高中數學分析思想在數學解答中的應用

劉淇

摘 要：在高中數學解答之前，數學分析有著極其重要的作用。數學分析包括分析提意、分析思路、分析方法、分析結果等。事實上，數學是一門用數學符號表示出來的找關系、尋規律的學科，而找關系、尋規律離不開數學分析的思想。高中數學不同于小學和初中，它要求學生可以主觀能動地學習，獨立地思考，自主地分析和解決問題。如何將數學分析思想應用于高中數學解答中，是當前高中數學教學的重中之重。

關鍵詞：數學分析；數學解答；高中；數學教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1005-5312（2016）35-0266-02

一、高中數學分析思想的內涵

（一）數學審題思想

審題是數學解答的第一步，對答題至關重要。認真審題能夠讓學生對題目中的已知條件和所求問題有一個全面的認知。學生通過審題了解題意，并對題中已知條件進行細致的研究和分析。通過對問題的分析，為問題的解答奠定基礎。在數學解答時，學生能否掌握題目的關鍵因素在于審題能力。審題能力強的學生可以充分理解題意，通過將復雜的已知條件進行系統地歸納整理，發現隱性條件，從而快速、準確地解決問題。

示例：sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=2/3，求tgα*tgβ的值。

本題已知條件是兩個等式，表面看來與所求的tgα和tgβ之間沒有直接聯系。但是通過仔細審題與細致分析，綜合以前所學三角函數關系推演與轉換，可以很快地推演出已知條件與所求之解之間的聯系。即通過轉換tgα*tgβ的乘積形式為相除形式進行求解?？梢娡ㄟ^對本例的分析，可以發現審題能力的增強可以幫助學生對已知條件和所求之解進行深入地挖掘。

（二）合理應用知識、方法解決問題的思想

高中數學可以分為3大類。第一類為數學基礎知識，包括函數、不等式、數列、三角函數、復數、立體幾何、解析幾何等內容；第二類為數學思想（數學分析思想），包括函數與方程、數形結合、函數、等價轉化和分類討論等；第三類為數學方法，包括待定系數法、數學歸納法、換元法、反證法、配方法等。要解決高中數學的一些基本問題，必須理解和掌握數學基本知識、數學思想和數學方法。這些是高中數學分析思想的依據，是數學解答的重中之重。在數學解答時，必須對題意作出合理的分析，合理地選擇數學知識、思想和方法，迅速、順暢地解決問題。

數學分析中常用的方法包括舉一反三法、一題多解法和比較歸納法。先說舉一反三法，課本中的例題，往往是最具代表性的例題，突出教學的重點。我們在分析和解答了例題之后，應該注重發揮例題以點帶面的功能，嘗試從條件不變問題變和問題不變條件變等方面來綜合分析問題，以達到舉一反三的目的，提高數學分析能力。再說一題多解法，即通過不同的思路，融合不同的思想來求解多方面考慮一個問題，不斷分析找出最佳解法。最后說比較歸納法，即在數學分析時，從不同角度比較相互關聯的概念，將同一類問題歸類分析，不同類問題比較分析，從而提高數學分析的高效性和準確性，準確地進行數學解答。

（三）注重整體思維

嚴格地說，整體思維不是一種思維，而是一種技巧，一種手段。作為一種技巧，整體思維決定著數學分析和問題解決的情況，作為一種手段，它可以提高數學解題速度。整體思維的核心是整體處理，整體處理就是在處理問題時，充分利用整體與部分的關系，通過整體運算，整體代入，整體消元，整體合并等方法，簡化問題解答。

示例：已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，橢圓斜率為且過右焦點的直線與橢圓相交于、兩點，且與共線。

求：（I）橢圓的離心率；

（II）設為橢圓上任意一點，求證：為定值。

本題考查的基本知識包括直線方程、平面向量和橢圓的幾何性質，充分體現了整體思維是數學分析思想的重要組成部分，是數學解答的關鍵。如果不能將直線方程、平面向量和橢圓的幾何性質綜合考慮分析，就能準確快速地對本題作出解答。

（四）數學建模的思想

數學建模是根據題目的表述建立數學模型，并用反證法或數學歸納法等方法證明模型的準確性，最后根據建立的數學模型對求出數學問題的最優解。學生分析和解決問題的能力決定著數學建模的能力。高中學生，特別是高三學生面臨高考的壓力，所以在培養學習能力時，不僅要完善學生的數學能力，更重要的是對數學能力的實際應用，這對于高考來說是至關重要的。數學建模思想可以為學生提供核心有效的數學解答的思想。因此，在培養高中學生數學分析能力時，必須重視其數學建模能力。

示例：冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經過各對軋輥逐步減薄后輸出。輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r，問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？

本題首先考察學生的文字轉化能力。讀懂題意之后，學生的數學建模能力是正確解答本題的關鍵。只有正確建立冷軋機工作模型，才能更好地理解題意，正確地分析問題，準確地求解問題。因此，數學建模能力不僅是分析和解決實

際應用問題的重要途徑和核心， 而且是數學分析和數學解答過程中不可或缺部分。

二、數學分析思想與高中數學解答的聯系

數學分析是根據中學數學基礎形成的一些概念。當前數學分析中的一些重點，如導數、積分、無窮級數的收斂等都是根據中學數學的一些基礎知識演變而來。一些中學代數和幾何無法解決的問題可以運用數學分析有效地解決出來。從這一點看來，數學分析是為了解決中學數學不能解決的問題而逐漸發展起來的一門學科。由此可見，數學分析思想早已根深蒂固地融入高中數學教學。因此，在進行數學解答時，提前的數學分析是至關重要的。

