數學教學中拓展型問題的設置

朱建明

摘要 數學拓展型問題作為一類特殊的數學問題，它是推進學生開展探究性學習的有效載體。設計拓展型問題不囿于課本知識，可以緊密聯系生活實際，延伸教學內容，也可以綜合各領域知識，滲透數學思想方法等。設計好數學拓展型問題，對激發學生學習數學的積極性、主動性，提高教學學習能力，培養創新意識具有重要作用。

關鍵詞 數學教學 拓展型問題 教學設計 自主探究

數學新課程強調教師在教學中要關注不同學生的學習需要，為學生提供豐富的學習素材和足夠的思維空間，開展適宜的數學活動，使每一位學生都能得到充分的發展。為此，在教學中適時地設置拓展型問題，獲得了廣大數學教師的認同。

拓展型問題就是從數學教學的實際需要出發，基于學生的知識水平和認知能力，適度延展教學內容，設計具有一定探究性的問題，通過有效的教與學的方式，幫助學生理解知識、掌握技能、積累經驗、培養能力。下面以南京市正在使用的江蘇科學技術出版社出版的初中數學教材《義務教育教科書·數學》中的教學內容為例，談談教學中設置拓展型問題的實踐與思考。

一、在啟課教學中拓展要有“沖突"

在知識發生階段設計的拓展型問題，要積極面向學生豐富的生活世界，使其不僅富有趣味性，而且具有挑戰性，使學生面對適度的困難，形成“認知沖突”，以此激發學生的探究熱情，讓學生在自主探索、合作交流中建構新知識。

例1“5.1物體位置的確定”（八年級上冊）

上課之初，出示問題：

如果明天我班召開學生家長會，某同學的父母不知學校、班級的位置在哪里，你將如何向他們描述，以便他們能順利找到？

這個聯系生活的拓展問題，蘊含了數據描述與定位的內在“沖突”，需要學生借助生活經驗，通過課堂中的交流討論，嘗試利用數據描述學校、班級的位置，包括學校的門牌號、班級所在的教學樓、班級的編號等等，使學生理解數據與位置之間的對應關系，體會數據在物體位置確定中的作用。

例2“2.1圓（第1課時）”（九年級上冊）

（1）上課之初，請兩個學生在黑板上用粉筆徒手畫圓；

（2）討論：不用圓規，怎樣才能畫得圓些？

本例通過學生徒手畫圓，以及討論怎樣才能畫得圓些，使學生經歷嘗試操作和分析調整，引導學生用塑料線綁住粉筆畫圓，并參與給圓下定義：在平面內把一條線段繞其一個端點旋轉一周，另一個端點運動所形成的圖形叫做圓。本例從操作畫圓到學生參與下定義，漸次顯現這一拓展問題的數學思維價值。

二、在知識鞏固中拓展要有“門徑"

在數學課堂教學中，當得出新的概念、定理、公式、法則后，為了加深學生對新知識內涵的理解，可以利用某些問題的變式設計拓展型問題，幫助學生挖掘內涵、界定外延，全面準確地理解新知識、掌握新方法。

例3“6.4探索三角形相似的條件（第2課時）”（九年級下冊）

教學中，在得到“兩角分別相等的兩個三角形相似”的定理后，出示問題：請設計一種分法，將圖1中的直角三角形分割成四個小三角形，使得每個小三角形與原三角形都相似，并說明理由。

在本例中，學生分割原直角三角形時，需要不斷地構造出兩個角分別相等的相似三角形，也就是要反復創造條件使用兩個三角形相似的判定定理。通過在分割圖形中的嘗試、操作、分析、調整，可以增進學生對這一判定定理的理解和掌握。

例4“4.2等可能條件下的概率（一）（第2課時）”（九年級上冊）

在課本例題3的教學之后，出示問題：

某校有A、B兩個餐廳，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個餐廳用餐。

（1）求甲、乙、丙三名學生在同一個餐廳用餐的概率；

（2）求甲、乙、丙三名學生中至少有一人在B餐廳用餐的概率。

本例是用“樹狀圖”計算等可能條件下的概率，解決簡單的實際問題。在畫“樹狀圖”時須做到既不重復也不遺漏地列出所有可能出現的結果，這里，畫“樹狀圖”就是搭建分析處理問題的平臺，相對于教材中的例題，本例是另外一類典型問題，畫的“樹狀圖”也不同。通過這個問題，可以促進學生對用“樹狀圖”解決概率問題方法的理解和掌握。

三、在知識應用中拓展要有“規律”

數學課堂教學中，在知識的應用階段設計拓展型問題，可以適度延伸拓展教學內容，關注各領域知識的聯系，強調知識的綜合和應用，突出數學思想方法，通過學生的探索研究、教師的適時啟發，使學生能綜合運用所學知識去分析問題和解決問題，感悟其中內在的數學規律，提高學生的數學認識能力。

例5“12.3二次根式的加減（第2課時）”（八年級下冊）

在課本例題4的教學之后，出示問題：

如圖2，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連結PD，在BA的延長線上取點F，使PF=PD。以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上。求AM，DM的長，并請說明AM²=AD·DM.

