例談數學習題課構建中的支撐與改進

周海濤

[摘 要] 數學習題課教學作為一種必不可少的教學形式，近期越來越受到廣大教師的重視，尤其是日常教學的一些環節，也確實取得了不小的進展. 但教學過程中仍存在一些問題. 初中數學答題技巧的訓練，應該被放在首要的位置，現實的情況是教師為了提高學生的分數一味地講例題、講模板，卻忽視了學生數學能力的培養. 本文將從一些日常實例入手，剖析如何有效地構建習題課教學，并提出一些改進建議.

[關鍵詞] 習題課；構建；支撐；改進

數學習題教學是以探究數學問題為主的教學，是學生獲得數學知識并培養探究能力的有效途徑. 習題課中對于習題的研究，能夠將學生數學學習過程中的發現、探究、研究與改進等認知活動凸顯出來，使學生參與并體驗數學知識的發現過程，建構起對數學學習新的認識. 通過習題課教學，學生可以從多角度深入理解數學知識，有利于建構數學知識之間的有效聯系. 當學生面對實際問題時，更容易聯想起所學的知識進行靈活應用. 下面，筆者就從日常實踐過程中的一些研究和感悟談起，分析習題課教學的有效構建、支撐和改進措施.

習題課教學現狀剖析

1. 重“分數”，輕“領悟”

當下，很多學校對于初中數學往往強調的都是分數，強調的是怎么用最簡單的辦法將題目做對. 雖然這種想法本身沒有錯，但是一味地要求解題步驟化和“規范化”將不利于學生數學能力的培養，有的甚至一味地注重對理論知識的灌輸，這樣的數學就失去了它原本的魅力. 不僅如此，數學還要與其他學科相結合，以二元一次方程的教學內容為例，可以設計可能發生的實際問題：A，B兩地相距150 km，甲和乙分別從兩地同時出發且相向而行，在運動過程中，他們都保持勻速行駛，也就是說，他們各自離A地的距離是花費時間的一次函數，已知1 h后乙距離A地120 km，2 h后甲距離A地80 km，問他們何時可以相遇. 這道題不僅考查了學生的數學能力，也考查了學生對生活問題的思考. 因此，如果只重視分數，就失去了分析這道題的另一個角度，也就使得數學失去了原本的魅力. 可見，數學成績需要打好基礎，技巧和能力的培養也同樣重要.

2. 評價標準單一，缺乏對比

目前，初中數學評價學生的表現還是依靠分數來進行的，分數高的學生就能夠在班里受到老師的重點照顧，而分數低的學生自然就會被忽視. 其實在初中就過分強調分數沒有好處，而且如果過度的競爭對于學生今后的成長也沒有好處. 從數學這門學科特點來看，完全依靠分數來衡量一個學生的成績是不現實的，更何況初中階段的學生，心理和生理還處在一個迅速發展的階段，考試過程中影響發揮的因素實在是太多. 一味地套用數學公式其實并不叫真正地掌握，而對于解題技巧的評價，因為內容太過籠統就更難以落實了，所以要對初中數學答題技巧教學進行改進，還需要完善這方面的內容. 可見，習題課教學需要力求解決以上兩個主要問題而進行重新構建.

數學習題課教學構建的支撐點

1. 通過激勵激發學生的學習興趣

數學學習如果完全依靠學習語文的學習方法，是達不到預定的學習效果的. 因為數學不僅要掌握所需的公式法則，還要有完整的運算步驟和推理過程，雖然如此，但是數學也同樣需要學習熱情，正是因為很多教師都意識不到這一點，所以導致很多學生會害怕學習數學，所以也就沒什么學習熱情，更不用說提高數學成績、掌握熟練的解題能力了. 因此，要想在新課改的背景下進行習題課嘗試，首先要激發學生的學習熱情，要觀察學生的學習情況，掌握學生的數學學習狀況，從而有針對性地入手.

案例1 已知：如圖1，AB∥CD，AB≠CD，E，F分別是BC與AD的中點，求證：EF∥CD.

證明 延長CD，過點B作AD的平行線交CD的延長線于點N，取BN的中點M，連接FM，連接EM. 因為AB∥CD，M，F分別是BN與AD的中點，所以FM∥AB∥CD. 又因為直線EM是△CBN的中位線，所以EM∥CD. 所以E，F，M三點在同一條直線上. 所以EF∥CD.

剖析與構建 在這道證明題當中，EF與CD的平行關系其實在視覺上是可以得出的，但是證明題需要步驟，而且要用課本上規定的定理，所以必須讓學生從條件出發，進行一步步的推理. 在這個過程中，教師應該做的是從旁進行引導，特別是涉及延長線與中位線的作圖，一定要讓學生去實際操作，這樣才能讓學生有一個鍛煉的機會. 而且這類題其實難度并不大，只要學生足夠細心，就能得出結論，所以用此類題幫助學生樹立信心再好不過了.

