圖形的魅力
——論“幾何直觀”在小學低段數學中表現的幾種形式

浙江省諸暨市海亮小學 陳 慧

圖形的魅力
——論“幾何直觀”在小學低段數學中表現的幾種形式

浙江省諸暨市海亮小學 陳 慧

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）先后多處就“幾何直觀”的教學提出了明確要求。本文僅結合小學數學課堂教學的典型案例，談談“幾何直觀”在小學低段數學中表現的幾種形式。

幾何直觀；低段數學；表現形式

“幾何直觀”的內涵可以從兩個角度進行解析：一是幾何，在這里幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西，更重要的是依托現在看到的東西和以前看到的東西進行思考、想象。

作為新課程標準在“課程內容”中重點闡述的應該發展學生“10大核心概念”之一，對于幾何直觀，《標準》還明確指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。此外，對于數學直觀，著名數學家徐利治先生也有過對幾何直觀的描述：幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系，產生對數量關系的直接感知。西方哲學家通常認為，直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識。以這些理論知識作為基礎，結合個人的思考和分析之后認為：幾何直觀就是依托、利用展現或想象出來的幾何圖形進行數學地思考和想象，它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力。

多年的小學低段數學課堂教學實踐經歷，使筆者充分意識到了培養和發展小學生“幾何直觀”能力的必要性和重要性。因而，對于依據知識自身的特點和兒童認知發展規律，實施有針對性的課堂教學，在以下幾個方面結合具體的實例進行了思考和探索。

一、實物直觀

即實物層面的幾何直觀，是指借助與研究對象有著一定關聯的實際存在物，借助其與研究對象之間的關聯，進行簡捷、形象的思考，獲得邏輯的、形式的結論。

案例一：為什么余數一定要比除數小

1.觀察算式，得出結論

在二年級下冊第六單元講有余數的除法時，我讓學生觀察每個除法算式：

11÷5=2……1

12÷5=2……2

13÷5=2……3

14÷5=2……4

15÷5=3

16÷5=3……1

師：看看每個算式中的余數和除數，你們有什么發現？（學生沒有頭緒）

師追問：我把除數和余數標上不用的顏色，你們再仔細觀察，余數和除數比，有什么關系？（余數都比除數小）

師：可是為什么余數都比除數小，余數能和除數一樣大嗎？

部分學生說出了如果余數和除數一樣大，就可以再多商一個1，但還有一些同學似懂非懂、不明算理。

2.實物擺弄，探究規律

看到學生似懂非懂的表情，我知道雖然結論已經得出，但是學生還沒有完全理解余數一定要比除數小的深層算理，為了挖掘出“余數一定要比除數小的”深層算理，我設置了問題情境，采用小組合作、動手操作的形式完成下面的問題。先讓學生在小組內分一分，再全班反饋。

一組：有11個草莓，每5個為一份，可以分成幾份？

二組：有12個草莓，每5個為一份，可以分成幾份？

三組：有13個草莓，每5個為一份，可以分成幾份？

四組：有14個草莓，每5個為一份，可以分成幾份？

五組：有15個草莓，每5個為一份，可以分成幾份？

六組：有16個草莓，每5個為一份，可以分成幾份？

各組完成操作后，每個組派一名代表上臺講解自己組分的過程，有的小組借助笑臉，有的小組借助小棒，有的小組直接在黑板上畫圓分析，有的小組用實物圖分草莓，都說出了自己分的過程。

