“數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”研究

樊夢(mèng)婷

摘要：把問題的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來(lái)考慮，或者把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換成空間的性質(zhì)問題，或者把空間的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系問題，這種處理問題的思想就是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”之間相互依存，相互轉(zhuǎn)換的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，是形象思維與抽象思維的結(jié)合。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;組織形式;問題;解決措施

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2016）43-0270-03

一、調(diào)查背景

數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，使許多數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的課題具有鮮明的直觀性，而且往往由于借用了幾何術(shù)語(yǔ)或運(yùn)用了與幾何的類比從而開拓了新的發(fā)展方向。但至2014，關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想，大多數(shù)都在研究數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用情況以及數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用時(shí)的認(rèn)知心理，針對(duì)小學(xué)生情況的研究少之又少，不及十分之一。此外，這些課題和研究案例都非常重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法作了大量文字性的敘述說(shuō)明，卻很少有對(duì)如何來(lái)將這一行為有效實(shí)踐到教學(xué)活動(dòng)中去的研究。從教材的深度理解出發(fā)，大多數(shù)教師仍停在數(shù)學(xué)知識(shí)和技能層面，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的研究力度不夠，甚至有的已經(jīng)在部分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)行為習(xí)慣培養(yǎng)上也有部分滲透，但卻不成體系。

二、調(diào)查方式

1.設(shè)計(jì)與實(shí)施。本研究采用調(diào)查問卷、人物訪談和文獻(xiàn)研究相結(jié)合的形式。問卷對(duì)象是金華市各小學(xué)的數(shù)學(xué)教師，訪談的對(duì)象既包括金華市各小學(xué)的數(shù)學(xué)教師，也包括各年級(jí)小學(xué)生代表。

2.研究材料。①調(diào)查問卷：本研究采用自編的《關(guān)于“數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”的調(diào)查問卷》，在對(duì)文獻(xiàn)資料分析的基礎(chǔ)上，選擇了大量與對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的態(tài)度、數(shù)形結(jié)合思想概念、數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的途徑及組織形式相關(guān)的項(xiàng)目后，經(jīng)過(guò)多次修改，形成問卷的初稿。通過(guò)對(duì)15位金華市小學(xué)數(shù)學(xué)教師的前測(cè)，形成預(yù)試問卷分析報(bào)告，根據(jù)信度、效度以及因素相關(guān)性的原則，最終確定正式調(diào)查問卷。②訪談提綱（教師部分、學(xué)生部分）③課堂觀察記錄表（教師版、學(xué)生版）

3.數(shù)據(jù)處理。問卷收集的數(shù)據(jù)使用社會(huì)科學(xué)統(tǒng)計(jì)軟件包SPSS20.0和Excel來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。在本次調(diào)研中，我們共發(fā)放問卷100份，回收問卷90份，有效問卷是86份，有效率高達(dá)96%。

