基于MATLAB的帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動模擬*

鄭 穎 徐曉梅*

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

基于MATLAB的帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動模擬*

鄭 穎 徐曉梅*

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動是高中物理的重要內(nèi)容．文章利用MATLABGUI圖形處理窗口，基于高中物理教學(xué)要求，分別模擬帶電粒子在勻強(qiáng)電場、勻強(qiáng)磁場以及復(fù)合場中的運(yùn)動圖像．結(jié)合高中學(xué)生所學(xué)知識，利用形象化的場圖使學(xué)生對這部分內(nèi)容有較深的了解，以提高學(xué)生對電磁場問題分析的能力．同時，借此實(shí)例讓學(xué)生真切地感受科學(xué)技術(shù)在物理中的應(yīng)用．

MATLABGUI電磁場 帶電粒子的運(yùn)動 模擬

帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動問題是運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)和電磁學(xué)綜合應(yīng)用的體現(xiàn)，是高中物理的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一．近年來，針對帶電粒子在電磁場中運(yùn)動的分析和問題解決的研究已有許多．考慮到帶電粒子的運(yùn)動很難直觀形象地展示出來，為順利開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，有很多學(xué)者研制了各種實(shí)驗(yàn)裝置以便讓學(xué)生切身感受粒子在電磁場中的運(yùn)動，但仍存在著實(shí)驗(yàn)器材昂貴、實(shí)驗(yàn)不易觀察、有一定實(shí)驗(yàn)誤差等不足之處[1]．隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展，有研究者嘗試?yán)糜嬎銠C(jī)編程來仿真帶電粒子的運(yùn)動，但當(dāng)中更多的是針對大學(xué)物理的教學(xué)內(nèi)容來分析帶電粒子的運(yùn)動，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子在均勻正交磁場中運(yùn)動的模擬，而較少從中學(xué)物理教學(xué)要求的角度系統(tǒng)地仿真描述粒子在各類電磁場中的運(yùn)動．

本文擬利用MATLABGUI圖形處理窗口，基于高中物理教學(xué)要求，分別模擬帶電粒子在勻強(qiáng)電場、勻強(qiáng)磁場以及復(fù)合場中的運(yùn)動圖像，旨在結(jié)合高中學(xué)生所學(xué)知識，利用形象化的圖像模擬使學(xué)生對這部分內(nèi)容有較深的了解，以提高學(xué)生對電磁場問題分析的能力．同時，借此實(shí)例讓學(xué)生真切地感受科學(xué)技術(shù)在物理中的應(yīng)用．

1 帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動分析

帶電粒子在電場和磁場中運(yùn)動時要受到電場力和洛倫茲力的作用，由于所受力及初始條件的不同，帶電粒子在不同的電磁場中會有不同的運(yùn)動軌跡[2]．本文著重解決中學(xué)階段常見的帶電粒子的運(yùn)動情況(以下均不考慮重力場的作用，且?guī)щ娏Ｗ泳鶐д?．

1.1 帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動

帶電粒子在電場中受到電場力的作用產(chǎn)生加速度，其速度大小和方向都會發(fā)生變化，一般來說，電場力對帶電粒子的運(yùn)動有兩種最基本的作用，一是使帶電粒子加速，二是使帶電粒子偏轉(zhuǎn)．

下面就中學(xué)物理中常出現(xiàn)的兩種帶電粒子在電場中的運(yùn)動形式加以分析．

圖1 帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動

質(zhì)量為m，電荷量為q>0的帶電粒子在電場中運(yùn)動時所受到的靜電場力為

F=qE

(1)

其大小是F=qE，帶正電粒子的受力方向?yàn)閳鰪?qiáng)E的方向．

(1)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的加速

設(shè)平行電極板的間距為d，一帶正電粒子以大小為v0的速度射入電場中，經(jīng)電場力做功加速至v，用功能觀點(diǎn)分析有

于是

用牛頓第二定律分析，帶電粒子沿電場線方向運(yùn)動的加速度為

(2)

以v0與E同向的情況分析為例，粒子以初速度大小v0從正極板向負(fù)極板運(yùn)動時[如圖1(a)]，受電場力作用做加速直線運(yùn)動．設(shè)粒子在電場中的運(yùn)動時間為t，粒子在電場中的運(yùn)動方程為

(3)

若粒子從靜止開始運(yùn)動到負(fù)極板，將沿電場力方向做勻加速直線運(yùn)動，帶電粒子的運(yùn)動為類自由落體運(yùn)動，且

(2)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的偏轉(zhuǎn)

(4)

偏轉(zhuǎn)角正切值

(5)

1.2 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時所受的洛倫茲力為

F=qv×B

(6)

其中力的大小為F=qvBsinθ，θ為v與B的夾角，根據(jù)右手定則：四指沿v的方向，以小于180°的夾角方向轉(zhuǎn)向B的方向，則大拇指所指的方向就是粒子所受洛倫茲力的方向．若粒子在磁場中的速度為零，粒子將處于靜止?fàn)顟B(tài)．

