直線與圓錐曲線的綜合問題

葉海明

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）24-0102-02

兩千多年前，古希臘數學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，發現用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線，當平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結果退化為一條直線。直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是平面與圓錐相交的產物。通常我們把圓、橢圓、雙曲線、拋物線統稱為圓錐曲線，直線與圓錐曲線的綜合問題，通常涉及直線與圓錐曲線的位置關系，體現為直線與圓錐曲線相切與相交問題，可以采用幾何方法或代數方法來求解。

一、直線與圓的綜合問題

圓是到定點距離等于定長的動點的軌跡，圓有兩個基本量：圓心、半徑。直線與圓的綜合問題可以用代數法和幾何法求解，一般情況下，利用幾何法求解直線與圓的綜合問題比較簡便明了。

例1：已知圓O：x2+y2=4。（1）求過點A（-1，）的圓的切線方程；（2）求過點（1，2）的圓的切線方程。

這時直線與圓的切線問題，切線問題通常涉及兩種題型：已知切點；未知切點。已知圓心O（0，0），半徑為2。第一小題點A（-1，）是切點，求得直線OA的斜率為-，因為直線OA與切線垂直，則切線的斜率為，可得切線方程為x-y+4=0。第二小題點（1，2）不是切點，這時就要利用圓心到切線的距離等于半徑這一特征，可設切線的斜率為k，利用點到直線的距離公式，易得k=0或k=-，即切線方程為y=2或4x+3y-10=0。要注意假設直線的斜率時，要考慮直線的斜率是否存在的情況。

例2：已知圓O：x2+y2=8內一點P（-1，2），過點P的直線l的斜率為-1，直線l與圓交于A、B兩點，求線段AB的長。

直線與圓的弦長問題須借助垂徑定理，運用弦心距（即圓心到弦的距離）、弦長的一半及半徑構成的直角三角形計算。已知圓心O（0，0），半徑為2，圓心到直線AB：x+y=1的距離為，從而根據勾股定理，可得|AB|=。直線與圓的弦長問題中，上述直角三角形是關鍵，本質上是直角三角形中的三個量的相互轉化，是數形結合思想的應用，體現轉化與化歸的數學思想。

二、直線與橢圓、雙曲線及拋物線的綜合問題

例3：已知直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A。（1）求實數b的值；（2）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程。

直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關系問題，主要涉及方程的思想和韋達定理。第一小題是直線與拋物線的切線問題，由y=x+b、x2=4y聯立方程組，得x2-4x-4b=0，則△=16+16b=0，解得b=-1。直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關系，通常轉化為一元二次方程的解的個數問題，利用判別式△與0的大小關系來判斷解的個數，進而判斷直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關系。第二小題是直線與圓的切線問題，求得圓心A（2，1），半徑為2，則圓的方程為（x-2）2+（y-1）2=4。兩題均為切線問題，卻體現了兩種截然不同的解題思路，一個是代數方法，另一個是幾何方法，都是數形結合思想的應用，一個是幾何問題代數化，另一個是代數問題幾何化。

例4：已知直線l：y=kx+m與雙曲線C：x2-3y2=3交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，-1），求實數的取值范圍。

此題是直線與雙曲線的相交問題，涉及弦的中點問題，又是取值范圍問題，綜合性較強。圓錐曲線中最值與取值范圍問題是解析幾何的核心問題，是常考點之一。取值范圍問題常常與不等式有關，求特定字母的取值范圍時，可首先考慮利用題目給出的幾何元素的位置關系以及幾何量的代數關系，建立特定字母的不等式，從而求得其取值范圍。

根據題意，由y=kx+m、x2-3y2=3，可得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，所以1-3k2≠0且 >0，這里因為是求實數m的取值范圍，所以將參數m與k分離，則可得m2>3k2-1且1-3k2≠0①。為了求實數m的取值范圍，須將參數k轉化為參數m，所以須尋找關于參數m與k的方程。易得線段MN的中點B（），由線段MN垂直于線段AB，所以兩直線的斜率的乘積等于-1，可得3k2=4m+1。代入①式，得m2-4m>0且4m+1>0，所以實數m的取值范圍是（-0.25，0）U（4，+∞）。

最值與取值范圍問題的求解需注意兩個方面：一是利用判別式的符號可限制參數的取值范圍；二是求解目標函數的最值時，要根據解析式的特征靈活選擇相應的方法：配方法、均值不等式、導數法等，通常利用前兩種方法，因為導數在函數中已經考查，一般不會重復考查。

例5：已知拋物線C：x2=4y，過點M（0，2）任作一直線與C相交于A、B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D（O為坐標原點）。（1）證明：動點D在定直線上；（2）作C的任意一條切線l（不含x軸），與直線x=2相交于點N1，與（1）中的定直線相交于點N2，證明：|MN2|2-|MN1|2為定值，并求此定值。

定值、定點等問題是一個熱點，其解法充分體現了解析幾何的基本思想：運用坐標法逐步將題目條件轉化為數學關系式，然后綜合運用代數、幾何知識化簡求值。

第一小題設直線AB的方程為y=kx+2，代入C：x2=4y，得x2-4kx-8=0。設點A（x1，y1）、B（x2，y2），則有x1x2=-8，直線AO的方程為y=x，直線BD的方程為x=x2，解得交點D的坐標為（x2，），注意得到x1x2=-8及x12=4y1，則有y=-2，所以動點D在定直線y=-2上。第二小題依題意，切線l的斜率存在且不等于0，則切線l的方程為y=ax+b（a≠0），代入C：x2=4y，得x2-4ax-4b=0，由于 =0，得到b=-a2。故切線l的方程為y=ax-a2，分別令y=2，y=-2，得N1、N2的坐標分別為（+a，2），（-+a，-2），利用兩點間的距離公式可得|MN2|2-|MN1|2=8，所以|MN2|2-|MN1|2為定值8。

直線與圓錐曲線的綜合問題本質上是以直線與圓錐的位置關系（相切或相交）為載體，考查切線、相交線、弦長、最值及取值范圍等問題，直線與圓的問題要注意利用直線與圓的圖像來輔助解題，而直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題基本上是用代數方法來解題，要注意判別式的取值范圍，在有多個參數的情況下，要注意建立參數間的相互聯系，從而將多個參數的表達式轉化為單個參數的表達式，進而求最值及取值范圍。

（責任編輯 陳 利）