高中數學數列問題的解題技巧探究

王啟新

【摘 要】高中數學數列問題是必修課的難點，掌握數列的解題技巧對自如應對高考中的數列問題尤為重要。本文在分析高考數列常見題型的基礎上，詳細闡述了八種數列解題技巧。

【關鍵詞】高中數學；數列；解題技巧

數列問題是高中必修課程中的重難點，是高中數學的重要環節，在整個高中數學知識體系及高考命題中都占據著十分重要的地位，近些年，數列課程比重日漸增多，高考中經常出現創新題型，因此，在學習中掌握高考數列的命題規律及解題相關技巧顯得尤為重要。

一、數列基礎知識一定要掌握牢

從2003年實行新課標后，數列就被列入到必修五教材中，數列在教材中重點是等差等比數列的概念，通項及前n項和公式及應用，數列與函數的關系等；難點是等差等比數列的通項及前n項和公式的靈活應用，求一些特殊數列的前n項和等；關鍵是等差等比數列的基本元素（a1，an，Sn，d，q）間的換算及恒等變形。

二、數列知識在高考中的地位一定要明確

數列知識是高中數學教材中的一個獨立章節，具有十分重要的地位，是必考內容，無論是全國卷還是省卷都占據一席之地。

數列近三年在高考中的出題方向及趨勢是：一般數列問題會有5-15分值，如果兩道題常出現在選擇和填空中，一般考查基礎知識，分值為10分。若出現在解答題中，一般一道題，分值一般為10-15分。解答題近兩年在全國理科卷里出現的情況較少，但對于今后的學習卻不課忽視，因為數列在今后的數學學習中起著基礎作用，我們斷不可輕視。

三、數列的常用解題技巧

（一）掌握數列常用的數學思想

數學思想方法成為近兩年高考考查重點，在解決數列問題時常用到的思想方法有：方程思想、等價轉化思想、類比思想、函數思想、不等式思想、分類討論思想等。解題不要囿于一種數學思想，兩種數學思想混合應用的情況很常見。

如2013年的大綱卷（理）17題（10分）：等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比數列，求{an}的通項式。

這道題就是主要考查等差數列的通項、 前n項和公式，以及利用裂項相消法求前n項和；考查的數學思想就是方程思想、轉化思想及邏輯思維能力的。

如2016年全國II卷，（理）17題（12分）：Sn等差數列{an}的前n項和，且a1=1，S7=28，bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[0.9]=0，[lg99]=1。（I）求b1，b11，b101；（II）求數列{bn}的前1000項和。也是考查等價轉化思想及分類討論思想的應用。

（二）掌握數列的性質

數列作為一種特殊的函數，因此它具有函數的性質，比如單調性、最值、周期性等等，數列的函數性質，作為數列與函數的交匯點的知識考查，是近幾年高考試題的熱點，也是考查學生綜合能力的出發點。

1.數列的單調性

數列的單調性是指：一般的，如果數列{an}滿足，對于任意的正整數n，都有an+1>an（或an+1

如2013年全國II卷（理）16題（5分）：等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為_______。就是考查等差數列的前n項和公式以及通過轉化利用函數的單調性判斷數列的單調性來做答。

2.數列的周期性是指：對于數列{an}如果存在確定的數T和n0，（T≠0，n0∈N+）使得n≥n0恒有an+T=an，則稱{an}是從第n0項起周期為T的數列

在高考中對數列周期性的考查主要涉及到以下兩種形式的題目：（1）已知周期，求數列中的項；（2）已知數列，求周期進而解決其他問題。

2014年全國II卷，（文）16題（5分）：數列{an}滿足an+1= ，a2=2，則a1=_________。該題是填空題的壓軸題，主要考查數列的遞推關系式，且無法轉化成特殊的數列，則可通過遞推關系式求出數列中的若干項，發現數列的周期性特點，從而得到所求。