圖2 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

(1)v與B平行

如果粒子的初速度方向與磁感應(yīng)線平行或反向時，粒子不受洛倫茲力作用，做勻速直線運(yùn)動，學(xué)生在學(xué)習(xí)了力學(xué)和電場知識后能很好理解這類情況下粒子的運(yùn)動，這里不再詳細(xì)說明．

(2)v與B垂直

(7)

由此，粒子運(yùn)動的軌道半徑為

粒子運(yùn)動的周期為

(3)v與B夾一般角度

(8)

由上式可知，當(dāng)帶電粒子以大小為v0的速度沿與B垂直的方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時，粒子做圓周運(yùn)動，滿足本節(jié)(2)中所示情形．

1.3 帶電粒子在復(fù)合場中(電場、磁場并存時)的運(yùn)動

帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動情況考查起來一般難度較大，綜合性較強(qiáng).近年來，高考物理題中一般出現(xiàn)兩種電、磁場錯開的“復(fù)合場”，一是空間上錯開，二是時間上錯開，且空間上錯開的題目較多．

帶電粒子的運(yùn)動空間內(nèi)若除磁場B外還存在電場E時，帶電粒子同時受到電場力和洛倫茲力的作用，所受的合力F為

F=qE+qv×B

(9)

在此，為了擴(kuò)展學(xué)生對粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的了解，就以下面兩種較為常見的類型討論粒子在此復(fù)合場中的運(yùn)動軌跡．

(1)E與B相互平行，且都指向x軸正方向

(10)

圖3 帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動

(2)E與B相互垂直

如圖3(b)所示，電場E沿y方向，磁場B沿x方向，帶電粒子以某一初速度v0進(jìn)入此空間，取入射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，帶電粒子受到靜電力和洛倫茲力的作用而運(yùn)動，在正交電磁場中的運(yùn)動軌跡是條擺線(旋輪線)[5]，其運(yùn)動方程可通過解微分方程[6]得到

(11)

2 MATLAB模擬帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動

2.1 MATLAB GUI平臺的建立

MATLAB是美國mathworks公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的科學(xué)計算軟件，GUI(GraphicalUserInterfaces)是由窗口、光標(biāo)、按鍵、菜單、文字說明等對象構(gòu)成的一個用戶界面．MATLABGUI圖形用戶界面的程序是在圖形界面下創(chuàng)建與用戶交互的控件元素，用戶可以通過操作這些交互控件實(shí)現(xiàn)特定的功能，并且可以返回顯示在程序界面相應(yīng)的結(jié)果顯示區(qū)域中，而將所有運(yùn)算、繪圖等復(fù)雜的代碼都封裝在內(nèi)部，把設(shè)計者所要表達(dá)的內(nèi)容以簡潔、清晰的圖形界面反饋給讀者[7]．

在MATLAB主窗口下新建一個BlankGUI空白模板，調(diào)整并設(shè)置圖形界面中各個控件的位置和屬性后，得到如圖4所示的用戶界面效果圖，同時會生成響應(yīng)用戶界面命令的m程序文件，以方便程序的編譯和檢查．

圖4 初始用戶界面

在該界面中，讀者可在右邊的編輯框中輸入任意的電場強(qiáng)度E，磁感應(yīng)強(qiáng)度B，帶電粒子的初速度大小v0及粒子入射角度θ的值，然后計算機(jī)根據(jù)輸入的值和m程序文件進(jìn)行數(shù)值計算后，在左邊的圖形框中輸出符合條件的帶電粒子的運(yùn)動圖像．

2.2MATLAB模擬帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動

帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，文中模擬的只是忽略粒子重力的情況下，帶正電粒子在均勻電場、磁場中的運(yùn)動情況，對于變化的電場、磁場和需要考慮粒子的重力時，情況要復(fù)雜得多．

依據(jù)MATLAB的數(shù)值計算功能，設(shè)定帶電粒子的質(zhì)量為m=2.0×10-19kg，帶電荷量q=1.6×10-19C．

(1)模擬帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動

根據(jù)帶電粒子在電場中的受力情況及其運(yùn)動軌跡給出的主要編程如下：

set(handles.title_text,'string',[strcat('帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動圖像')],'Fontsize',14);

%輸出初始界面框

1)由軌跡方程(3)，若粒子平行于電場方向入射：

fort=0:0.5:5;

v=v0+E.*q/m.*t;

x=v0.*t+E.*q/(2.*m).*t.^2

y=0

plot(x,y,'.','markersize',40,'color','r')

pause(0.001)

end

%繪制粒子在電場中加速運(yùn)動的圖像

2)由軌跡方程(4)，若粒子垂直于電場方向入射：

fort=0:0.5:5;

x=v0.*t

y=E.*q/(2.*m).*t^2

plot(x,y,'.','markersize',10,'color','r')

pause(0.003)

end

%繪制粒子垂直射入電場時的圖像

運(yùn)行結(jié)果如圖5所示，圖5(a)是粒子以一定初速度進(jìn)入電場，在電場中加速運(yùn)動時的圖像，從x軸上實(shí)心圓點(diǎn)的變化情況可以看出，粒子在電場中做加速直線運(yùn)動．若要觀察粒子從靜止開始到負(fù)極板的運(yùn)動圖像，只需在用戶界面設(shè)定粒子的初速度為零即可．

