反思考題難點(diǎn)，預(yù)設(shè)“一題一課”——以2016年江蘇南通中考卷第28題為例

☉江蘇省海安縣李堡初級(jí)中學(xué)朱國生

反思考題難點(diǎn)，預(yù)設(shè)“一題一課”——以2016年江蘇南通中考卷第28題為例

☉江蘇省海安縣李堡初級(jí)中學(xué)朱國生

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），不少老師圍繞2016年中考試題給出思路突破，并設(shè)計(jì)“一題一課”，感覺十分實(shí)用，可以直接拿到課堂上去開展教學(xué).加上筆者有機(jī)會(huì)參加了2016年南通市中考閱卷，承擔(dān)了全卷最后一題的評(píng)分工作，對(duì)眾多考生解答考題的方法有了較為全面的關(guān)注，閱卷之后，將該題的思路突破和講評(píng)的教學(xué)構(gòu)思整理出來，提供研討和分享.

一、考題的思路突破與解后反思

考題（2016年江蘇南通中考卷第28題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C（3，0），函數(shù)y=（k＞0，x＜0）的圖像經(jīng)過?OABC的頂點(diǎn)A（m，n）和邊BC的中點(diǎn)D.

（1）求m的值；

（2）若△OAD的面積等于6，求k的值；（3）若P為函數(shù)y=（k＞0，x＜0）的圖像上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M，直線l與x軸上方的?OABC的一邊交于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)=時(shí)，求t的值.

圖1

圖2

1.思路突破

（1）先設(shè)法用m、n表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m+3，n）；再設(shè)法表示點(diǎn)D的坐標(biāo)，如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，借助△CED∽△CFB，可得==，再結(jié)合D為BC的中點(diǎn)，CF=m，BF=n，有CD=CB，CE=，DE=，于是D（ 3+，）.因?yàn)辄c(diǎn)A、D在函數(shù)y=的圖像上，可得mn=（3+）·=k，這里雖然參數(shù)較多，但可消去n，解得m=2.

（2）如圖3，首先要回顧一個(gè)平行四邊形的面積性質(zhì)，即△AOD的面積應(yīng)該等于?OABC面積的一半，這樣可得?OABC的面積為12；接著用n的代數(shù)式表示出?OABC的面積，從而得到關(guān)于n的方程，即S?OABC=OC· yA=3n=12，解得n=4，所以A（2，4），即k=2×4=8.

圖3

圖4

（3）先做些準(zhǔn)備工作，結(jié)合點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，利用反比例函數(shù)關(guān)系式用含k的代數(shù)式分別表示點(diǎn)A（ 2，），B（ 5，）.由于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，可用t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)和PM的長，即點(diǎn)P在函數(shù)y=的圖像上，可得

接下來，根據(jù)點(diǎn)N的位置情況分在OA邊上、AB邊上、BC邊上討論，構(gòu)造如圖4～圖6的示意圖進(jìn)一步分析.

圖5

圖6

2.解后反思

以下從該題的主要難點(diǎn)給出幾點(diǎn)反思.

難點(diǎn)之一：起點(diǎn)較高，需要較強(qiáng)的變形、消元能力.

第（1）問有多個(gè)參數(shù)m，n，k，不容易看穿問題的結(jié)構(gòu)，只能構(gòu)造圖2，利用相似三角形的性質(zhì)用含m、n的式子表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并根據(jù)A、D同時(shí)在反比例函數(shù)圖像上列出含m、n、k的等式，然后逐個(gè)消元，消去k、n，可求出m.注意：也只能求出m，即不能確定n、k的值.

難點(diǎn)之二：平行四邊形面積的深刻理解與靈活運(yùn)用.

第（2）問的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)圖3中△AOD的面積應(yīng)該等于?OABC面積的一半，然后得出?OABC的面積為12；這對(duì)于后續(xù)用含n的式子來表示?OABC的面積有重要作用.根據(jù)閱卷發(fā)現(xiàn)，一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，不少學(xué)生雖然第（1）問沒有解出，但卻可以解出第（2）問，而把第（2）問解出的n回代第（1）問后，再求出m的值，這種解法是有漏洞的，閱卷時(shí)第（1）問并不能得到滿分，屬于交叉引用題肢中的條件.

難點(diǎn)之三：制定合理分類標(biāo)準(zhǔn)使問題不重不漏.