另外，數列的最值在高考中考查的次數較少，這里就不贅述了。

（三）數列的解題方法

1.熟練基礎方法

通項與求和公式的直接應用，只要理解并熟用等差等比數列的通項公式及求和公式即可。

2.求數列的通項公式

累差疊加，累商疊乘法是高考中常用的方法，從而考查對數列的掌握情況。

3.劃歸轉化法解題

化歸轉化技巧就是把一些不能直接解的數列問題轉化為簡單的、已知的問題來求解。例如把數列問題轉化成等差、等比數列的問題求解；或者把數列問題轉化為函數問題求解；把數列的通項公式和求和公式看成是n的函數。

如2014遼寧高考（理）8題，（5分）設等差數列{an}的公差為d，若數列{2 an}為遞減數列，則（ ）

A.d<0牘 B.d>0牘 C.a1d<0牘 D.a1d>0

主要考查等差數列的通項公式，函數的單調性等知識，體現了對數列和函數的綜合考查。

4.運用公式由sn求an

這種類型的題目常給出Sn與n的關系，或者Sn與an的關系，進而求數列的通項公式?？衫霉?/p>

anS1 n=1

Sn-Sn-1 n≥2 求其通項。

5.用數學歸納法求數列的通項公式

數學歸納法常常也用在求解數列通項公式類型的題目中，在由遞推公式求數列的通項時，如果常規的方法難以解決，那么通常可以采用“數學歸納法”。如2008年遼寧卷（理）21題（12分），數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列（n∈N ）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論；

（Ⅱ）證明：++…+<。

此題是考查等差數列，等比數列知識，綜合運用合情推理通過觀察，找出規律，提出猜想，再利用數學歸納法證明來解題。

6.裂項相消法

裂項相消是分解和組合思想在數列求和中的應用，其實質是將數列中的每一項（通項）分解，然后重新組合，使之能夠消去一些項，最終達到求和的目的。

2015年全國I卷（理）17題（12分），Sn為數列{an}的前n項和。已知an>0，an2+an=4Sn+3。

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）設bn=，求數列{bn}的前n項和。

此題是考查利用an與Sn的關系求數列的通項公式以及裂項相消法求和，先利用an與sn的關系，an=Sn-Sn-1（n≥2）推導出數列{an}的通項公式，然后利用裂項相消法求數列{bn}的前n項和即可。

7.錯位相減求和法

在推導等比數列前n項和公式時采用的是錯位相減的求和方法，該方法中“相減”突破了學生以往“求和即相加”的固有思想，高考中常會遇到。

由于錯位相減法計算量較大，學生在考場上有限的時間里很容易因為計算失誤失分，提高計算的準確性尤為重要。

8.放縮法解決數列不等式

放縮法是不等式證明的一種基本方法，而數列不等式也常常通過放縮法來證明。通常我們把數列的通項放縮成可求和或可求積的數列，進而證明結論。

2014年全國II卷（理），17題，（12分）已知數列an滿足a1=1，an+1=3an+1。

（I）證明：{an+}是等比數列，并求{an}的通項公式；

（II）證明：++…+<。

此題是考查數列的遞推關系，不等式的證明及數列求和等知識，而不等式的證明就用到了放縮法進行處理，一是求和中的放縮；二是求和后比較中的放縮。一般情況，數列求和中的放縮的“目標數列”為“可求和數列”，如等比數列，可裂項相消法求和的數列等。

除以上方法外，還有分組求和法、利用構造法和單調性、歸納法解決數列不等式問題。

四、考點變化

等比數列的考點仍是基本量的計算，等差數列的難度略有下降，遞推數列的設置難度略有提高，位于填空題的壓軸位置，這對今后的數學學習起到一定的引導作用，就要求我們除了要有準確的計算能力，更應重視方法的研究。

【參考文獻】

[1]趙昱.數列問題的教學思考.遼寧師范大學碩士學位論文，2013年

[2]華玲蓉.2010年高考數列問題類型及解題策略.基礎教育論壇，2010年11期

[3]張維娟.高考中數列問題的解題技巧與教學研究.西北大學碩士學位論文，2015年

[4]白曉杰.新課標下高中數學數列問題的研究.河南師范大學碩士論文，2013年