削枝強干凸顯結構，解后反思積累模式——以2016年江蘇徐州中考卷第28題為例

☉江蘇省南通市通州灣海晏中學　王衛娟

削枝強干凸顯結構，解后反思積累模式——以2016年江蘇徐州中考卷第28題為例

☉江蘇省南通市通州灣海晏中學王衛娟

中考綜合題（特別是把關題）常常備受本地區師生的關注，在一個更大的范圍也常常因為各種“中考題分類”的傳播與推介而得到復習時的關注.有些考題因為缺少前后關聯、上下呼應的命題追求，呈現拼湊式命題取向，講評時要注意引導學生對各個設問展開各個擊破，并在解后回顧階段提示問題深層結構，幫助學生完善“模式積累”.本文以徐州卷一道綜合題為例，先給出思路突破，并跟進教學思考，最后給出變式改編，提供研討.

一、考題與思路突破

考題（2016年江蘇徐州中考卷第28題）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點C（2，0），其中對稱軸與x軸交于點D.

（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標.

圖1　

（3）M（s，t）為拋物線對稱軸上的一個動點.

①若平面內存在點N，使得A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有幾個？

②連接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍.

1.思路突破

（1）考慮題中所給條件有兩個點是拋物線與x軸的交點，可以利用“兩根式”設二次函數的表達式為y=a（x+1）（x-2），再把代入解得所以y=頂點坐標為

當然也可以用“一般式”y=ax2+bx+c代入三點，或者“頂點式”設代入兩點求解.

（2）一般來說，分析兩條線段之和最小可以將問題轉化為所謂的“將軍飲馬”模型（基于軸對稱性質、光線反射原理），然而從這道題目的結構和已知信息來看，不具有向軸對稱方向轉化的可能，一是待求的不是兩條線段之和，而是一條線段的一半與另一線段的和，需要把該線段的一半做適當構造或轉化，于是想到特殊角度，如30°角的啟示，如圖2，過D點作DQ⊥AB于Q點，交y軸于P點.由題意可得∠ABO=30°，在Rt△PQB中這樣待求的最小值就轉化為PD+PQ，即DQ的最小值.顯然，此時DQ是D到AB的垂線段，為符合要求的最小值.此時∠可得

圖2　

圖3　

（3）①首先做問題的目標解析，若A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，則該四邊形由對角線分開的三角形應該是等腰三角形，所以該小問設問的本質其實是△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標.于是構造如圖3的草圖分析，有如下一些不同情形：

以B為圓心，BA的長為半徑的圓交拋物線對稱軸于M1，M2；以A為圓心，AB的長為半徑的圓交拋物線對稱軸于M3，M4；作線段AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于M5.

換一個視角看：若AB為邊菱形的邊，因為M為拋物線對稱軸上的一點，即分別以A、B為頂點，AB的長為半徑作圓與對稱軸的交點即為M點，這樣的M點有四個；若AB為菱形的對角線，根據菱形的性質，作AB的垂直平分線與對稱軸的交點即為M5點.

綜上所述，這樣的M點有5個，所以對應的N點有5個.

圖4　

②由題中60度的啟示，首先補成一個等邊△ABQ，如圖4，再作出△ABQ的外接圓（圓F，注意圓心F應該在y軸上），則拋物線的對稱軸被該圓“圈住”的部分則是符合要求的點M所在位置.因為根據圓周角定理，∠AM1M2=∠AM2M1=60°，當M點落在M1M2之間時，∠AMB不小于60°，接下來就是求此時t的取值范圍.設⊙F與拋物線的對稱軸交于M1，M2，作FG⊥M1M2，由垂徑定理知M1G=M2G，在根據勾股定理可得再結合所以即

2.解后反思

該題第（2）、（3）問之間缺少關聯，屬于相對獨立的設問，且互相之間沒有啟示思路之作用，屬于較低水平的拼湊綜合題.具體來說，第（2）問如果之前學生沒有練習過此類轉化的方式，則要考場上獨立貫通思路可能性較小，因為這不是初中階段較常見的最值問題，而是高中數學教材中一個經典問題.而第（3）問的兩個問題也缺少關聯，第①小問只是用菱形的設問掩蓋了等腰三角形的探究，這類問題在復習期間應該得到太多的訓練，屬于陳題再練；而第②小問則是一個等邊三角形外接圓問題，利用正三角形的外接圓性質獲得問題結構，并進一步構造直角三角形實現思路貫通.這類問題在近年來北京中考卷、北京市各區九年級的測試卷中以新定義的方式呈現過多次.簡而言之，徐州卷這道綜合題迎合了當下題海戰術，把多個考生練習、復習過的題型生拼硬湊在一道所謂的大題之中，從第（2）問往后就讓題干提前枯萎，這種缺少上下關聯、前后呼應的命題取向值得商榷.

二、教學思考

1.講評綜合題時注意分離問題旁枝，凸顯問題結構

聽不少初任教師的綜合題講評課時，常常會就題講題，缺少對問題結構的揭示，或多解歸一的思考.特別是沒有能將問題中的繁雜信息引導學生進行必要的刪減，削枝強干，使得問題的結構進一步凸顯.

2.講評綜合題后要有反思回顧環節，加強模式積累

講評綜合題時，在思路貫通、殊途同歸之后，還需要有必要的解后回顧環節.引導學生回顧該題的主要難點、障礙之處，有哪些值得積累的經驗或模式圖形，在此基礎上，這些模型或經典圖形是如何變式的，與此前積累的模型有哪些相通之處，把這些細微變式辨析出來，解題能力也就在這些過程中得到“潤物無聲”的提升.

三、命題打磨

知易行難，作為本文的最后，本著命題興趣，筆者對徐州卷給出下面一道變式改編題，可以作為講評徐州卷壓軸題之后的聽課檢測題，提供研討.

變式改編題：如圖5，在平面直角坐標系中，頂點為D的拋物線經過點A（-1，0），B（2，0），且與y交于C點.

（1）小明同學粗看圖形，覺得點A，C，D好像在同一直線上……；老師告訴小明，肯定出錯了！請指出小明的判斷為什么是錯誤的.

圖5　

（2）若P為拋物線對稱軸上的一個動點，當△PAC的周長取得最小值時，求點P的坐標.

（3）若Q為y軸上一個動點，拋物線對稱軸與x軸交于點E，記，當d取得最小值時，求Q點的坐標.

（4）若拋物線在第四象限上有一點N，記四邊形ABNC的面積為S，當S取得最大值時，求點N坐標.

1.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數學（下），2016（7）.

2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1，2，3）.

3.王東.從“形聚”到“神似”：大題命制的一種追求——2016年鹽城卷第28題思路突破與命題反思［J］.中學數學（下），2016（9）.