯意識中所要解決的問題相溝通，從而使問題得到突發式、頓悟式的解決。本文闡述了教師引領學生在聯想中展開數學直覺思維的四種策略：激活已有經驗，聯想中內化數學方法：溝通比較情境，聯想中把握內部結構；借助直觀圖形，聯想中建構數學意義：相機巧作延伸，聯想中拓展思維深度。

關鍵詞：小學數學；直覺思維；聯想；數學方法；內部結構；直觀圖形

所謂聯想，是指以數學觀察為基礎，對研究的對象或問題的特點，聯系已有的知識和經驗進行想象的思維方法。而直覺思維，是指憑借感性經驗和已有知識對事物的性質做出直接判斷或領悟的思維方式，它是一種以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題實質的思維。在數學教學中，聯想是產生直覺思維的先導，是由此及彼的思維方式。面對陌生的問題情境，教師要善于引導學生聯想已有的認知經驗進行直覺思維，拓展思維空間，尋找解決問題的新思路。那么，數學教師又該怎樣引導學生巧作聯想，誘發學生數學直覺思維呢？

一、激活已有經驗，聯想中內化數學方法

學生在解決問題的過程中，直覺不是憑空產生的，它與學生已有的認知儲備、認知結構有著密切聯系。而這些已有的認知儲備及結構，若教師在學生面對新的問題情境時引導學生聯想，激活已有的經驗，則可以觸發學生的直覺思維，引發具有創造性的解題思路。

例如教學“圓的面積計算”時，練習中有這樣一道題：在圓內畫最大的正方形，如圖1，若正方形的面積是18平方厘米，那么圓的面積是多少？顯然，若按常規思維，要求圓的面積，必須已知圓的半徑，而這里無法求得圓的半徑。此時教師引導學生聯想，由圖1你聯想到哪些已有的知識經驗？學生聯想到探究圓的面積計算公式時，圓的面積是小正方形的面積π倍。進而直覺地發現，可以先求出以圓的半徑為邊長的小正方形的面積（圖3），即18÷4×2=9平方厘米，再用3.14×9即求得圓的面積。

事實上，教師引導學生在聯想中展開直覺思維，不僅在于引導學生由新的問題情境聯想與此相關的認知經驗，發現解決問題的靈感和途徑；還在于引導學生在聯想中，對數學問題進行深入思考，發現其內在的聯系，進而內化數學方法，獲得對問題更為本質的認識。如上例中，引導學生進行深入思考后，則發現要求圓的面積，還可以用半徑的平方乘π求得，或者說圓的面積是“以圓的半徑為邊長的正方形面積”的π倍。

二、溝通比較情境，聯想中把握內部結構

作為“模式的科學”，數學并非各個具體事物或現象的直接研究，恰恰相反，它所反映的是具有相同數學結構一類事物或現象在量上的共同特征。也就是說，數學知識之間存在著內在的“結構性”，存在著內在的必然聯系。因而，教師在進行教學預設時，要引導學生進行聯想，直覺地把握問題情境內在的結構，進而拓展思維的寬度。

如在蘇教版“列方程解決實際問題”的課后練習中，有這樣一道題：師徒兩人同時裝配計算機，師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺。經過多少天師傅比徒弟多裝配72臺？同時練習中還有這樣一道思考題：盒子里裝有同樣數量的紅球和白球。每次取出6個紅球和4個白球，取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個。一共取了幾次？盒子里原來有紅球多少個？對于第一題，學生能很快地找到其中的數量關系“師傅加工的個數一徒弟加工的個數=72個”，而第二題，學生則普遍感到有困難。教師可在此時引導學生進行聯想，思考題與師徒加工零件的問題有聯系嗎？它們的內在數量關系一致嗎？進而學生發現，“取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個”，說明“取紅球的個數一取白球的個數=10個”，兩題的數量關系是一致的，其內在的數學結構也是相同的。

