借助幾何直觀建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的研究

（福建省南安市豐州中心小學(xué)，福建 南安 362300）

摘 要：幾何直觀教學(xué)法是一種化抽象為形象，使學(xué)生能夠更好地建立感性經(jīng)驗，并在親歷探究中獲取知識的一種重要方法。空間與圖形是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，對發(fā)展學(xué)生的空間想象能力有著重要作用，教師有效運用幾何直觀教學(xué)法，能夠提升學(xué)生的綜合能力。文章以空間與圖形教學(xué)為研究載體，深入闡述借助幾何直觀教學(xué)法輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的策略及具體做法。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；感性經(jīng)驗；概念建構(gòu)；規(guī)律探究；推理能力

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2017）07-0066-02

幾何直觀教學(xué)法可以讓復(fù)雜的問題變得簡單、抽象的問題變得具體，使以形象思維為主的學(xué)生能找到感性認知的載體，并借助直觀更好地親歷探究，最終發(fā)現(xiàn)知識、理解知識和運用知識。那么，教師如何睿智地借助幾何直觀教學(xué)法，有效激活數(shù)學(xué)課堂，幫助學(xué)生建構(gòu)空間與圖形知識呢？

一、借助幾何直觀，幫助學(xué)生形成更多感性經(jīng)驗

在數(shù)學(xué)教材中，長方體的表面積、正方體的表面積、圓柱的表面積是重要內(nèi)容，也是學(xué)生理解立體圖形的基礎(chǔ)內(nèi)容。比如，學(xué)習長方體的表面積公式時，學(xué)生需要對長方體的6個面有一定的理解，知道這6個面可以分成3組，以及每個面對應(yīng)的長方體的長、寬、高。想讓學(xué)生記住長方體表面積公式并不難，利用公式直接計算表面積也不難，難的是變形題。如果學(xué)生不會運用一定的解題策略，就無法找到變形題的正確解決方法。例如，已知兩個完全一樣的長方體，它的長、寬、高分別為5米、4米、3米，現(xiàn)在要將這兩個長方體的最小面拼在一起，形成一個新的長方體。那么，新長方體的表面積是多少平方米？解這道題時，如果讓學(xué)生單純依靠想象來解答，學(xué)生的思維會比較混亂，難以找到突破口。這時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出這兩個長方體，然后將它們最小的兩個面“拼在一起”。學(xué)生在拼畫的過程中，必須明白這兩個長方體最小的面是長4米、寬3米的面，因為另外兩組數(shù)字的乘積都大于12。因此，學(xué)生按要求拼畫新長方體時，可將相關(guān)數(shù)據(jù)標上去，這樣可以一目了然，從而尋求多種解題方法。比如，先分別求出新拼長方體的長、寬、高，然后利用長方體表面積公式求出表面積；還可以求出兩個長方體的表面積之和，然后減去組合在一起的最小的兩個面（被隱藏了）的面積，就是新長方體的表面積；還可以觀察新長方體是由原來長方體的多少個面組成，分別求出這些面的面積，再計算總面積即可，因為直觀圖容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)3乘4的面原來有4個，拼后減掉了2個，其他面不變。可見，直觀圖形為學(xué)生的抽象理解提供了感性的載體，學(xué)生可以借助直觀圖形理解題意，從而找到解題方法，并豐富自己的空間想象能力。

二、借助幾何直觀，幫助學(xué)生理性建構(gòu)空間概念

概念是學(xué)生理解知識的基礎(chǔ)內(nèi)容，影響著學(xué)生整體知識的建構(gòu)。由于空間與圖形的概念本身比較抽象，所以必須借助一定的載體才能為學(xué)生理解空間與圖形的相關(guān)概念找到認知的突破口，使學(xué)生在頭腦里建立起相關(guān)的表象，幫助學(xué)生更好地對空間與圖形知識進行理解。比如體積概念，關(guān)于什么是體積，教材的表述是“物體所占空間的大小”。對學(xué)生來說，想真正理解這句話的含義是有一定難度的。“空間”本身就是一個抽象的名詞，教師必須為學(xué)生尋找一個感性載體，才能有助于學(xué)生理解。為了激活學(xué)生的認知體驗，教師設(shè)計一個實驗：教師在講臺桌上放一杯水，然后，將一塊石頭放進杯中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)水位上升了。這時，教師設(shè)問：為什么水位會上升？因為石頭占了水的空間。這一直觀的實驗，能讓學(xué)生更好地理解“物體所占空間”的含義。接著，教師設(shè)計沖突性更強的實驗：桌上放著一個裝滿水的杯子，當教師將一塊石頭投進杯子后，杯中的水溢出來了。這雖然是生活中的常見現(xiàn)象，但學(xué)生并不知道它蘊含著什么樣的理論知識。通過這個實驗現(xiàn)象的演示和教師的講解，學(xué)生就會明白這一實驗是“物體所占空間”的直接表現(xiàn)，因為一個杯子只能容納一滿杯水，將石頭放進去后，石頭就占據(jù)了水的空間。可見，直觀教學(xué)手段為學(xué)生的理解提供了感性載體，這比教師用華麗的語言進行闡述效果更理想，學(xué)生會在感性認識中對概念形成更為深刻的理解，從而有效建構(gòu)空間與圖形知識。