本例中，畫圖的過程實際上是求作線段AD的黃金分割點M的過程。本題是二次根式加減運算在幾何問題中的一個直接應用，實際上也是用根式運算描述黃金分割的本質和特性。經過本例的教學，可以提高學生對二次根式與一些特殊圖形之間內在關系的認識。

例6“2.2軸對稱的性質（第2課時）”（八年級上冊）

在課堂小結之前，出示問題：

（1）如圖3，方格紙中的直線l₁∥l₂，直線l₁與l₂的距離為3，如果點P到直線l₁的距離為a（a<3）。點P關于直線l₁的對稱點是點P₁，點P₁關于直線l₂的對稱點是點P₂，那么PP₂的長是多少？

（2）如圖3，方格紙中的直線l₁與l₂交于點O，它們的夾角為θ（0°<θ≤45°），點P關于直線l₂的對稱點是點P₁，點P₁關于直線l₂的對稱點是點P₂，那么∠POP₂的度數是多少？

本例拓展了課本研究一次軸對稱變換的問題，定量研究兩次變換后的圖形之間的內在關系。問題（1）中，兩個對稱軸是相互平行的，要揭示的規律是：一個點與經過兩次軸對稱變換后所得的點之間的距離問題；問題（2）中，兩個對稱軸是相交的，要揭示的規律是：一個點與經過兩次軸對稱變換后所得的點與交點構成的角的度數問題。它們既是軸對稱性質的直接應用，也是軸對稱變換中蘊含的另一些可以定量描述的性質。

四、在小結回顧中拓展要有“增益"

數學課堂小結是教師引導學生對一節課所學內容的總結和再認識，它也為后續學習做好鋪墊和準備。在小結回顧階段設置拓展型問題就是在課末提出有一定思維價值的問題，幫助學生邊梳理知識，邊作進一步探究和思考。由于小結所處特殊的教學時段，可以與學生課后思考相連，因此設置拓展型問題具有相對較大的彈性和空間，形式上也可以更加豐富多彩。

例7“9.5多項式的因式分解（第4課時）”（七年級下冊）

在本課課堂小結時，出示問題：

（1）閱讀下述材料：

對一些二次三項式，如果利用完全平方公式，可以將它們變成兩個整式的平方，我們就能對它們進行分解因式，例如可以如下分解因式x²+2x-8：

x²+2x-8=x²+2x+1-9=（x+1）²-32

=[（x+1）+3][（x+1）-3]=（x+4）（x-2）.

（2）參照上述方法，將下列各式分解因式：

①x²+4x-5；②x²-6x+5.

本例的小結，是通過新的問題情境，梳理了利用完全平方公式、平方差公式進行因式分解這一方法，同時延伸了教學內容，以一類二次三項式作為探究素材，學習了一種新的因式分解方法，拓展了學生的視野。

例8“3.1平均數（第2課時）”（九年級上冊）

在本課課堂小結時，出示問題：

某養雞場分3次用雞蛋孵化出小雞，每次孵化所用的雞蛋數、每次的孵化率（孵化率=（孵化出的小雞數/孵化所用雞蛋數）×100%）分別如圖5、圖6所示。

（1）求該養雞場這3次孵化小雞的平均孵化率；

（2）如果要孵化出2000只小雞，根據上面計算結果，估計該養雞場要用多少個雞蛋？

本例中，依據兩張統計圖呈現的數據信息，再一次對“平均數”進行了梳理和總結，接著利用平均孵化率進行預測，將平均數、統計圖的應用、樣本估計總體的統計思想結合在一起，能有效提升學生利用統計知識解決實際問題的意識，感悟數學的價值。

總之，教師在設置拓展型問題時既要依據教學要求，又要根據學生的數學現實，把握好難度、深度，讓學生親歷探索研究的過程，逐步掌握認識事物、發現真理的方法，這對培養學生的創新意識，提高學生的數學素養具有重要意義。

[責任編輯 郭振玲]