三、調(diào)查結(jié)果分析

教師在課堂中滲透數(shù)形結(jié)合思想的組織形式

1.教師在課堂中滲透數(shù)形結(jié)合思想的頻率。近90%的教師認(rèn)為在平時(shí)的教學(xué)中，大多數(shù)教師都會(huì)經(jīng)常性地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)，但不同年齡、教齡、戶籍、職務(wù)、教授年級(jí)的教師在使用頻率上存在一定的差異。①年齡、教齡，分析數(shù)據(jù)可知：年齡在40歲以上、教齡在25年以上的教師使用數(shù)形結(jié)合思想的頻率最高;其次是年齡在30歲以下、教齡在10年以下的教師，而年齡在30～40歲、教齡在10～25年之間的教師最低。這可能與教師在不同職業(yè)生涯階段的特點(diǎn)有關(guān)。②戶籍、學(xué)歷，分析數(shù)據(jù)可知：不同戶籍的教師與運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的頻率之間不存在顯著性差異，但城鎮(zhèn)戶籍的教師比農(nóng)村戶籍的教師更傾向于使用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)。城鎮(zhèn)戶籍的教師接受的教育總體上要比農(nóng)村戶籍的教師接受的教育大而廣，他們更愿意從“哪種教學(xué)方法更適合學(xué)生”出發(fā)，而不是僅僅考慮哪種教學(xué)方法更利于自己教學(xué)。真正形成了課堂應(yīng)以學(xué)生為主體，教師起主導(dǎo)作用的教育理念。同時(shí)，數(shù)據(jù)顯示不同學(xué)歷的教師與運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的頻率之間也不存在這顯著性差異，但大專學(xué)歷的教師比本科及以上學(xué)歷的教師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的頻率略高。③教師職務(wù)，由數(shù)據(jù)可知：班主任相對(duì)于（非班主任的）任課老師和管理型教師來(lái)說(shuō)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的頻率相對(duì)較低，且有顯著差異。班主任除了上課，還要負(fù)責(zé)班級(jí)的管理，包括班級(jí)的學(xué)風(fēng)建設(shè)等，在備好每一節(jié)課的同時(shí)，還要不斷提高自己的班級(jí)管理能力。因此，班主任分配在研究教學(xué)上的精力與任課老師相比就顯得較少，更多建立的是一種把課上“完”的意識(shí)，而不是運(yùn)用新穎的教學(xué)方法把課上“好”。班主任更多的是教一個(gè)班級(jí)，而任課老師起碼同時(shí)要帶同一個(gè)年級(jí)的兩個(gè)班，在兩個(gè)班學(xué)生上課以及作業(yè)的表現(xiàn)對(duì)比中，教師可以不斷從中發(fā)現(xiàn)問題，并不斷改善自己的教學(xué)方式，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利于學(xué)生掌握和理解。④教授年級(jí)，分析數(shù)據(jù)可知：教授第一學(xué)段的教師比教授第二學(xué)段的教師在教學(xué)過(guò)程中，使用數(shù)形結(jié)合思想的頻率相對(duì)較高一些。這個(gè)結(jié)果與教師所面對(duì)的小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和掌握的知識(shí)基礎(chǔ)有關(guān)。根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論，第一學(xué)段的學(xué)生處于前運(yùn)算階段末期和具體運(yùn)算階段的前期，一年級(jí)學(xué)生的各種感知活動(dòng)圖式開始內(nèi)化為表象或形象模式，但是他們的語(yǔ)詞或其他符號(hào)還不能代表抽象的概念，思維仍受具體直覺表象的束縛;到了二、三年級(jí)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具有了抽象概念，但仍需要具體事物的支持，在形成概念、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題上都必須與他們熟悉的物體或場(chǎng)景相聯(lián)系，還不能形成抽象思維。因此，教師在講解數(shù)學(xué)概念或是算理算法特別是較抽象的概念或算理算法時(shí)，如：20以內(nèi)的退位減法，必須運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，比如借助小棒、計(jì)數(shù)器等。而第二學(xué)段的學(xué)生，特別是五年級(jí)和六年級(jí)的學(xué)生，正處于形式運(yùn)算階段，這一階段學(xué)生的思維更具有靈活性、系統(tǒng)性和抽象性，超越了具體的可感知事物的依賴，使形式從內(nèi)容中解脫出來(lái)。因此，教師在講解數(shù)學(xué)概念或是算理算法的時(shí)候，可以適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生通過(guò)在頭腦中想象，從而提高他們的空間觀念，因此運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的頻率就與第一學(xué)段比較而言，相對(duì)較低。

2.教師在課堂中滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)環(huán)節(jié)和課堂類型。①教學(xué)環(huán)節(jié)，有77.3%的教師在講授新課這一教學(xué)環(huán)節(jié)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想頻率最高，其次是復(fù)習(xí)導(dǎo)入。講授新課基本安排在課堂的黃金時(shí)間，占了課堂總時(shí)間的一半還多，是課堂的主體。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這段時(shí)間中學(xué)習(xí)到的知識(shí)是嶄新的，相對(duì)陌生的，具有一定的抽象性，因此教師需要更多借助實(shí)物或是教具，依托數(shù)形結(jié)合思想來(lái)幫助學(xué)生掌握和理解。②課堂類型，分析數(shù)據(jù)可知在教學(xué)實(shí)際中，在數(shù)與代數(shù)的課堂中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的教師比例要大于理想狀態(tài)，圖形與幾何恰恰相反，但兩者之間不存在顯著性差異。理想狀態(tài)與實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想最多的課堂類型之間是極其顯著相關(guān)的，即教師關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的教學(xué)觀念與他的實(shí)際教學(xué)行為是極其顯著相關(guān)的，保持一致。教師在數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的觀念越深，他在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中就越會(huì)運(yùn)用這一思想進(jìn)行教學(xué);反過(guò)來(lái)，教師在數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的頻率越高，他的這種觀念也就越牢固。如在一年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“100以內(nèi)兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”時(shí)，老師先是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)學(xué)生較為熟悉的“灰太狼在小灰灰生日的時(shí)候給它買蛋糕”的情境，激發(fā)學(xué)生的興趣，然后引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)尺子、數(shù)小棒、借助計(jì)數(shù)器三種數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)多種表征方式之間的相互轉(zhuǎn)換理解進(jìn)位加法的算理和算法，并利用尺子的刻度聯(lián)系運(yùn)算，提出“接著數(shù)”的方法，再利用捆扎小棒（十個(gè)為一捆）和計(jì)數(shù)器反復(fù)滲透、強(qiáng)調(diào)“拆小數(shù)、湊大數(shù)”的湊十法和“個(gè)位滿十、十位進(jìn)一”的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生充分體會(huì)到計(jì)算方法的多樣化。這是在數(shù)與代數(shù)模塊中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的典型實(shí)例，能夠幫助一年級(jí)的學(xué)生不僅會(huì)計(jì)算100以內(nèi)的進(jìn)位加法算式，而且還理解了對(duì)他們而言比較抽象的進(jìn)位加法的算理和算法。有效地防止學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“一知半解”，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解“入木三分”。