第（3）問在“準(zhǔn)備工作”（用含k、t的式子表示相關(guān)點(diǎn)或線段的坐標(biāo)）之后，一個(gè)重要進(jìn)展就是合理制定分類標(biāo)準(zhǔn)，即分點(diǎn)P在三條不同邊上進(jìn)行討論，在邊BC上，還需要進(jìn)一步“二級(jí)分類”，即思考點(diǎn)P在N點(diǎn)的上方或下方時(shí)，列式時(shí)用“”來統(tǒng)一，以防漏解.

二、解題教學(xué)的“微設(shè)計(jì)”

教學(xué)環(huán)節(jié)一：熟悉圖像，熱身問題

（1）求k的值；

（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）求?OABC的面積；

（4）求△AOD的面積.

設(shè)計(jì)意圖：通過賦值點(diǎn)A的坐標(biāo)，從特殊出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生先熟悉圖1中的一些線段之間的關(guān)系，坐標(biāo)之間的靈活轉(zhuǎn)換，為后續(xù)問題的探究熱身.

教學(xué)環(huán)節(jié)二：考題探究，鋪墊問題

例2如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C（3，0），函數(shù)y=（k＞0，x＜0）的圖像經(jīng)過?OABC的頂點(diǎn)A（m，n）和邊BC的中點(diǎn)D.

（1）用含m、n的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）求m的值.

（3）小琪同學(xué)經(jīng)過探究，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A一定在直線x=2上.你覺得小琪的發(fā)現(xiàn)正確嗎？為什么？

（4）求證：點(diǎn)B一定在直線x=5上.

（5）連接AD，OD，△AOD與?OABC的面積有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

（6）在（5）條件下，若△OAD的面積等于6，求k的值.

設(shè)計(jì)意圖：通過增設(shè)第（1）問，促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m，增設(shè)第（3）問服務(wù)于第（4）問求k的值.

教學(xué)環(huán)節(jié)三：考題探究，鋪墊問題

例3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C（3，0），函數(shù)y=（k＞0，x＜0）的圖像經(jīng)過?OABC的頂點(diǎn)A（2，n）和邊BC的中點(diǎn)D.若P為函數(shù)y=（k＞0，x＜0）的圖像上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M，直線l與x軸上方的?OABC的一邊交于點(diǎn)N.

（1）用含k的式子表示點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，用含t、k的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)及PM的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)N在邊AB上，且PM=PN時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

圖7

教學(xué)環(huán)節(jié)四：聽課檢測(cè)，變式再練

改編題：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C（4，0），函數(shù)y=（k＞0，x＜0）的圖像經(jīng)過?OABC的頂點(diǎn)A（m，n）和邊BC的中點(diǎn)M.

（1）用含m，n的式子表示點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）求m的值.

（3）若點(diǎn)B在直線x=a上，求a的值.（4）設(shè)直線x=t與函數(shù)y=（k＞0，x＜0）的圖像交于點(diǎn)P，與?OABC在第一象限的邊交于D點(diǎn)，與x軸交于E點(diǎn).

①當(dāng)PD=PE時(shí)，求t的值；

改編意圖：改編了數(shù)據(jù)和字母，并且增設(shè)了一些鋪墊問題，有效檢測(cè)聽課的效果，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如果學(xué)生真正理解了考題及上面的講評(píng)過程，那么該變式習(xí)題也可以找到類似的解答方法.

三、結(jié)束語

筆者以為，“一題一課”的研究是一個(gè)很大的課題，特別是對(duì)于復(fù)習(xí)課、較難的綜合題講評(píng)課，有著特殊重要的現(xiàn)實(shí)意義.不僅僅為了學(xué)生的“眼前利益”，更重要的是傳遞學(xué)生研究綜合題的探究套路，從簡單出發(fā)，明晰起點(diǎn)，看準(zhǔn)方向，鍥而不舍，勇攀高峰，挑戰(zhàn)自我.在這個(gè)意義說，“一題一課”的研究方興未艾，期待看到更多的案例跟進(jìn)，豐富這個(gè)課題的案例成果.

1.鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)方法論入門［M］．杭州：浙江教育出版社，2006（3）.

2.羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008．

3.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］．閻育蘇，譯．北京：科學(xué)出版社，1982.

4.楊衛(wèi)東．客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命制歷程［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）．H