對農村小學高年級學生解決一道開放題的調查研究

項慧玲

【摘要】筆者采用書面測驗、訪談等多種方法對農村小學高年級學生解決“開放情境中，求長方形面積”問題的特點進行一次調查分析。結果表明：①農村小學高年級學生解決這一問題時缺乏開放意識；②農村小學高年級學生大部分思考問題不全面，同時解決問題能力存在差異；③農村小學高年級學生解決這一開放題時策略呈現多樣化。④農村小學高年級學生解決問題時答案的表述方式呈現個性化 。為此，提出如下教學建議：①在課堂教學中引進開放題教學，培養開放意識的形成；②重視培養學生數學知識的思維性，滲透序列化思考的思想；③數形結合，辨證運用形象思維和抽象思維解決此類數學問題，盡量讓差異的弱勢群體跟上步伐；④正視差異、尊重個性，提倡解決問題策略的多樣化。

【關鍵詞】解決一道開放題 農村小學高年級學生 調查 思考

一、問題的提出

開放性的問題是富有極大教育價值的一種數學問題的題型，它沒有固定、現成的模式可循，學生必須打破原有的思維模式，展開聯想和想象的翅膀，從多角度、多方位、多層次進行探討，其思維方向和模式的發散性有利于創造性能力的形成，再者開放性問題具有寬松的解題環境和答案的多樣性，所以學生可以根據自己的經驗、知識水平、認知能力，按自己的意愿選擇思維方式解決問題，這樣不同的學生可以體驗不同的數學，不同學習水平的學生均能有所收獲。應當說解決開放性問題的能力是數學中一類比較重要的能力，它適應著當今社會對人才培養的需求，但是現在很多時候教材資源中涉及的開放性問題不多，學生也習慣了答案是唯一的，如果一個問題有很多種答案而且沒有任何提示，我們的學生是只寫出一種還是能把所有的都找出來？不同年級的孩子解題的情況是否會有所不同？他們在解決這個問題時的能力特點和策略又是怎樣的？這些問題我們并不是十分清楚。針對以上問題，本調查采用書面測驗法、訪談法等多種方法對農村小學高年級學生解決“開放情境中求長方形面積”問題的特點進行一次調查研究，試圖從學生的解題中發現這一年齡段學生解決此類數學問題的特征。

二、調查的方法

（一）調查內容

用一根24厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長方形的面積是多少？（請寫出盡可能多的情況，并盡量寫出過程。）

如果你認為解題已經完成，請在合適的（ ）中打√。

你認為這個題目：很有趣（ ）、比較有趣（ ）、沒有趣（ ）。

你認為這個題目：很 難（ ）、 比 較 難（ ）、不 難（ ）。

你覺得自己寫出全部的方法了嗎：是（ ）、不是（ ）。不是的請寫出理由。

（二）被試選擇

筆者選取了浙江省XX市XX鎮小學的高年級，并隨機抽取五、六年級的學生各一個班，人數分別是51、49人，年齡分別分布在11——13歲左右。

（三）施測方式

2015年12月14日下午，在學生不知情的情況下，由班主任協助組織進行測試。在測試前，不給學生任何解題提示，讓學生獨立解答，并規定時間為20分鐘。學生自己認為解題已完成，把測試卷交給老師。學生在解題過程中沒有任何討論和交流。基本反映了學生獨立解決這一問題的真實水平。測試后，立即對學生的解題情況進行初步整理，在整理的基礎上，選擇部分學生一一訪談。測試與訪談在同一下午完成。

（四）問卷發放與回收

本次研究共發放測驗卷100份，回收有效卷100份，有效率100%。

（五）數據處理

經過整理、分析，所有的測查數據統一采用SPSS 13.0中文漢化版軟件進行統計分析。

三、結果與分析

1、農村小學高年級學生在解決此類問題時缺乏開放意識。

在測試的前5分鐘里，學生一直遲疑著不敢下筆，在課后訪談那些解題比較完整的學生，有不少人表示 “因為有很多個答案的，不知道寫哪個好”。而在卷面上有4%人只寫了6×6，沒有其他算式，通過訪談得知，他們認為24÷4=6，這個特殊長方形的長和寬是確定的，而1和11、2和10……那些數字不確定不能寫下去，這也反應出農村小學高年級學生對于解決開放性問題時開放意識的一種缺失。