一組：11張笑臉，每5個為一份，可以分成兩份， 還剩下1個，不夠分了。

二組： 12根小棒，每5個為一份，可以分成兩份，還剩下2根，不夠分了。

三組：畫了13個圓，每5個為一份，可以分成兩份，還剩下3個，不夠分了。

四組：畫個14個草莓，每5個為一份，可以分成兩份，還剩下4個，不夠分了

……

待學生講述完分法后，我讓學生進一步觀察，并提問：

師：剩下的為什么不分了？剩下多少的時候就不夠分了？（1個、2個、3個、4個）

師：剩下5個夠分嗎？6個呢？

生1：剩下5個剛好分出1份，剩下6個，也能多分出1份呢！

生2：剩下的5個，或者比5個多，就能多分出1份。

師：現在你知道，余下的數和除數之間到底有什么關系了吧？（余數比除數小）

師：誰能再說說是為什么？

生1：如果余數比除數大了，那就還要再分一份，還要接著分。

生2：我覺得，余數和除數一樣大了也不行，這樣正好還能再分一份，剛好分完，就沒有余數了。

師引導小結：余數一定要比除數小。

學生通過借助各種實物模型，直觀形象地感受著余數與除數之間的關系，使得“余數一定要比除數小”不再只是學生機械地記在心里的一句法則，而是通過“數形結合”理解內化的數學知識。由此可見，實物直觀，能較好地激發學生的學習興趣、幫助學生理解，并為知識的后續學習奠定能力基礎。

二、圖形直觀

圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體，通過演繹、轉化、推導、驗證，從而得出結論的一種幾何直觀。

案例二：“求一個數是另一個數的幾倍”

在“求一個數是另一個數的幾倍”中，用到的線段圖就是一種通過運用基本圖形去發現、描述問題，有助于探索、發現解決問題的思路的一種直觀圖示。

出示例題：擦桌椅的有12人，掃地的有4人，擦桌椅的人數是掃地的幾倍？

師：你能用畫圖的方法解決這個問題嗎？

展示示意圖1：

擦桌椅的：︱︱︱︱ ︱︱︱︱ ︱︱︱︱

掃地的：︱︱︱︱

師：說說你是怎么想的？

生：把掃地的4人看成一份，擦桌椅的有這樣的3份，那就是擦桌椅的人數是掃地的3倍。

師：其實我們還可以將示意圖簡化，畫出線段圖。

師引導畫線段圖理清兩者之間的數量關系。

邊畫邊說：如果用一段表示擦桌椅的人數（4人），那么掃地的有這樣的幾段？

12÷3＝4

答：學生的人數是老師的4倍。

這種圍繞“借助直觀、展示過程、啟迪思維”的學習模式，幫助我們把困難的數學問題變容易，把抽象的數學問題變簡單，使我們較好的理解題意，提高解題的能力。

三、簡約符號直觀

簡約符號層面的幾何直觀，就是在現實生活原型的基礎上進行一定的數學抽象而形成的半符號化的直觀。

案例三：衣服、褲子怎么搭？

課件出示：新年到了，媽媽為敏敏準備了2件上衣，3條褲子。

師：每次上衣穿1件，褲子穿1條，一共有幾種不同的穿法？

生1：4種。

生2：5種。

生3：6種。

……

師：到底有幾種？誰能清楚、有序地來搭一搭？

（學生們各顯神通，有借助學具擺一擺的，有用連線的方法連一連的，有用文字書寫的方法寫下來的。）

師：為了表述的方便，我們把2件上衣用字母A，B來表示，把3條褲子用字母a，b，c來表示。那在呈現搭配方法的時候就可以用Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc來表示。

邊講解邊板書。

隨后老師又設計了中餐一葷一素的搭配、動物園參觀路線的設計安排等一系列的題目，通過學生的觀察、轉化、交流，使學生明白各種不同的搭配可盡可能地轉化為簡單的數字、字母、符號，數學就是一條“數學——幾何——圖形”形成的關系鏈。

數學低段教學中“借助幾何直觀進行思考”的典型案例，在發展學生的思維活動方面，不僅僅能夠深化理解，而且能夠培養一種獨特的思維方式——憑借簡捷、直觀的載體，巧妙地化簡問題直至化解問題。“數學是研究數量關系與空間形式的科學。”空間形式最主要的表現就是“圖形”，在數學研究、學習和講授中，我們不僅需要關注研究圖形的方法、研究圖形的結果，還需要感悟圖形給我們帶來的好處。我們要將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算等數學的過程變得直觀，因此，在今后的數學教學中，我們要盡量地做到：能畫圖時盡量畫。

[1]數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]徐利治.談談我的一些數學治學經驗[J].數學通報，2000（5）：1－4.

[3]劉曉枚.再從“幾何直觀談起”[J].小學教學，2012：7-8.