領悟數學思想?提升解題能力

平金泉

摘 要：人類活動離不開思維發展，而思維的發展程度是整個智力發展的縮影。新課程理念對當前數學教師提出了更高的要求，切實把握新理念，改變傳統教學模式，使學生正確運用數學思想，則是開展好數學教學的必要條件。初中數學中蘊含著多種數學思想，其基本數學思想有整體思想、方程與函數思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想等。文章通過突出這些基本思想，使學生達到方法的掌握、思想的形成和能力提升的境界，讓學生終身受益。

關鍵詞：數學思想；整體思想；方程與函數；數形結合；分類討論；轉化與劃歸

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。數學思想是數學的精髓，它支撐和統帥著基礎知識。數學思想方法的自覺運用往往能使我們運算簡捷、推理機敏，這是提高數學解題能力的必由之路。

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生結果，是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，它揭示了數學發展中普遍存在的規律，直接支配著數學的實踐活動。通過對學生數學思想的培養，其數學解題能力才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓，作為一名初中數學教師，必須在組織學生學習基礎知識的過程中不斷地滲透數學思想，讓學生在掌握基礎知識的同時，領悟到數學思想的真諦，才能使學生的解題能力達到一個質的飛躍。

數學思想是從數學內容中抽象概括出來的，是知識轉化為能力的橋梁。初中數學整套教材涉及的數學思想有很多種，例如用字母表示數的思想，這是最基本的數學思想之一。在蘇科版七年級（上冊）第三章中有一章節題目就叫 “用字母表示數”，主要體現了這種思想，這也是有別于小學的算術方法，使學生邁進了代數領域的大門。這種思想對整個初中乃至高中和以后的學習都產生了深遠的影響。

筆者從多年的教學研究和教學實踐中，高度概括得出初中數學中的主要數學思想有：①整體思想；②方程與函數思想；③數形結合思想；④分類討論思想；⑤轉化與化歸思想；⑥符號思想；⑦類比思想；⑧建模思想，等等。本文就前面的五種數學思想作進一步的探究。

一、整體思想

所謂整體思想是指將有共同特征的某一類問題看成一個完整的整體，通過對其全面深刻的觀察，著眼于問題的整體結構，從整體上把握問題的本質內容，從而提出解決問題的方向和策略。

例如，已知，求代數式的值。

分析：本題不能解出x、y的具體數值，所以從分析所求代數式的形式入手，結合已知條件，可以把“x-y”或者“xy”作為一個整體，由已知條件得到x-y=-3xy，代入代數式，替換xy；或者得到，代入代數式替換x-y，都可以解決本題。

在幾何圖形中，也有考慮圖形的整體，用整體思想解決問題。例如，如圖1， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=

。

分析：本題也不能具體解出各個角的度數，觀察圖形可以得出∠1+∠2等于△ADE的一個外角，同理，這六個角的和正好就是△ABC的外角和，從而題目迎刃而解。

整體思想不但在已知條件或已知圖形中可以發現，甚至在解題過程中的應用也很廣泛。例如，買鉛筆4支，日記本3本，圓珠筆2支，共需10元；若買鉛筆9支，日記本7本，圓珠筆5支，共需25元，則購買鉛筆、日記本、圓珠筆各一樣共需 元。

分析：本題對于一部分學生只能根據已知條件列出兩個三元一次方程組，但具體解答就難住了。分析原因，我想對于這部分學生，肯定在想具體解出各種文具的單價，再求和，所以解不出來。而實質上本題的中心思想是就是求三種文具的整體的和，具體解法如下：設鉛筆每支x元，日記本每本y元，圓珠筆每支z元，即求x+y+z的整體的和，列出方程組：，②-①×2得到x+y+z=5即可。

二、方程與函數思想

初中函數重點研究一次函數、反比例函數和二次函數的圖像與性質，初中方程按“元”分類有一元方程、二元方程、三元方程，按“次”分類有一次方程、二次方程。方程與函數，甚至與不等式相聯系，是知識整合提升很重要的內容。方程與函數、不等式是通過研究函數值等于常數、大于常數或小于常數而相互關聯的，它們之間既有區別又有聯系。方程與函數思想，既是方程思想與函數思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，是研究變量與函數、相等與不等過程中的基本數學思想。

在蘇科版九年級下冊中，有一節就是研究“二次函數與一元二次方程”的關系，書中專門編排一節內容，體現了這種思想方法的重要性。一般地，如果二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個公共點（x1，0）、（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根x1、x2，反之亦成立。

例如，已知二次函數y=-x2+2x+m的部分圖像如圖2所示，你能否確定關于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解？

分析：根據圖像可知，二次函數y=-x2+2x+m的部分圖像經過點（3，0），把該點代入得到方程，求得m值；然后把m值代入關于x的一元二次方程-x2+2x+m=0，求根即可。或者根據拋物線的對稱軸直線x=1，經過一個交點（3，0），則必經過另一交點（-1，0），所以方程的兩個根就是拋物線與x軸兩交點的橫坐標。

本題就是考查二次函數與一元二次方程的整合，可以延伸為“求不等式-x2+2x+m>0的解集”，這就是和不等式相關聯。觀察圖像在-1

又如，二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖3所示，且方程ax2+bx+c-k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（ ）

A.k<2 B.k=2

C.k>2 D.無法確定

分析：如果根據b2-4ac的符號來判別解的情況，本題將無從入手，可將原方程變形為ax2+bx+c=k，從而理解成是兩個函數的交點問題，即由圖像可知，只要y=k<2就一定與拋物線有兩個不同的交點，所以，答案選A。

