談數學建模時的問題分析步驟

錢志良

摘 要： 數學建模問題經常由各領域的應用者提出，因而既不可能明確提出該用什么方法，又不會給出恰到好處的條件，甚至問題本身就是含糊不清的，因此做好問題分析顯得至關重要.

關鍵詞： 數學建模 問題分析 步驟說明

1.數學建模問題與“應用題”的區別

數學建模問題與初中、高中碰到的“應用題”的區別：

“應用題”通常有不多不少、恰到好處的條件和數據，方法基本限制在某章或某門課程，往往有唯一正確的答案.

數學建模問題經常是由各領域的應用者提出的，因而既不可能明確提出該用什么方法，又不會給出恰到好處的條件（可能有多余的條件，也可能缺少必要的條件和數據），經常出現的情形是問題本身就是含糊不清的；建模沒有唯一正確的答案，模型無所謂“對”與“錯”，評價模型優劣的唯一標準是實踐檢驗，因此建立數學模型時做好問題分析顯得至關重要.

2.問題分析步驟

問題分析步驟可分為：明確問題、分析條件和數據.

例如：一家化妝品公司的經理就關于應該雇多少推銷員的問題征詢你的意見，定性地講，推銷員多了會增加管理費用，而推銷員少了會失去可能的顧客.所以一定會有一個最優推銷員個數，這里推銷員指那些到各地把公司產品兜銷給其他商號的人.

2.1問題描述、問題分析

首先必須清楚幾個問題，如公司的生產限度怎么樣？經營目的是什么？是爭取最高利潤嗎？或者在獲得足夠多利潤的同時爭取最大市場份額？還是其他什么目的？一種較好的方法是對各種不同規模的推銷隊伍的效果做出描述，而把最后決定留給經理部.

另外決定推銷隊伍的效果，就必須知道：（1）怎樣從他們的銷售隊伍中獲取最大收益；（2）不同規模的銷售隊伍會有什么影響.

經過分析，原來的問題已經被改為上面兩個問題，這樣，我們就跨出了第一步，即基本明確了工作目標.

但上面兩個問題仍需進一步細致分析：如不同推銷員能力不同，推銷地域也可能不同，顧客可分為“現有的”和“可能的”兩類，前者需要穩定，后者需要轉變，所花時間各不相同，并且各商號的訂貨量或潛在訂貨量也是需考慮的重要因素.

通過以上分析，畫出問題的層次結構圖，看出問題全貌.

了解問題的整體框架，可以對整個模型做出初步設計，需要做什么工作？可以用什么數學工具？問題有什么特點或限制條件？工作的重點、難點和要點是什么？每項工作的先行和后繼工作是什么？有沒有可以并行的工作？

2.2數據、資料的收集

分析問題的結構后，需要什么數據就可以心中有數了，收集數據的工作可列入工作計劃，要對推銷員進行一次實驗，記錄得到完整的確定概率的數據、地域情況的數據、資料，在此基礎上進一步分析某些變量的作用.

3.建立數學模型

由最小二乘法建立系統的回歸方程——數學模型。

當輸入為x，輸出為y時，多項式擬合曲線相應于x的估值為：

=b+bx+bx+…+bx（i=1，2，…，n）

要使多項式估值與觀測值y之差（殘差）的平方和之值為最小，

得下列正規方程組：

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）=0

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）

x=0

… …

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）

x=0

由上式可求出回歸系數b，b，…，b.