GeoGebra軟件在動(dòng)態(tài)教學(xué)中有效性應(yīng)用的案例探究

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[摘 要] 本文首先簡介GeoGebra軟件，并對(duì)其有別于“幾何畫板”的常用功能及常用注意點(diǎn)進(jìn)行說明；結(jié)合3個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析探究GeoGebra軟件在動(dòng)態(tài)教學(xué)中的有效性應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] GeoGebra；動(dòng)態(tài)教學(xué)；有效應(yīng)用

[?] 關(guān)于GeoGebra軟件

1. GeoGebra軟件簡介

GeoGebra軟件是由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter于2001年設(shè)計(jì)開發(fā)的免費(fèi)開源的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件. GeoGebra軟件的名稱拆開來就是“Geo”+“Gebra”，意思是結(jié)合了幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）. GeoGebra是一個(gè)結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分和統(tǒng)計(jì)功能的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，可應(yīng)用于多種平臺(tái)（Window、Mac、Linux等），提供56種語言支持，已在歐洲和美國榮獲多項(xiàng)教育類軟件獎(jiǎng)項(xiàng).它旨在幫助教師設(shè)計(jì)有趣的教學(xué)方法，為學(xué)校提供充滿活力的數(shù)學(xué)教學(xué)，功能強(qiáng)大，在國外以及我國港臺(tái)地區(qū)有極其廣泛的使用.目前可以下載的最新版本是GeoGebra 5.0中文版.

2. GeoGebra軟件有別于“幾何畫板”的常用功能介紹

（1）作兩曲線的交點(diǎn)，如圖1.

（2）移動(dòng)參數(shù)滑桿，改變參數(shù)值，如圖2.

（3）代數(shù)區(qū)的每個(gè)代數(shù)式左側(cè)圓圈有顯示和隱藏功能，圓圈實(shí)心時(shí)繪圖區(qū)顯示代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖像，點(diǎn)擊圓圈，實(shí)心變空心，隱藏繪圖區(qū)代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖像，如圖3. 當(dāng)然，同幾何畫板一樣，GeoGebra軟件也有顯示和隱藏按鈕，在工具區(qū)中有一個(gè)復(fù)選框，可以選擇多個(gè)對(duì)象同時(shí)顯示或隱藏.

3. GeoGebra軟件的常用注意點(diǎn)

（1）指令區(qū)輸入“a=（-4，5）”表示向量“a=（4，5）”；輸入“A=（1，2）”表示點(diǎn)“A（1，2）”.

（2）指令區(qū)輸入“y=log（x）”表示“y=lgx”；輸入“y=”表示“y=log2x”.

（3）在工具區(qū)的文本框中輸入“y=log_{2}x”生成文本“y=log2x”.

（4）要生成文本“y=2x”，在工具區(qū)的文本框中輸入“y=2^x”，并勾選“LaTeX數(shù)學(xué)式”.

（5）要生成文本“”，在工具區(qū)的文本框勾選“LaTeX數(shù)學(xué)式”并選擇分式“”，則編輯區(qū)中顯示“＼frac{a}{b}”，改成“＼frac{1}{2}”.

（6）如果“a”設(shè)置為參數(shù)，例如，已作出“y=ax”的圖像，要生成文本“y=ax”，并且文本“y=ax”中的“a”要隨著滑桿的“a”的值變化而變化，此時(shí)在文本框輸入“y=a^x”（用對(duì)象中的“a”輸入），如圖4.

鼠標(biāo)右鍵點(diǎn)擊繪圖區(qū)空白處，顯示菜單，進(jìn)入菜單中的 “繪圖區(qū)”，修改x軸的間距為.

（8）如果教學(xué)時(shí)感覺GeoGebra界面的字太小，可以調(diào)整菜單中“選項(xiàng)”的“字號(hào)”.

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1. 案例1：曲邊梯形的面積的片段教學(xué)

引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想小學(xué)求圓的面積的方法，獲得“以直代曲”“無限逼近”的思想，提出“能否用這種‘以直代曲的思想求曲邊梯形的面積（如圖6）”.

具體如何操作？

學(xué)生思考、嘗試，師生交流、探討之后，獲得：

可以對(duì)曲邊梯形分割（等分）成若干份，每份用矩形近似代替，求出所有矩形的面積和，當(dāng)分割越來越細(xì)時(shí)，所有矩形的面積和逼近曲邊梯形的面積.具體操作如下：

（1）分割：把曲邊梯形等分成n個(gè)小曲邊梯形. 區(qū)間[0，1]被等分成n份，第i個(gè)區(qū)間如何表示？

（2）近似代替：每個(gè)小曲邊梯形用小矩形近似代替，若以每個(gè)小曲邊梯形左邊為高，作小矩形（如圖7，在GeoGebra環(huán)境下，先設(shè)置參數(shù)n，在右側(cè)指令幫助區(qū)找到“函數(shù)與微積分”中的“上和”，粘貼至指令區(qū)，輸入“上和（f（x），0，1，n）”，即可自動(dòng)生成圖7），求出第i個(gè)矩形的面積bi=f

（3）求和：求出所有小矩形的面積和：

最后讓學(xué)生觀察，移動(dòng)參數(shù)n的滑桿，當(dāng)n越來越大時(shí)，上和d和下和c的值越來越逼近0.33，驗(yàn)證曲邊梯形的面積為.