2. 不斷提高學生的再發現能力

比如進行反比例函數內容的講解時，應該學會讓學生從圖像和定義入手，發現反比例函數的特點. 下面來看一個常見的例子.

案例2 如圖2，直線y=-x+5與雙曲線y=（x>0）相交于A，B兩點，與x軸相交于C點，△BOC的面積是. 若將直線y=-x+5向下平移1個單位長度，則所得直線與雙曲線y=（x>0）的交點個數為（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1或2

剖析與構建 令直線y=-x+5與y軸的交點為D，過點B作BF⊥x軸于點F，通過令直線y=-x+5中x，y的值分別等于0，可得出線段OD與OC的長度，根據正切值即可得出∠DCO=45°. 再結合所作的垂直，可以得出△BFC是等腰直角三角形. 根據已知條件結合面積公式即可得出線段BF的長，再結合等腰直角三角形的性質可得出CF的長，于是可得OF的長，以及點B的坐標. 根據反比例函數圖像上點的坐標特征即可得出反比例函數系數k的值. 根據平移的性質找出平移后的直線的解析式，并將其代入反比例函數解析式中，整理后根據根的判別式的正負即可得出結論.

在幾何問題中，為了解決問題的便利，常將圖形拆分成幾個三角形，拆分的原則是盡量以坐標軸上的線段作為小三角形的一條邊，也就是以坐標軸為界拆分復雜圖形，這樣容易找到三角形的底和高. 把復雜圖形分解成簡單的圖形時，化難為易的轉化思想在解三角形面積中是最基本的思想.

3. 熟練掌握解題方法，靈活運用理論知識

學習數學的過程中，我們不難發現課本上也會經常標明一些解題的方法和公式，按照那個運算起來更加快捷容易，但是由于做題較少，缺乏訓練，沒有熟練掌握運算技巧和方法，所以比較容易出錯. 例如，對于初三所學的“解一元二次方程”，有兩個較為通用的解題方法：一是配方法，即將方程的一邊配成完全平方形式，然后兩邊開方；另一個是因式分解法，即把左邊化成兩個因式的乘積，右邊化為零.

案例3 解方程：2x2+6x+6=2.

分析 （配方法）原方程可整理為x2+3x+2=0，通過配方可得（x+1.5）2=0.25，通過開方即可求解. （因式分解法）上式可因式分解為（x+1）（x+2）=0，答案很明顯，即x=-1或x=-2.

所以，對于解方程一類的題，最重要的是讓學生打好基礎. 因此學生熟練地掌握這些知識很有必要，不僅可以有效地提高做題效率，還能增強學生學習的信心和積極性.

習題課教學的改進

回到案例2，這是一個經典的案例，除了對思路進行剖析以外，是否需要在習題課上做一些必要的改進呢？學生在日常學習中，往往對知識的理解呈現出碎片化的特征，所以，教師也需要在系統性方面做一些必要的提升，將解題過程完整和系統化，下面進行四步處理.

第一步：設直線解析式，通過作圖進行問題的初步展開. 令直線y=-x+5與y軸的交點為D，過點B作BF⊥x軸于點F，如圖3. 令直線y=-x+5中的x=0，則y=5，即OD=5；令直線y=-x+5中的y=0，則x=5，即OC=5.

第二步：通過幾何性質解決這一問題. 在Rt△COD中，因為∠COD=90°，OD=OC=5，所以tan∠DCO==1. 所以∠DCO=45°. 因為BF⊥x軸，∠DCO=45°，所以△BFC是等腰直角三角形.

因為S=OC·BF=×5×BF=，所以BF=1. 所以FC=1. 所以OF=OC-FC=5-1=4. 所以點B的坐標為（4，1）. 所以k=4×1=4，即雙曲線的解析式為y=.

第三步：通過綜合知識的運用，將問題解決系統化. 直線y=-x+5向下平移1個單位長度得到的直線的解析式為y=-x+4，將y=-x+4代入y=中，得-x+4=，化簡并整理后得x2-4x+4=0，即（x-2）2=0，解得x=2. 所以平移后的直線與雙曲線y=只有一個交點.

第四步：回頭看問題解決中用到了哪些知識點，如何進行構建和問題解決的. 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖像上點的坐標特征、特殊角的正切值、三角形的面積公式以及等腰直角三角形的性質. 解題的關鍵是求出點B的坐標. 解決此類題型的試題時，根據特殊角找出等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出點的坐標是關鍵.

結語

初中生的數學解題能力不高，可以說是長久以來困擾著我們的一個很重要的問題. 雖然新課改的推進工作已經進行了很長一段時間，但是一些細節方面還是會出現很多問題. 以上是筆者對此的總結. 對于日常的教學工作，我們需要從實際出發，在完善我們教學工作的基礎之上做到有所突破，這才真正貫徹了新課改的精神.