2、農村小學高年級學生大部分思考問題不全面，同時解決問題能力存在差異。

分析一：整數范圍內思考的學生少于6種答案的人數里面，五年級有12人是獨缺6×6，六年級有5人是獨缺6×6；同時考慮整數、小數范圍，五、六年級共10人沒考慮6×6。通過訪談學生給出的理由有“正方形不是長方形”“長和寬相等了，就不行了”這表明在這100個學生當中，有27%的學生對這兩種圖形間的關系還不是很清晰，或者有些干脆認為正方形不是長方形。

分析二：從表二中不難看出：五、六年級學生解決問題的能力存在顯著性差異，而且六年級學生解決開放題的能力高于五年級學生。研究表明：伴隨著知識的增長、思維能力的提高、學習經驗的積累，解決開放題的能力一般情況下是會逐步提高的。

分析三：在整理測查情況時，筆者發現：五、六年級中有40人是有序思考解答的，而且這40人都能在整數范圍或者整數、小數范圍內正確地考慮到所有情況。其中五、六年級能真正表達出所有結果情況的20人中全都是有序思考解答的，其中五年級2人，六年級18人。從上述數據中可知：隨著年級的升高，學生有序思考的人數明顯增多，而且有序思考與解題的正確率有著密切的關系。

3、農村小學高年級學生解決開放題策略呈現多樣化。

筆者通過對五、六年級學生的測試卷進行分析，發現學生解題策略是多樣的。學生在解決測試題時，主要應用了以下幾種策略（學生解題策略附末頁）：

策略一：查漏補缺法，無序地思考，想到哪個寫哪個。例如，長是10厘米，寬是2厘米，面積為20（平方厘米），長是7厘米，寬是5厘米……

策略二：在解答時利用畫圖來幫助分析。

策略三：先設定寬為幾，再利用周長求出長，最后算面積。

策略四：在解答時，把這個長方形先看作正方形，再把一組對邊逐漸縮短，另一組對邊相應逐漸增長，明顯呈現出按一定順序思考。

策略五：按“長+寬=周長的一半 ”這樣的維度來分析，再進一步計算面積，呈現出明顯的有序性，大多數學生采用這個方法。

從上述解題策略中，我們不難看出學生解題策略的多樣化，其中采用策略五的同學，六年級比五年級多出了約15%，隨著年級的升高、知識的增長，小學高年級學生解決問題的策略逐步向抽象化靠近，這個年齡段的孩子已經能夠從文字的描述中抽象出相應的幾何圖形，并能正確地分析出其中隱含著的數量關系進行解答，能夠用抽象的算式來解釋具體的幾何環境中的數量關系，能夠對空間觀念（主要指二維的形狀、大小）進一步理解，對幾何特征進一步內化，而形象思維只是作為一些孩子的輔助思考。由此可見，這一年齡段的學生已有了一定的邏輯推理能力，這種能力的概括性和自覺性正逐步發展起來。部分學生已經能夠調用出自己已有的數、式、幾何常識并結合一些數學能力來分析和解決問題。但是從整體水平看，有相當一部分學生還是需要直觀形象思維的輔助來解決此類開放性的問題。

4、農村小學高年級學生解決問題時答案的表述方式呈現個性化 。

此外，筆者還對問題的難度認定與有趣度及解決問題的正確率的關系、男女生在解題正確率上的差異等方面進行了研究。結果發現：在“兒童最近發展區內”，“難度”與“有趣度”成正相關；在一定條件下，難度與正確率成負相關——即難度越低，正確率越高；難度越高，正確率越低。達到“最底限”的情況，男生優于女生；但是達到“上限”的情況，女生卻優于男生。由此可見，小學中高年級女生解決問題的能力存在兩極分化情況。

四、建議與對策

1、在課堂教學中引進開放性問題，培養開放意識的形成

在結果與分析中的一中我們可以看出，之所以高年級學生在具備相關解題能力的基礎上，不敢下筆，其根本原因就是缺乏開放意識，這其實跟教師前期的教學是相關的，所以在中低段的數學課堂中，我們根據學生所掌握知識的情況，應當適當引進合適的開放題，培養學生開放意識的形成，可以從以下幾個方面考慮。一、用開放性問題引入新課，啟發引導學生較快地進入開放性的學習情境；二、課堂結構設計中適當融入開放性問題，通過“開放”讓學生自己去嘗試、探索，達到培養學生“開放意識”的目的；三、習題、例題的引申開放化。如在低段可引進 “養雞場數數把9只小雞關到3個籠子里，要使每只籠子里都有雞，可以怎樣關？” ； 在中段的數學課堂教學中可引進這樣一些題目“在一條筆直的公路上，小明和小剛同時從相距500米的A、B兩地出發，小明每分行200米，小剛每分行300米。多長時間后，兩人相距5000米？”在這樣一個開放性的問題中，不同的運動方向會產生四種結果，如：相向而行——（50000+500）÷（300+200）=11（分）；相背而行——（50000-500）÷（300+200）=9（分）；同向而行——（50000-500）÷（300-200）=45（分）或者（50000+500）÷（300-200）=55（分）。在不固定的思維方向和答案的多樣化中，為學生的思考提供發散的空間，引導學生形成開放意識。