探究求曲邊梯形的面積的過程，關(guān)鍵是使學(xué)生對(duì)“以直代曲”“無限逼近”的思想有直觀感覺. 這一過程是動(dòng)態(tài)的，用靜態(tài)的黑板作圖無法呈現(xiàn)，而GeoGebra軟件利用指令“上和（f（x），0，1，n）”或“下和（f（x），0，1，n）”，自動(dòng)生成圖7或圖8，并且移動(dòng)參數(shù)n的滑桿，當(dāng)n越來越大時(shí)，用所有小矩形近似代替曲邊梯形.

2. 案例2：一道函數(shù)與方程的習(xí)題

在一次練習(xí)中，下面這道題的正確率為0，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果？

其次，“ xk（k∈N*，k≤4）是方程x4+ax-4=0的根”轉(zhuǎn)化為“xk（k∈N*，k≤4）是方程x3+a=的根”，即“xk（k∈N*，k≤4）是兩曲線y=x3+a與y=交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”. 在GeoGebra環(huán)境下，設(shè)置參數(shù)滑桿a，建立函數(shù)y=x3+a，如圖10.

上面兩個(gè)條件結(jié)合，即“兩曲線y=x3+a與y=交點(diǎn)在直線y=x的上方”. 移動(dòng)滑桿，變化a值，觀察何時(shí)滿足條件. 學(xué)生容易看出，a的下界值是曲線y=x3+a過點(diǎn)（-2，-2）時(shí)，此時(shí)a=6，故所求的a的取值范圍是a>6.

在曲線y=上，而且在直線y=x的上方部分，如圖9中的粗線部分”得到很好的直觀呈現(xiàn). 移動(dòng)滑桿，變化a值，兩曲線y=x3+a與y=交點(diǎn)在動(dòng)態(tài)變化，何時(shí)在直線y=x的上方一目了然. 這個(gè)環(huán)節(jié)手工作圖無法體現(xiàn)，這正是GeoGebra環(huán)境下移動(dòng)滑桿變化參數(shù)值的最大優(yōu)越性.

3. 案例3：構(gòu)造輔助圓解決與三角形有關(guān)的問題

題目：已知在△ABC中，AB=，C=60°，BC=a，這樣的三角形存在兩個(gè)，則a的取值范圍是_______.

根據(jù)正弦定理，=2R（R為△ABC的外接圓半徑），則R=1.

“三角形存在兩個(gè)”即當(dāng)a取一個(gè)值，BC長固定時(shí)，點(diǎn)C在圓周上的位置有兩個(gè)，而這兩個(gè)點(diǎn)C位置關(guān)于過點(diǎn)B的直徑對(duì)稱，如圖12. 移動(dòng)點(diǎn)C，觀察點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)是否有限制范圍，點(diǎn)C不能在劣弧AB上，因?yàn)镃=60°，所以點(diǎn)C也不能在劣弧AB關(guān)于過點(diǎn)B的直徑對(duì)稱的劣弧A′B上，如圖13. 故邊BC長度介于邊AB與直徑之間，即a的取值范圍是（，2）.

在GeoGebra環(huán)境下，分析、作圖、移動(dòng)點(diǎn)C，直觀理解點(diǎn)C不能在劣弧AB上，也不能在劣弧AB關(guān)于過點(diǎn)B的直徑對(duì)稱的劣弧A′B上，容易化解教學(xué)難點(diǎn).

變式1：若點(diǎn)O為△ABC的外心，則·的取值范圍是__________.

已知AB=，C=60°，上文已求CO=1，點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)，如圖14.

若考慮幾何意義，點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在上投影何時(shí)最大？何時(shí)最小？移動(dòng)點(diǎn)C，顯然看出與平行且同向時(shí)，在上投影最大，與平行且反向時(shí)，在上投影最小. 故·的取值范圍是

在GeoGebra環(huán)境下，點(diǎn)C動(dòng)起來，學(xué)生思維被激發(fā)出來，容易看出在上投影取最大、最小時(shí)的狀態(tài).

變式2：在變式1中，增加條件“A為銳角”，則·的取值范圍是______.

移動(dòng)點(diǎn)C，“A為銳角”的臨界狀態(tài)是什么？當(dāng)“A為直角”（如圖15），此時(shí)在上的投影是多少？學(xué)生容易看出，在上的投影是

，所以·的上界值是

在GeoGebra環(huán)境下，移動(dòng)點(diǎn)C，學(xué)生容易看出“A為銳角”的臨界狀態(tài)，及“A為直角”時(shí)在上的投影，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，借助動(dòng)態(tài)幾何直觀，突破教學(xué)難點(diǎn).

從2014年開始，筆者主持了一個(gè)與GeoGebra軟件有關(guān)的教學(xué)課題，在實(shí)踐應(yīng)用中，深切感受GeoGebra軟件的先進(jìn)性和優(yōu)越性. 但從各地學(xué)校看，GeoGebra軟件教學(xué)應(yīng)用尚未普及，很多數(shù)學(xué)教師只知“幾何畫板”，不知“GeoGebra”.寫此文，其一是GeoGebra軟件對(duì)于筆者有感動(dòng)，已有感情；其二是希望GeoGebra軟件在廣大數(shù)學(xué)教師中推廣普及.