數學分析對函數性質的研究是在實數范圍內進行的。通常情況下，實數一般分為有理數和無理數兩種。但是中學數學無法回答，或者說中學學生無法理解無理數的一些問題。在中學數學解答過程中，函數是比較重要的內容，高中數學主要研究函數的一些簡單性質和概念圖像，討論的內容也僅僅局限于函數的定義域、值域、交點和極值等。在數學分析中，利用微積分去研究函數的解答是一個簡單易行的方法。事實上，數學分析源于高中數學解答。對于高中生而言，在數學解答過程中，會出現諸如函數、無理數等一些無法簡單理解的問題，這就需要數學分析來進行論證，并推演出通用的、合情合理的解決方案。

三、如何將數學分析思想應用于數學解答

（一）重視基礎知識， 重視領悟、概括和提煉常見的數學分析思想和方法

扎實的基礎知識是數學分析和數學解答的關鍵，是提高思維水平和數學能力的關鍵。在數學知識發生、發展和應用過程中，離不開數學分析思想的支持中。事實上，數學分析思想是一種數學意識，用來認識、處理和解決數學問題。在數學解答過程中，數學解答的方法主要體現于數學分析思想，它可以決定解題的手段，具有模式化和易操作的特性。高中學生在數學解答時，需要綜合運用所學知識，認真領悟、概括并提煉某一數學思想，通過分析得出最有解決方法，這就是數學分析思想在數學解答中的應用。對于高中學生而言，只有掌握扎實的數學基礎知識，靈活的數學基本技能，弄清知識系統內在的聯系，才能具備優秀的數學分析思想和數學分析能力。只有在數學分析時將各知識體系之間的交叉、滲透綜合起來，才能在數學解答時靈活自如地運用數學分析思想，準確地概括和提煉題意，得心應手地解答問題。

（二）加強對知識的綜合分析與應用，提高數學解題時運用知識模式化的能力

高中數學解答是充滿模式的。只有合理地運用知識和模式，才能合理地提高高中學生分析問題和解決問題的能力。事實上，情境的創設有利于學生更好地理解和應用數學定義、公式、定理和性質等，對加固學生的數學基礎有著至關重要的作用。在學生對數學定義、公式和性質有了一定了解之后，再引入適當地綜合提型來鞏固和強化學生的基礎知識，提高其數學分析能力，提高其數學解答的準確性，加快其數學解答速度。在數學解答過程中，通過利用數學分析的方法，學生能夠自主地總結、歸納各種題型的解題模式。只有這樣，學生才有能力在數學解答過程中有的放矢，合理運用所學的數學思想和方法去解決各種數學問題。

（三）進行開放題和新型題的訓練， 開拓學生知識面

在數學解答之前，只有分析清楚所要解答的問題屬于哪一種類型，才能快速準確地作出解答。但是，實際中往往會出現一些讓學生根本摸不著邊的題型。出現這個問題的根本原因在于學生缺乏創新能力。事實上，學生創新能力的培養離不開新穎、靈活的問題模式，離不開多角度、多方位地思考問題。只有這樣，才能分析出合理解決問題的方法。換句話說，創新能力決定著學生分析問題和解決問題的能力。為了提高高中學生的創新能力，老師可以在教學過程中選擇適量的開放題和新型題進行訓練，這對于避免學生避免學生在數學解答時按照已學的某種固定模式去套、去思考或者按照形成的某種特定思維去分析，甚至束手無策，拓展學生知識面，牢固數學基礎，增強學生分析問題和解決問題地能力有著至關重要的作用。

（四）重視對問題的回顧，增強創新意識和創造意識

數學解答過程包括審題、分析題意、分析思路。在分析解決方案時，我們需要運用所學知識建立數學模型，合理推理并得出結論，最后再回顧和反思前面環節是否出現差錯。各個環節之間相互鏈接，環環相扣。數學解答的最終目的不單純是對于結果的追求，更重要的是提高學生分析和解決問題的能力，增強學生的創新精神和創造意識，這些恰恰需要通過回顧和反思問題來實現。因此，在數學解答過程中，重視分析回顧所求問題，對增強創新意識和創造意識至關重要。

新課改下，高中數學體系更注重對學生思考和探索能力的培養。不斷思考可以加深學生更好地理解所學知識，勤于探索則可以培養學生發現問題，分析問題，解決問題的能力。一個學生思考和探索能力的提高，在某種意義上可以提高其歸納和分析問題的能力。對于常見例題，如果學生可以在老師講解之前發表自己的想法和解題技巧，那么這個學生就具備了寶貴的思考和探索能力，在數學解答時，可以憑借這項能力很快地進行數學分析，得出最優的結果。事實上，高中數學解答離不開數學分析，而思考與探索正是數學分析的重要組成部分。

重視培養學生概括、歸納數學解題方法的能力

數學分析思想在數學學習和數學解答過程中起著至關重要的作用。毫不夸張的說，數學分析思想在數學解答過程中比數學基礎知識占有更重要的比重，它代表著學生解答問題的思路和意識，貫穿于數學學習，數學解答的整個過程。培養學生數學分析思想的關鍵之一在于培養學生概括，歸納數學解題方法的能力，只有具備這種能力，學生才能更好地認識、分析和解答問題。總之，學會概括和歸納自己所學的數學解答之法，才能在數學分析時對各種數學方法運用自如，不僅對于數學解答有著巨大幫助，也會讓學生在以后的學習中受益匪淺。

參考文獻：

[1]何金紅.新課標下高中數學教材分析研究[D].武漢：華中師范大學，2012.

[2]陸祥麗.高中數學思想方法的課程分析與教學實踐[D].成都：四川師范大學，2014.