以上案例表明，數學教學中教師不能囿于具體的某一問題情境的解答，而要善于引導學生自主地對看似不同的問題情境進行比較和溝通，誘發學生的直覺，發現不同問題情境間的內在結構的一致性，進而學生對數學問題的分析和理解由關注“表層結構”到關注“深層結構”，由外在的具體問題情境的分析走向內在的數量間的關系的把握。

三、借助直觀圖形，聯想中建構數學意義

直覺思維是一種形象化思維，是思維者在視覺化或感覺的具象化中覺察事物。正是這種以視覺化的方式再現并處理事物，使人能把握問題的整個情境，從而導致理解的直覺性。因而，在學生展開聯想的過程中，教師要善于引導學生以直觀圖形再現問題要素，觸發學生直覺思維的觸角，并在聯想中構建數學意義。

如在梯形面積計算的練習中，有這樣一道題：鋼管如圖4所示堆成，最上層有9根，最下層有18根，并且下面一層比上面一層多1根，這堆鋼管一共有多少根？許多教師在教學這一問題時，往往是直接讓學生套用梯形面積計算公式，而對于為什么可以用梯形面積計算公式計算鋼管的根數，則感覺有些說不清道不明。筆者在教學中，引導學生借助直觀圖形進行思考，由鋼管堆成的圖形是梯形，聯想梯形面積計算公式的推導過程，誘發學生的直覺思維，學生發現，這些鋼管的截面是梯形，也可以把它轉化為平行四邊形。（如圖5）這樣，9+18=27求得每層的根數，27×10得到兩堆鋼管的總根數，再除以2則得到一堆鋼管的根數。

在此案例中，學生對鋼管根數計算方法的理解不再是機械地套用梯形面積計算公式，而是在借助直觀圖形，聯想梯形面積計算推導過程中，直覺地發現可以構造兩堆同樣的鋼管，求得總根數，再求一堆鋼管的根數，這樣的教學，扎根于數學問題內在意義的理解，教學目標指向學生對數學意義的自主建構。

四、相機巧作延伸，聯想中拓展思維深度

研究表明，直覺思維對解決問題的促進，不僅在思維者分析和解決問題的起始階段，也可引導學生將已有的直覺或靈感進行合理的遷移和延伸，讓直覺思維的應用更具有拓展性，進而發揮直覺思維在解題問題中的更大的作用。同時，教師通過對題目的變式處理，使得問題更具延伸性，而拓展題與原題中的內在結構是一致的，學生能直覺地發現已有的靈感對新問題同樣適用，有助于拓展學生的思維深度。

如在教學轉化策略時，在引領學生利用數形結合，借助正方形圖，學生直覺地發現1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=5/16后，筆者進行了如下拓展：

①你能很快地算出1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的結果嗎？說說你的思考過程。

②16+8+4+2+1+1/2+1/4+1/8+1/16，你能很快計算出這道題的結果嗎？你能結合圖形說說你是怎樣思考的嗎？

在第2題的教學中，引導學生借助正方形圖，聯想計算1/2+1/4+1/8+1/16的過程，展開直覺思維，進而領悟到，如果把正方形看做是32的話（如圖6），在正方形中分別可以找到16、8、4、2、1…….1/8、1/16，分別將它們涂色，就會發現32+16+8+…+1/8+1/16的結果可以表示為32-1/16=31（15/16）。

事實上，通過聯想展開問題的變式處理方式是多樣的，既可以是相同情境的延伸與拓展，也可以是內部結構相似的問題情境的溝通與比較。同時，“求變”又正是為了“不變”，也就是說，我們希望通過恰當的變化（與必要的比較、對照）以突出其中的不變因素，從而幫助學生通過直覺思維更好地把握數學問題的內部結構。

伊思·斯圖爾特這樣說：“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙地結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”因此，在數學教學中，教師要誘發學生通過聯想，激活已有經驗，展開直覺思維，獲得解決問題的新思路、新方法，創造性地解決問題。同時，需指出的是，由于直覺思維是憑借經驗和已有知識對事物的性質做出直接判斷的思維方式，未經過邏輯思維的論證，有其局限性。因此，在依靠直覺判斷選擇解題思路或方法后，仍需要運用分析思維進行邏輯推理和論證以使認識進一步深入。