三、數形結合思想

數形結合思想是一種重要的數學思想，也是一種重要的解題方法。所謂數形結合是指把數學問題用數量關系與圖形結合起來解答數學問題。在數學問題中，數量關系與圖形位置關系這兩者之間有著緊密而又較隱含的相互關系。在解題時，往往需要揭示它們之間的內在聯系，由數→形→問題的解答；或由形→數→問題的解答，使問題化難為易，由數想形、由形知數，這就是一種數形結合思想。

例如，已知|x-1|+|2+x|=3，則x的取值范圍是 。

分析：本題可采用數形結合思想，理解|x-1|表示數軸上點x到點1的距離，|2+x|=|x-（-2）|表示數軸上點x到點-2的距離。如圖4所示，則1和-2兩點距離之和為3的點x可以是以1和-2為端點的線段上的任意一點，這樣由數軸的“形”就得到“數”x的取值范圍。

再如，（2012年四川自貢）偉偉從學校勻速回家，剛到家發現當晚要完成的試卷忘記在學校，于是馬上以更快的速度勻速沿原路返回學校。在這一情景中，速度v和時間t的函數圖像（不考慮圖像端點情況）大致是 （ ）。

分析：根據題意（如圖5），縱坐標表示的是速度，而橫坐標表示的是時間，根據往返路程相同，回家時慢，速度慢，時間長；返校時快，速度快，時間短，這樣就由速度、時間的“數”得到了函數圖像的“形”，再次體現了數形的完美結合。

四、分類討論思想

所謂分類討論是指在解決數學問題中，根據所研究問題的某種相同性和差異性將它們分類來進行研究的思想方法。分類討論特點是分類必須周全，既不能重復，也不能遺漏；分類中的每一部分都應是相互獨立的；一次分類按一個標準；分類須有一定的范圍，不能超范圍。

例如，我們在進行概念教學時，就有對實數的分類，可分成有理數和無理數，或分成正實數、負實數和零；對三角形的分類，可按邊進行分類，分成不等邊三角形和等邊三角形，或按角分類可分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。在數學概念教學時進行分類，可以降低學習難度，增強學習的針對性，幫助學生理清數學脈絡，有利于培養和發展學生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學生學會完整地考慮問題，化整為零地解決問題。

在歷年的數學中考中，分類討論思想都有廣泛的應用，是解題中一種常用的思想方法。例如，已知函數y=mx2-4x+6的圖像與x軸只有一個交點，則m的值為多少？

分析：本題中應該分兩類，①若m=0，則該函數為一次函數，與x軸只有一個交點，符合題意；②若m≠0，則該函數為二次函數，應計算△=0的情況，從而解出m=，所以本題的答案應該是m=0或m=。在這里很多學生往往會忽略一次函數的情形，說明他們思維比較定式，應重點分析題意。

再如，三角形的每條邊的長都是方程x2-6x+8=0的根，則三角形的周長是多少？

分析：解方程得出x1=2，x2=4，考慮到能否組成三角形，所以很多同學只寫了周長等于10，而這里卻忽略了等邊三角形的情形，正確的答案應該是周長為6、10或12。

因此，不管在講解概念，還是在解題過程中，都應該重點給學生分析如何審題、如何分類，使學生的知識形成一個系統，完整地考慮問題，從而解決問題。

五、轉化與化歸思想

轉化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想，而化歸思想是把有可能解決的或未解決的問題，通過轉化過程，變換成較易解決的問題，以求得解。

在數學中，知識點之間的聯系是十分緊密的，新知識往往是舊知識的引伸和擴展。讓學生面對新知會用轉化或化歸思想去思考問題，讓學生在操作時化未知為已知，這對學生獨立獲得新知能力的提高無疑是有很大幫助的。如分式的基本性質就可以通過復習分數的基本性質引入，再如在數學解題中，幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等。

如已知x+y=7，xy=12，則x

再如，如圖6所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關系是

。

分析：本題的解決方法就可以通過轉化來實現。只要平移一條腰，利用平行四邊形的性質，把正方形的邊長關系轉化在一個直角三角形中考慮，再利用勾股定理，得出直角三角形的三邊關系，從而得出S1+S3=S2.

又如，大于1的正整數m的三次冪可

“分裂”成若干個連續奇數的和，如：

23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19…若m3“分裂”后，其中有一個奇數是2013，則m的值是（ ）

A.43 B.44 C.45 D.46

分析：本題可以通過化歸的思想，找出規律，即可解答。∵23=3+5，33=

7+9+11，43=13+15+17+19…∴m3分裂后的第一個數是m（m-1）+1，共有m個奇數。∵45×（45-1）+1=1981，

46×（46-1）+1=2071，∴第2013個奇數是底數為45的數的立方分裂后的一個奇數，∴m=45。

在實際教學和解題過程中，若遇到較復雜的問題時，能夠辯證地分析問題，抓住問題的實質，使復雜的問題簡單化，陌生的問題熟悉化，抽象的問題具體化，通過一定的策略和手段，把隱含的數量關系轉化為明顯的數量關系，把從這一個角度提供的信息轉化為從另一個角度提供的信息關系，這就是轉化與化歸的實質。已知與未知、數量與圖形、概念與概念之間、圖形與圖形之間都可以通過轉化，來獲得解決問題的轉機。

數學思想遠不止以上幾種，還有數學建模思想、符號思想、類比思想、假設思想、整分思想、公理化思想，等等。數學思想是對數學規律的理性認識，只有真正領悟數學思想，才能形成一定的數學解題方法，提高學生的解題能力，這也是數學課程的一個重要的目的。我們應在數學教學的每一個環節中重視滲透數學思想，總結數學方法，使數學知識和數學思想、數學方法相結合，使學生以積極創新的思想方法汲取知識，進一步提高分析問題和解決問題的能力。才能使學生受益終身。