四、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用過(guò)程中存在的問題

在訪談中，我們針對(duì)每個(gè)年級(jí)學(xué)生各設(shè)置了幾道可以體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用題，用來(lái)反映學(xué)生是否能夠自覺地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題。綜合分析學(xué)生的解題過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生在自覺地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力上顯示一般。

在對(duì)五年級(jí)學(xué)生的考核中，小組調(diào)查人員用一道工程問題、一道相遇問題和一道植樹問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核，考核題目和考核結(jié)果如下：考核題目：工程問題：兩個(gè)工程隊(duì)共同開鑿一條675米長(zhǎng)的隧道，各從一端相向施工。25天打通，甲隊(duì)每天開鑿12.6米，請(qǐng)問乙隊(duì)每天開鑿多少米？相遇問題：甲、乙兩艘輪船同時(shí)從上海出發(fā)開往青島。經(jīng)過(guò)18小時(shí)后，甲船落后乙船57.6米，甲船每小時(shí)行駛32.5米，請(qǐng)問乙船每小時(shí)行駛多少千米？植樹問題：圓形滑冰場(chǎng)的一周全長(zhǎng)為150米，如果沿著這一圈每隔15米安裝一盞燈，一共需要安裝幾盞燈？考核結(jié)果：三名同學(xué)在解題時(shí)，花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間仍未有解題思路，也沒有想到數(shù)形結(jié)合思想。5分鐘后，小組調(diào)查人員提醒他們可以通過(guò)圖形來(lái)解題，三名學(xué)生仍不知道采用何種圖形。調(diào)查人員在展示工程問題的數(shù)量關(guān)系圖形后，學(xué)生能夠理解并進(jìn)行下一步驟的解答。在第一題解答的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠把數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到相遇問題的解答中并順利求出結(jié)果。植樹問題的圖形是一個(gè)圓形，而非前兩題所涉及的均為直線圖形，學(xué)生再次感到困難。問題分析：在調(diào)查中，學(xué)生反映對(duì)于“數(shù)形結(jié)合思想”的具體含義是不知道的，但非常喜歡老師在教學(xué)新概念時(shí)，使用多媒體放映動(dòng)畫來(lái)輔助教學(xué)的方式。同時(shí)，他們一致認(rèn)為自己能夠通過(guò)畫圖的方式把應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，幫助自己解題，對(duì)于通過(guò)擺小棒等幫助更好地理解不退位減法的運(yùn)算方法的方式也表示認(rèn)可。但是在實(shí)際操作中，調(diào)查小組發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力上顯示一般。在該學(xué)段常規(guī)數(shù)學(xué)問題上，學(xué)生一開始較難聯(lián)系到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，在提醒可使用該方法后也缺少相應(yīng)圖形的想法，即使給出相應(yīng)解答方法后，學(xué)生也難以舉一反三，運(yùn)用到其他類型的題目中。

現(xiàn)在許多教學(xué)一線教師在教學(xué)中主動(dòng)向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想的觀念并不牢固，甚至許多教師自身并沒有樹立數(shù)形結(jié)合思想，即使是在教學(xué)過(guò)程中使用畫圖等工具輔助解題，也可能只是將其看成一種解題方法，自身卻沒有意識(shí)到這是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想。

