高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧

馮義羽

摘 要：不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)解決實(shí)際問題具有重要幫助，所以本文主要探討了高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型以及解題技巧，希望能夠幫助學(xué)生輕松的解題，以此增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，提高高中數(shù)學(xué)成績(jī)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 不等式 易錯(cuò)題型 解題技巧

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，所以抓住不等式解題技巧，進(jìn)行快速解題至關(guān)重要。在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)過程中，不等式也是學(xué)生的易錯(cuò)題，所以加強(qiáng)對(duì)易錯(cuò)題型的分析，并對(duì)其進(jìn)行總結(jié)，以便為以后的解題提供正確的思路。因此本文在此進(jìn)一步探討高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧，以此提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維的創(chuàng)造性，下面從三類易錯(cuò)題型談起。[1]

類型一：不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，涵蓋的內(nèi)容較多，包括不等式、三角、幾何以及函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，主要考察學(xué)生的綜合解題能力，同時(shí)由于此類題型解法較為靈活，從而能夠增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性以及創(chuàng)造性。關(guān)于不等式恒成立問題，可以分為五種類型，即一次函數(shù)型、二次函數(shù)型、根據(jù)函數(shù)圖像、變量分離型以及根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)命題型，其中以變量分離或抽象函數(shù)命題的較為常見，由于此類題型具有較強(qiáng)的抽象性，是高中不等式問題的難點(diǎn)，學(xué)生在解題過程中，非常容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例1：已知，當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：設(shè)F（x）==-2x3+3x2+12x-a，由題意可知，F(xiàn)（x）≤g（x）在x∈[-3，3]恒成立，所以F（x）≤0在x∈[-3，3]恒成立，令F（x）=-6x2+6x+12=0，得x=2或x=-1，而F（-1）=-7a，F(xiàn)（2）=20-a，F(xiàn)（3）=9-a，所以F（x）max=45-a≤0，a≥45，a的取值范圍為[45，+ ∞）。

不等式恒成立問題的解題技巧主要包括判別式法、最值法、分離變量法、變換主元法等等，在解題時(shí)，學(xué)生應(yīng)注意觀察題型，選擇的合適的解題方式。例1中考點(diǎn)是結(jié)合不等式以及函數(shù)，求區(qū)間上的最值，對(duì)于最值問題，可以將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用不等式進(jìn)行求解，需要注意的是，轉(zhuǎn)化過程中不等號(hào)的方向非常容易弄錯(cuò)，需要遵循“一正、二定、三相等”的原則，同時(shí)應(yīng)注意思維的靈活性，加強(qiáng)對(duì)題意的理解和分析。[2]

類型二：含參不等式問題

含參不等式問題也是一種重要的題型，其主要題型包括含參的一元二次不等式、含參數(shù)的絕對(duì)值不等式、含參數(shù)的分式不等式問題，由于含參不等式問題通常需要進(jìn)行分類討論，在解題過程中，容易出現(xiàn)漏、重的問題。所以對(duì)于此類問題，應(yīng)弄清怎樣進(jìn)行討論，從合理的角度的出發(fā)，保證不重不漏。下面以含參數(shù)絕對(duì)值不等式為例.

例2：解關(guān)于x的不等式|x2+2x-3|>a

解：當(dāng)a<0時(shí)，得x∈R。當(dāng)a≥0時(shí)，得①x2+2x-3>a或②x2+2x-3<-a。

由①解得x>-1+或，由②得（x+1）2<4-a。當(dāng)0≤a<4，解得-1--1+﹜

例2為含參數(shù)的絕對(duì)值不等式，其關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，對(duì)于此類問題，思維容易出現(xiàn)混亂，對(duì)于本題一是要將絕對(duì)值符號(hào)去掉，進(jìn)行分類討論，二是需要對(duì)a的范圍進(jìn)行討論。在平時(shí)解題過程中，會(huì)經(jīng)常能夠遇到比較復(fù)雜的絕對(duì)值問題，對(duì)此，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，復(fù)雜的絕對(duì)值問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的絕對(duì)值問題，并對(duì)沒有絕對(duì)值不等式進(jìn)行求解。總之，對(duì)于含參數(shù)不等式問題，需要進(jìn)行科學(xué)合理的討論，保證不重不漏，這就需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成認(rèn)真、仔細(xì)的習(xí)慣，從審題、分析到做題，都能做到一絲不茍。

類型三：與線性規(guī)劃結(jié)合問題

線性規(guī)劃問題也是重點(diǎn)考點(diǎn)以及熱點(diǎn)，所以加強(qiáng)對(duì)線性規(guī)劃問題的探討至關(guān)重要。與線性規(guī)劃結(jié)合問題在高中數(shù)學(xué)占據(jù)一定的比例，線性規(guī)劃問題，可以能夠有效的解決實(shí)際問題，所以能夠培養(yǎng)學(xué)生的解決實(shí)際問題的能力。對(duì)于顯性規(guī)劃問題，考察的知識(shí)點(diǎn)包括定義域、最值以及面積計(jì)算等，所以對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)較為困難，所以在解題過程中，經(jīng)常出錯(cuò)。對(duì)于這類題型，需要學(xué)生對(duì)不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃的性質(zhì)進(jìn)行準(zhǔn)確理解，這樣才能夠夠準(zhǔn)確進(jìn)行不等式的解題。[3]

例3，設(shè)x、y滿足條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為_

A. B C D.4

解：根據(jù)上圖進(jìn)行分析，上述陰影部分由不等式來(lái)表示，可以看出ax+by=z（a>0，b>0）時(shí)，x-y+2=0，3x-y-6=0，兩直線相交于一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（4.6），目標(biāo)函數(shù)取最大值12，所以可以得出4a+6b=12，+=+=+（ ≥=，因此本題選擇A.

對(duì)于此類題型，其解題技巧主要包括兩點(diǎn)，一是能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為顯性規(guī)劃問題，能夠根據(jù)題意，畫出可行域，并且通過對(duì)可行域的分析，加強(qiáng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的理解，二是帶有參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，可以增加問題的開放性以及探索性，所以可以對(duì)目標(biāo)的函數(shù)的結(jié)論入手，通過對(duì)圖形的動(dòng)態(tài)分析，確定相關(guān)量。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，不等式問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，由于不等式問題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)較廣，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)較為困難，而且不等式的類型也較多，如含參不等式、不等式恒成立以及與線性規(guī)劃結(jié)合等類型題，這幾種類型題是不等式考察的重點(diǎn)以及熱點(diǎn)，卻也是學(xué)生的易錯(cuò)題型，所以在解題過程中，必須抓住其解題技巧，并多加練習(xí)，遵循解題的基本思路，進(jìn)而能夠快速的解題，以此提高學(xué)生的高中數(shù)學(xué)成績(jī)。

參考文獻(xiàn)

[1]李嚴(yán). 高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧[J]. 亞太教育，2015，22：50.

[2]張尹浩. 高中數(shù)學(xué)不等式應(yīng)用及學(xué)習(xí)策略[J]. 企業(yè)導(dǎo)報(bào)，2016，02：137+3.

[3]黃東，茍一泉，趙中玲. 高中數(shù)學(xué)中不等式的證明方法[J]. 湖南農(nóng)機(jī)，2011，07：171-172