2、重視培養學生數學知識的思維性，滲透序列化思考的思想

在解答開放題的過程中，從現實條件到用數學語言表述是一個真正抽象化和簡單化的過程，設計的思維包括：把原來的知識、技能分組，以形成解決目前問題的一種整體的技能，或對原來的技能進行修正以解決目前的問題，就針對教學現狀而言，我們需要充分培養學生數學思考、應用知識和解決問題的能力。而在這其中序列化思考是解決問題的一種重要策略，它可避免解決問題時答案的重復和遺漏以及思維的嚴密性。從結果與分析的二中我們可以得到結論：有序思考與解題的正確率有著密切的關系，所以在中低段的《排列組合》《烙餅問題》《植樹問題》《對策問題》等相關內容的教學中，應當高度重視滲透序列化思考的思想，以培養學生思維的條理性和有序性。

3、數形結合辨證運用形象思維和抽象思維解決此類問題，盡量讓差異的弱勢群體跟上步伐。

數形結合既是一種思想，也是一種方法。其本質就是抽象思維與形象思維結合，以形助數，或以數助形，使復雜問題簡單化，使抽象問題直觀化。因此，在數學教學中，更應突出數形結合教學，強調圖形語言和符號語言結合，其中圖形語言可以通過直觀加深學生對所學內容的理解，為文字語言或符號語言提供直觀表象，讓學生充分利用形的優勢來理解數。

從調查情況看，小學高年級學生抽象的邏輯思維已有了一定的發展，但仍需要形象思維的輔助。這進一步印證了皮亞杰的“兒童階段發展學說”。而長方形的面積是平面幾何中的一個重要內容，小學生在平面幾何中的抽象思維發展是一個薄弱環節，學生的空間觀念有待于加強。教師必須在學生獲取知識和解決問題的過程中，滲透數形結合思想，重視引導學生靈活運用抽象思維和形象思維，將兩種思維方式有機結合，通過觀察、操作、歸納、類比等過程，獲得具體的描述性結論，初步形成學生的推理能力和數學理解能力，有效提高學生學習數學的效率和能力。如：在幾何學習中，讓學生有較多的機會通過內容豐富的圖形、符號感知、實物操作等探究性活動，不斷豐富歸納和類比的經驗，從而促進學生思維能力的發展，同時學生的空間想象能力也得到了充分發展。

4、正視差異、尊重個性，提倡解決問題策略的多樣化

開放題教學側重學生解決問題的思路和策略而不是問題的答案，側重學生思考的過程而不是簡單的結果。從測查結果我們不難發現：小學高年級學生已經有了基本的數學能力，并能夠運用這些數學能力參加學習活動。同時，學生解決問題的策略已呈現多樣化，但解決問題的能力存在差異。作為教師，我們應正確看待學生在個性品質方面呈現出的差異性，允許學生用自己的方法學習數學，因為每個人有不同的認知方式和解決問題的策略，教師可以引導學生用適當的方式理解數學問題，同時也應允許學生用自己的方法去探索和解決問題。我們可以引導學生對不同的方法加以比較，但不應把某一方法強加給學生作為必須使用的方法。讓我們共同關注學生的差異，鼓勵和尊重學生多樣性的獨立思維方式。重視學生與同伴的交流，讓他們在交流和比較中找到適合自己的解決問題的一種或幾種方法，促使每一個學生在原有的基礎上有所發展。

從訪談中，我們發現：太容易、沒有挑戰性的題目，學生沒有多大興趣。因此在教學實踐中，我們不妨適度引進開放性問題，適應不同層次的學生，提倡解決問題策略的多樣化。讓我們的教學內容更富有挑戰性，避免重復機械的練習題。如此，對培養學生學習數學的興趣和數學思維能力的發展有一定的幫助，并且有利于知識的靈活運用，有利于數學觀念的升華。

【參考文獻】

《數學課程標準》北京師范大學出版社出版 2001年第1版

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《小學兒童如何學數學》孔企平 主編 華東師范出版社出版 2001年第1版

《小學數學教學心理學》 沃建中、林崇德等著 北京教育出版社出版 1998年第2版

《小學生找出“較復雜圖形中線段”的解題策略研究》 朱樂平著