五、推進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用的解決措施

1.充分利用各種課程資源。課程資源包括文本資源——如教科書、教師用書、教與學(xué)的輔助用書、教學(xué)掛圖等;信息技術(shù)資源——如網(wǎng)絡(luò)、教學(xué)軟件、多媒體光盤等;社會(huì)教育資源——電視廣播、圖書館、報(bào)紙雜志等;環(huán)境與工具——如日常生活環(huán)境中的數(shù)學(xué)信息、用于操作的教具、學(xué)具等;生成性資源——如教學(xué)活動(dòng)中提出的問題等。這里重點(diǎn)講一下信息技術(shù)資源和教具、學(xué)具對(duì)滲透數(shù)形結(jié)合思想的作用。在對(duì)學(xué)生的訪談中，可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生十分喜歡教師在課堂上使用多媒體，不僅能夠激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，還能讓他們的思路更加清楚。可見，各種課程資源是有效地在課堂中滲透數(shù)形結(jié)合思想的載體和途徑。

2.教師應(yīng)不斷更新教育理念與模式。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：理想中，教師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的頻率與在實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的頻率之間存在著顯著的相關(guān)性。作為經(jīng)歷了新課改的小學(xué)數(shù)學(xué)老師，要不斷更新自己的理念。在觀念更新的前提下，教師才能在教學(xué)行動(dòng)上有所改進(jìn)。而觀念的更新依賴于教師對(duì)教育政策變化的關(guān)注程度，以及教師本身對(duì)數(shù)形結(jié)合思想前沿研究的關(guān)注程度。千百年來(lái)，無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行研究論述，直到今天還在不斷深入。所以，當(dāng)代小學(xué)數(shù)學(xué)教師要時(shí)刻關(guān)注政策及研究成果，不斷加深認(rèn)識(shí)，更新理念。數(shù)據(jù)表明：班主任相對(duì)于（非班主任的）任課老師和管理型教師來(lái)說(shuō)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的頻率相對(duì)較低，且有顯著差異。班主任是一種比較特殊的教師，不僅負(fù)責(zé)教學(xué)，同時(shí)肩負(fù)著班級(jí)管理的重?fù)?dān)。在研究教學(xué)的同時(shí)，還要不斷探索更適宜本班的班級(jí)運(yùn)行模式，包括班級(jí)常規(guī)、班級(jí)文化建設(shè)、學(xué)生的思想道德品質(zhì)等。因此，與任課老師相比，班主任在教學(xué)上所下的功夫相對(duì)會(huì)少一些。但隨著教育質(zhì)量及小學(xué)教師要求的不斷嚴(yán)苛，特別是對(duì)小學(xué)教師職稱的評(píng)比，對(duì)教師綜合素質(zhì)的要求越來(lái)越高，教學(xué)、科研等維度，教師都應(yīng)合理地不斷尋求進(jìn)步，尋求突破。因此，班級(jí)管理不能作為班主任的教學(xué)水平得不到提高的借口，班主任應(yīng)該調(diào)整好自己的心態(tài)，不斷更新自己的教育理念，在管理與教學(xué)之間尋求一種動(dòng)態(tài)的平衡。各個(gè)班主任之間也應(yīng)該加強(qiáng)團(tuán)隊(duì)建設(shè)，定期交流溝通，互相觀摩課堂。

3.數(shù)形結(jié)合思想的滲透應(yīng)隨年級(jí)逐漸加深。小學(xué)分為兩個(gè)學(xué)段，在不同的學(xué)段，教師滲透數(shù)形結(jié)合思想的方式要加以區(qū)別。在一、二年級(jí)，教師不必專門講解，只要在概念教學(xué)、例題講解等教學(xué)環(huán)節(jié)或圖形與幾何等課堂類型中加以運(yùn)用，以潛移默化的方式向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想;在三、四年級(jí)，隨著教學(xué)的深入，教師可以對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行專門講解，學(xué)生能在了解的基礎(chǔ)上加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)，在運(yùn)用中更得心應(yīng)手;在五、六年級(jí)，教學(xué)剛開始時(shí)，教師可以在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候加以強(qiáng)調(diào)，等學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有深刻印象和能熟練應(yīng)用時(shí)，逐漸弱化，后期甚至可以讓學(xué)生提出是否運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想。

Research on the Application of the Combination of Number and Shape in Primary School Mathematics Teaching

FAN Meng-ting

（Zhejiang Normal University， Jinhua， Zhejiang 321000 ，China）

Abstract： the problem of quantity relationship and space form combined consideration， or convert quantity relationship to the nature of the problem space， or the space relationship between the nature of the problem into a number of issues， this thought is the number form combining ideas to deal with problems. Number form combining as one of the most important mathematical thinking method of mathematics learning， reflects the interdependence between "number" and "shape"， mutual transformation of one to one correspondence relation， is the combination of image thinking and abstract thinking.

Key words： number form combining ideas; Organizational form; Problem; The measures