引例淺談導數應用中的轉化策略

孔向英

【摘要】導數是高中階段現行數學知識體系中的重要組成內容，導數知識及其計算分析處理技巧，在解決函數章節相關問題過程中的應用，有效提升了高中學生解決數學問題的總體效率。而轉化思想在導數問題中的應用，大幅改善了相關問題的求解難度，本文結合具體例題對導數問題求解中轉化策略展開了簡要闡述。

【關鍵詞】引例淺談 導數運用 轉化 策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）08-0146-02

在高中數學學科知識體系下，為有效研究初等函數的增減性質問題，專門引入了導數運算處理工具，伴隨著導數工具在解決高中數學函數章節問題過程中應用價值的逐步彰顯，轉化數學思想在導數應用過程中的顯著作用，逐步引起了我國一線高中數學教師的密切關注。

一、導數應用中的轉化思想

在數學科學的構造體系中，獨立數學對象的內部組分之間，以及不同的數學對象之間，客觀上總是會存在一定形態的形式性，或者是邏輯性相互聯系特征，而構筑事物之間相互聯系的基礎是相似性，在存在相似性的事物之間，必然能夠找到某種可行性的處理路徑，促使彼此之間實現順暢有序的相互轉化。在面對和解決具體數學問題過程中，通過針對具體數學問題的條件、求解結論，以及問題的內在結構實施轉化，能夠有效降低具體數學問題在分析求解過程中的整體難度水平，促進有關數學問題能夠快速得到充分解決。

在具體應用導數解決高中數學函數及其相關章節問題過程中，針對應用常規數學手段難以獲得預期解決效果的數學問題，可以基于轉化或者是化歸數學思想，在借助觀察、分析、類比，以及聯想等數學學科思維過程的基礎上，借助適當數學處理手段，對數學問題的外在表現形式展開變換處理，將原本相對復雜的數學問題逐步轉化為便于解決的數學問題形式，從這一角度分析，實際可以納入到導數應用化歸思想處理視野之下的問題主要包含如下三個具體類型：

第一，不等式恒成立問題。

第二，不等式證明問題。

第三，方程求解問題。

在應用導數轉化思想解決上述的問題過程中，最基本的處理步驟是基于原始問題形式，構筑恰當的函數表達式，并在構筑形成的函數表達式基礎上，運用導數章節的基本理論知識和數學運算技巧完成具體數學問題的計算、分析，以及求解過程。

二、構造函數的基本技巧

在分離參數基礎上構造函數

例1：已知函數f（x）=lnx，對于任意的常數a（-1≤a<0），假若不等式f（x）< ax2+2x+b在（0

解：通過對題干已知信息的閱讀分析，不難發現該題屬于不等式恒成立問題。

由于f（x）< ax2+2x+b，經不等式分離常數變形計算可知b>lnx- ax2-2x，因該不等式對于任意的常數a（-1≤a<0）恒成立，可知b>（lnx- ax2-2x）max，依據解決函數問題過程中的主次元互換數學處理思想，可以構造函數φ（a）=- x2a-2x+lnx，觀察可知函數φ（a）在a（-1≤a<0）條件下，是單調遞減函數，由此可得φ（a）max=φ（-1）= x2-2x+lnx，于是原問題被轉化為證明不等式b> x2-2x+lnx在x（0 。

三、二次構造函數的轉化思想在函數應用求解問題中的具體應用

在基于求導運算開展函數性質研究問題，或者是不定式和方程問題的計算、證明以及求解分析過程中，經常會遭遇在導函數取值大于0，或者是小于0的計算條件下，自變量x的取值范圍無法明確界定的數學情境，而在這種數學問題求解條件下，往往需要基于已經構造形成的函數或者是導函數的解析表達式，再次實施函數構造，從而實施二次求導。

例5：已知f（x）=ax2-x（a≠0），g（x）=lnx，假若函數f（x）與函數g（x）的圖像有且只有兩個不同交點，求解實數a的取值范圍。

解：由題意可知，在函數f（x）與函數g（x）的圖像相交時，有f（x）=g（x）成立，在實數a≠0條件下，該問題可以等價為方程a= 有兩個根，設r（x）= ，則r'（x） ，設h（x）=1-x-lnx，則必有h'（x）=- <0，也就是說函數h（x）在x>0條件下是單調減函數，同時由于h（1）=0，于是可以得到如下結論：在r（x）>0條件下，有x<1；在r'（x）<0條件下有x>1，即函數r（x）在01條件下是單調減函數r（x），因此有rmax（x）=r（1）=1。在此基礎上。由于在x→0條件下，函數r（x）趨于無窮小，在x趨于無窮大條件下，函數r（x）的取值趨于0。因此想要促使函數f（x）和g（x）有兩個彼此不同的焦點，只需保證0

四、結語

針對導數應用中的轉化策略問題，本文在簡要分析導數運用中的轉化思想基礎基礎上，結合具體數學問題詳細分析了導數問題計算求解過程中的轉化策略，旨意為相關領域的研究人員提供參考。

參考文獻：

[1]郭培俊，張焱群.“問題轉化”解題策略探析[J].浙江工貿職業技術學院學報，2011（02）.