例談直觀想象能力

金玉明

摘 要：直觀想象不等同于“數形結合”，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立數與形的聯系，構建數學問題直觀模型，探索解決問題的思路。

關鍵詞：核心素養；直觀想象；數形結合

數學學科核心素養主要包含以下六個方面：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體。華南師范大學數學科學院何小亞教授曾發題為《數學核心素養指標之反思》中，高屋建瓴，針對這六個方面逐一進行反思。其中對于第四條“直觀想象”作如此反思：把“想象”去掉，這一指標的內容實際上就是“數形結合”。這一點作為一線教師的我感覺是否有失偏頗？

在對數學問題的認識過程中，我們經常需要借助一些實例進行分析，讓學生經歷由直觀到抽象的過程，經歷數學建模，解決問題。對這些實例的研究，筆者認為應當歸為直觀想象的范疇，這些內容卻有可能與幾何或者是數形結合并無關系。

一、三個實例，談一談直觀想象核心素養不等價“數形結合”

實例（一）：鎮江一中一節公開課的引入背景：“糖水加糖，糖水會變甜”這一現象說明了函數的一個什么性質？從本例中可以給學生一個直觀想象，那就是當一個量在增大時，另一個量隨之增大，從函數的性質來看就是函數單調遞增。“如何用函數的性質表示這一現象”就是一個直觀想象的過程。當然這個過程必須有一個完整的體系，那就是直觀想象—特殊數學模型—一般數學模型。這應當可以看作研究一個事物的運動規律，在這個現實、直觀的事物運動規律中并沒有出現任何平面幾何或者是立體幾何圖形。

實例（二）：教材中的背景材料：等比數列的引入常用的兩個例子就是“細胞分裂”和“放射性元素的衰變”。這兩個例子的出現給學生一個直觀感受，并想象其后出現的項可能具有的特征。同樣這樣的想象過程也是遵循直觀想象—特殊數學模型—一般數學模型這樣一個建模的過程。這個例子也說明直觀想象不一定與圖形有關系，可能就是數的變化規律。

實例（三）：現實生活中的例子：侯振挺證明巴爾姆猜想（“排除論”中的著名猜想）：候車室望著排隊上車的隊伍，回想起研究的問題，突然神思飛躍，覺得一排長長的隊伍變成一行行算式，這一個個人影都成了數學符號，一下子豁然開朗。這顯然也不能說這就是數形結合的思想方法，但這卻是直觀想象的一種形式。

二、對三個實例中直觀想象和數形結合區別的探究

由以上三個實例，讓筆者深切感受了“直觀想象”素養的各種形式，不只是“數形結合”思想方法，它同時還囊括了在空間中事物的位置關系、形態變化與運動規律等各方面，它蘊含了“數形結合”思想方法，同時也將其外延為一切規律的思考與探究。在以后的教學中，我們培養學生直觀想象素養，看樣子不只是數形結合，而是發掘從直觀到抽象之間的事物本質聯系。

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立數與形的聯系，構建數學問題直觀模型，探索解決問題的思路。所以筆者認為，直觀想象不等同于“數形結合”，或者說不只是“數形結合”。當然，數形結合也是直觀想象的重要組成部分。

三、數學問題中直觀想象的地位與作用

直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。具體來說，就是由具體到抽象的能力。數學提出問題通常是因為某些問題得不到解決而發現的，這些背景材料可能是生活中的實例，特別是相鄰學科研究過程中遇到了某些問題而發現的，比如，牛頓在研究物理問題時創造出了微積分；也有可能是數學問題本身就亟待解決的，比如，大數學家歐拉在微分方程、曲面微分幾何等方面的研究。直觀想象在這些問題的發現中至關重要，培養學生的直觀想象能力也是培養學生數學敏感性和學習數學興趣的重要手段。

四、如何培養學生的直觀想象

借助教材中的背景材料培養學生的直觀想象能力，應當是一個行之有效的辦法，包括立體幾何、解析幾何、函數、向量中的幾何背景以及集合、數列、復數等問題中的直觀背景。對于教材中的背景材料，通常只會將其作為輔助的引入材料，忽視了其作為發現問題源頭的重要作用。數學的提出問題、分析問題、解決問題的過程通常都會遵循規則：特殊實例—特殊數學模型— 一般數學模型— 一般數學方法這樣一個步驟來研究，而特殊實例顯然是問題的源頭，也是問題提出的關鍵所在。我們在教學中一定要仔細研究背景材料的切入口以及與數學模型之間的關系，合理使用背景材料，引導學生從中發現數學規律和模型，從而解決問題。

參考文獻：

何小亞.數學核心素養指標之反思[J].中學數學研究，2016（7）.

編輯 魯翠紅