案例教學在微積分課程設計中的運用和探究

秦健秋+方國敏

摘要：本文就案例教學思想在微積分課程中的實踐進行了探究和總結。實踐表明，該教學思想的合理運用對提高學生的學習積極性，提高其探索質疑、推廣創新的精神，培養其搜集資料、自主學習的實踐能力有極大的促進作用。

關鍵詞：微積分；教學改革；教學方法；教學設計；案例教學

中圖分類號：G642.4；O172 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）11-0195-02

微積分作為經管類專業的核心公共課程，對該課程的要求不能停留在僅講授教學大綱的規定知識點，還必須從根本上提高學生的學習積極性，培養學生的學習能力、實踐能力和數學思維能力。考慮到微積分目前的教學現狀，我所在的教學團隊采取了案例教學法。

一、案例教學的必要性

通過對普通本科經管類專業學生進行的調研表明，同學們的數學基礎普遍薄弱，只有少部分同學認同“數學有用性”卻苦于難以舉例，這樣的結果讓每一位數學老師感到無比尷尬。學習效率低，缺乏歸納意識和擴展意識，難以抓住問題的本質，缺乏將數學用于實踐的思想和能力，缺少學習積極性甚至是畏懼學習等等，這些都是目前普通高校經管類專業學生學習大學數學的普遍問題。

本教學團隊提出案例教學法，利用大量與生活息息相關的案例來推動課程教學，希望以此調動學生的學習積極性，著重培養學生應用數學的意識，增強學生的理性思維，提高學生的數學應用和知識遷移能力。

二、案例教學實施的原則和前提

案例教學法并不是將大量案例簡單放置在課程教學中，而是一種教學理念。該理念的實施首先要求授課老師具備相關能力，在掌握和了解大量典型案例的基礎上，具備對問題有質疑探究、交流合作、創新反思、知識遷移、自主學習的能力，并且能將以上能力通過課程教學展現給學生，使其潛移默化地在各方面得到提高。

三、案例設計及選講

1.極限案例設計及選講。函數的極限是整個微積分理論的基礎，后續的知識點都需要用到極限的定義，因此要求學生對函數極限有著深刻的認識，并能利用這一認知去思考和解決問題。

案例1.1保險推銷策略

案例描述：各類保險產品在推銷時，總是拿自身的亮點來PK其他產品。某產品的亮點是：本產品按月分紅并計復利，而其他產品往往是按季度或是按年度分紅再計復利。保險經理不停的對客戶強調：“你的紅利每月都在收益新利息，那樣利滾利，一年下來，你自己算算，這樣會比其他產品高出多少收益啊！”那么，營銷員的三寸不爛之舌是否會打動你的心呢？

通過對連續復利案例的分析發現：該亮點其實是個雞肋。以本金10萬元，年利率5%為例，每年按月結息僅比按年結息多出約100元，僅是本金的0.1%而已，該亮點并不能成為你選擇該產品的主因。保險經理的鼓吹是營銷手段，經理讓客戶自己算算，客戶千萬要算算，在生活中保持理性思維是非常有必要的。該組案例的設計目的在于培養學生的知識遷移能力，用理性思維去指導生活。

2.微分方程案例設計及選講。微分方程案例主要選用了兩大類，一類是變量跟隨時間而變化，例如謀殺時間推測、人口模型、名畫年代鑒定、傳染病模型、細菌增長等問題；另一類是變量跟隨坐標角度而變化，例如導彈追蹤、橫渡長江等問題。

案例2.1謀殺時間推測

問題描述：若謀殺發生后，尸體的溫度按照牛頓冷卻定律從原來的37℃開始下降。假設兩小時后尸體溫度變為35℃，并且假定周圍空氣的溫度保持20℃不變，試求出尸體溫度T隨時間t的變化規律。

案例結束后，先總結此類問題的要點——物體溫度隨著時間發生變化。再引導學生發現類似問題，例如車間通風、積雪融化等。最后就原案例拋出相關疑問：若答案為早上7點半為死亡時間，且嫌疑人作案時間為早上7點，能否排除他的嫌疑，借此引導學生進行誤差分析。若環境溫度是當天的實時溫度，即室溫也是時間的函數，則應如何改進該模型？

案例擴展：針對學生課間吃早餐的事件，老師提出問題：請參考謀殺時間推測案例建立模型推測你的早餐是幾點制作的？請參照細菌繁殖案例預測目前該早餐中的細菌總量？在教學中時刻把握機會引導學生思考問題、推廣問題和解決問題。