圖5(b)是粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的圖像，從中可以看出，粒子垂直射入電場時的運(yùn)動軌跡為拋物線，改變粒子的初速度，可以觀察到，粒子在電場中的運(yùn)動與入射速度有關(guān)，且粒子入射的初速度越大，偏移角度也越大．

圖5 帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動仿真圖

(2)模擬帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

由帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的受力情況分析，根據(jù)其運(yùn)動軌跡方程(8)，給出的主要編程如下：

set(handles.title_text,'string',[strcat('帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的螺旋運(yùn)動')],'Fontsize',14);

x0=0,y0=0,z0=30;

t=0:pi/50:2*pi;

x=x0+(-m*v0*sin(th)/q*B)*

cos((q*B./m).*t)

y=y0+(m*v0*sin(th)/q*B)*sin((q*B./m).*t)

z=z0+v0*cos(th)*t

plot3(x,y,z,'LineWidth',2)

xlabel('x(m)');ylabel('y(m)');zlabel('z(m)')

gridon

點(diǎn)擊運(yùn)行程序按鈕，得到如圖6所示的結(jié)果．圖6(a)是粒子以初速度v0沿與B垂直的方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時，粒子做圓周運(yùn)動的圖像，圖6(b)是粒子以初速度v0沿與B成θ角方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時粒子作等螺距的螺旋線運(yùn)動的圖像．

圖6 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動仿真圖

(3)模擬帶電粒子在電磁復(fù)合場中的運(yùn)動

由帶電粒子在電磁復(fù)合場中運(yùn)動的兩種類型分析，結(jié)合粒子運(yùn)動的軌跡方程(10)、(11)，編寫具體程序，讀者在用戶界面框中輸入任意對應(yīng)的值，計算機(jī)再進(jìn)行數(shù)值計算和圖形輸出，得到的輸出結(jié)果如圖7所示．

圖7(a)中，E與B同向，帶電粒子以大小為v0的初速度與x軸成任意角入射時，粒子做螺旋線運(yùn)動，且螺距增加．圖7(b)中，帶電粒子在正交電磁場中的運(yùn)動軌跡是一條擺線．事實(shí)上粒子具體的運(yùn)動軌跡依初始狀態(tài)(粒子入射速度大小和方向)是不同擺幅的擺線，文中模擬的只是E和B垂直條件下粒子的運(yùn)動狀態(tài)．

圖7 帶電粒子在復(fù)合電磁場中的運(yùn)動仿真圖

3 結(jié)束語

MATLAB軟件的數(shù)值計算功能和圖形處理功能可以輔助教學(xué)內(nèi)容的順利進(jìn)行，不用考慮實(shí)驗(yàn)本身所帶來的實(shí)驗(yàn)誤差，以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境是否影響到實(shí)驗(yàn)的正常進(jìn)行等．但MATLAB作為教學(xué)輔助工具，用它來實(shí)現(xiàn)仿真主要是以理論為基礎(chǔ)來獲得現(xiàn)象，雖對驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義，在啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)時，物理教師還是應(yīng)在教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實(shí)施中將仿真實(shí)驗(yàn)與傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)、教

師講解、學(xué)生實(shí)驗(yàn)等有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新能力．

此外，文中只仿真了部分涉及中學(xué)物理的基本運(yùn)動情況，更為復(fù)雜的運(yùn)動情況，如何利用MATLAB完整地仿真出粒子的運(yùn)動規(guī)律，還需在后續(xù)工作中繼續(xù)討論研究．

1 陳曉莉，史文奎，劉霜,等．一種演示帶電粒子在電磁場中運(yùn)動規(guī)律的實(shí)驗(yàn)裝置．教學(xué)儀器與實(shí)驗(yàn)，2013(6):29～31

2 鮑翔．帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動圖形賞析．物理教師，2010,8(31):53～54

3 趙凱華，陳熙謀．電磁學(xué)．北京：高等教育出版社，1996

4 陳潔，姚若河．帶電粒子在磁場中運(yùn)動情況的計算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)．汕頭大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2002(17):16～20

5 饒華東，黃書鵬．帶電粒子在正交電磁場中運(yùn)動的教學(xué)與相.關(guān)高考試題研究．物理教師，2014,6(35):88～92

6 吳珊，姜付錦．帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動規(guī)律的研究．物理通報，2014(9):108～110

7 陳垚光．精通MATLABGUI設(shè)計(第3版)．北京：電子工業(yè)出版社，2013.228～240

*國家級專業(yè)(物理專業(yè))綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目．作者簡介：鄭穎(1995- )，女，在讀碩士研究生，從事物理學(xué)科教學(xué)研究．通訊作者：徐曉梅(1963- )，女，副教授，研究生導(dǎo)師，主要從事大學(xué)物理教學(xué)及物理課程與教學(xué)論研究．

2016-06-29)