3.多元函數積分案例設計及選講。在講授二重積分期間正值日本阿蘇山火山遇到強烈地震再次噴發[5]，地震還可能導致山體塌方等并形成堰塞湖，因此授課老師根據實事設計了案例3.1和3.2，立刻牢牢抓住了學生的眼球和探知欲望。

案例3.1火山體積

問題描述：某火山的形狀可以用曲面

z=he■（z>0）來表示，求火山體積。

對火山形狀分析，將其底面看成無限大的圓，利用了廣義極坐標的計算，可得其體積。提出疑問：為什么火山噴發后往往形狀不會改變，一般是小號變大號？

案例3.2湖水體積

問題描述：橢球正弦曲面是許多湖泊的湖床形狀的很好近似。若湖的最大水深為hmax，且橢球正弦曲面函數為f（x，y）=-hmaxcos（■■），求湖水體積V以及平均水深h？

引入二重積分換元法，利用橢球坐標可得V≈1.4535abhmax，h≈0.463hmax。提出調研數據：通過對全世界107個湖泊的研究結果表明，湖水的平均深度與最大深度的比值的平均值為0.467，非常接近計算值0.463。然后提到2008年地震時在震區形成多個堰塞湖，為當地構成二次威脅，在時間緊迫條件有限的情況下，快速估算各堰塞湖的水量為制定減災方案提供支撐是非常必要的。

兩個案例結束后提出共同問題：為什么同樣是地球上的自然大型地貌，火山底面往往是圓形，而湖水表面往往是橢圓形呢？

案例3.1用到二重積分極坐標計算，屬于大綱內容，講授重點是分析火山形狀，主要是其底面形狀。而案例3.2利用橢圓坐標計算二重積分，不屬于大綱內容，要求學生自主學習支撐材料，并將結論用于驗證直角坐標對極坐標的轉換。同時老師向學生提出還有很多其他的坐標系，不同的坐標系之間可以使用換元法進行轉換，以此擴展學生思維。以上兩個案例的漸次學習，拓展了學生對積分的認識，還展現了課程與實事相結合，與多學科相結合的應用。

四、案例教學總結及探究

實踐表明案例教學法是一種新的教學理念，而不僅僅是幾個應用題的解決和擴展，更重要的是授課老師必須轉變觀念、提高自我，讓這種理念貫穿整個教學，并結合本專業學生的認知水平和專業知識特點，充分調動學生思維，做到讓案例推動課程，將應用結合課程，讓課程融入生活。

在對我校經管類專業進行了一學年的案例教學改革以后，通過學生的學習情況和調研結果可以看出，案例教學大大提高了學生的學習積極性、參與性，增強了學生的實踐能力、數學思維能力和應用能力，取得了初步成功。在接下來的幾年內，計劃對該專業學生進行學習跟蹤，考察教學改革后該課程對專業后續課程的支撐水平，對學生實踐能力和理性思維能力的后續效用等等。

參考文獻：

[1]朱志輝，張柳霞.將數學實驗思想融入經管類專業微積分教學的實踐研究[J].赤峰學院學報（自然科學版），2015，12（12）：246-248.

[2]劉雄偉，李建平，王曉.基于問題式學習的高等數學教學模式研究與探索[J].高等理科教育，2013，5（111）：72-78.

[3]孫秀娟，王新霞，王春.高等數學案例教學法[J].高師理科學刊，2012，5（3）：88-90.

[4]朱捷，孫璐，杜紅，馮玉鐵.基于市場經濟的視角談《高等數學》課程案例式教學的研究[J].經濟師，2014，（12）：254-255.

[5]陳卓，肖紅.日本熊本16日再起7.3級強震阿蘇火山小規模噴發[EB/OL].（2016-04-16）.http：//world.people.com.cn/n1/2016/0416/c1002-28280717.html.

The Application and Exploration of Case Teaching in Calculus Course Design

QIN Jian-qiu，FANG Guo-min

（Chengdu University of Information Technology，Collage of Applied Mathematics，Chengdu，Sichuan，610225，China）

Abstract：This essay explores and summarizes the practice of case teaching in the calculus course. Practice shows the application of case teaching can greatly help arouse the students' learning enthusiasm，and encourage students to explore，question，and innovate，and also，it can help improve their practical ability of collecting data as well as independent learning.

Key words：calculus；teaching reform；teaching method；teaching design；case teaching