三、借助幾何直觀，幫助學(xué)生深度探究知識規(guī)律

學(xué)習空間與圖形時，很多知識是存在一定的規(guī)律的，而這些規(guī)律能有效幫助學(xué)生理解知識、找到解決問題的方法。在教學(xué)過程中，教師要抓住空間與圖形相關(guān)知識的特點，積極引入直觀教學(xué)手段，使幾何中的數(shù)學(xué)規(guī)律能被學(xué)生所發(fā)現(xiàn)，從而為學(xué)生理解知識找到突破口，幫助學(xué)生最終找到數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識。例如，三角形的內(nèi)角和是180度，但如果教師直接告訴學(xué)生這一結(jié)論，對學(xué)生來說這只是一個數(shù)字，無法找到180度與三角形的必然聯(lián)系，學(xué)生的理解就會膚淺。對此，教師可以設(shè)計探究活動：先讓學(xué)生自主剪出或畫出幾個不同形狀的三角形，然后用量角器量出每個角的度數(shù)，并將每個三角形的三個角的度數(shù)加起來。學(xué)生會在探究過程中發(fā)現(xiàn)：無論什么樣的三角形，其內(nèi)角和總是180度。當學(xué)生通過這種操作活動建構(gòu)起三角形內(nèi)角和的概念后，他們在學(xué)習四邊形的內(nèi)角和時，就會根據(jù)學(xué)習經(jīng)驗進行自主探究，并發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是360度。在幾何課程中，關(guān)于角的內(nèi)容非常多，知識非常系統(tǒng)，所以學(xué)生學(xué)習能力的培養(yǎng)是幾何教學(xué)的隱性目標。因此，教師要巧妙借助幾何直觀教學(xué)法幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘊含于知識中的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升自主學(xué)習能力。

四、借助幾何直觀，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力

推理能力是學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的重要能力之一，影響著學(xué)生數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。縱觀空間與圖形知識，其中不少定理、公式、概念等都需要學(xué)生進行一定的推理，才能更好地理解內(nèi)涵。幾何直觀教學(xué)法作為形象的教學(xué)手段，能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題演變成形象的推理情境，使學(xué)生在情境中親歷數(shù)學(xué)探究過程，并在綜合活動中有效推導(dǎo)出公式或定理，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。例如，學(xué)習“平行四邊形的面積公式”時，北師大版教材中設(shè)計了不少生活情境和操作情境，其目的在于讓學(xué)生通過操作活動自主推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。平行四邊形的面積公式很簡單：底乘以高，如果教師在課堂上簡單引導(dǎo)，然后讓學(xué)生將公式背下來，并不是一件困難的事。但如果以這樣的方式進行教學(xué)，蘊含于面積公式推導(dǎo)過程中的數(shù)學(xué)思維將無法在課堂上呈現(xiàn)，學(xué)生的思維會停留在比較膚淺的層面，無法知曉公式的來龍去脈，這既不利于學(xué)生思維的發(fā)展，也不利于以后學(xué)習三角形、梯形的面積公式。本課的教學(xué)重點是讓學(xué)生在直觀操作中發(fā)現(xiàn)平行四邊形與長方形之間的關(guān)系，進而推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。首先，學(xué)生會在情境中發(fā)現(xiàn)長方形和平行四邊形的面積是相等的（長方形的長和平行四邊形的底相等，長方形的寬和平行四邊形的高相等）。接著，教師讓學(xué)生利用課前準備好的材料，通過畫一畫、剪一剪、拼一拼、貼一貼等方法研究將平行四邊形“轉(zhuǎn)化”成長方形。最后，學(xué)生通過比較平行四邊形與長方形之間的關(guān)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。操作過程是學(xué)生推理實踐的重要過程，學(xué)生會圍繞平行四邊形面積公式的推導(dǎo)展開數(shù)學(xué)活動。在推導(dǎo)過程中，學(xué)生會遇到困難，但更會因解決困難而對推導(dǎo)過程產(chǎn)生更為深刻的印象，學(xué)生的推理能力會得到更好的發(fā)展。學(xué)生推導(dǎo)出平行四邊形面積公式之后，還要學(xué)習三角形、梯形的面積公式，有了推導(dǎo)平行四邊形面積公式的經(jīng)驗，學(xué)生在推導(dǎo)三角形、梯形的面積公式時，就會有比較多的感性經(jīng)驗，會在知識的遷移中順利推導(dǎo)出其公式。可見，學(xué)生運用推理方法獲得的知識會在其大腦中留下深刻印象，而幾何直觀則為學(xué)生的推理提供了感性材料的支撐，可以讓推理變得更加靈動，使得學(xué)生對空間與圖形知識的理解更加深入。

五、結(jié)束語

總之，空間與圖形是數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容，是發(fā)展學(xué)生空間想象能力的重要載體。想讓學(xué)生更好地理解抽象的空間與圖形知識，教師需把握空間與圖形的特點，積極為抽象的知識找到感性的認知載體，使學(xué)生經(jīng)歷從形象到抽象、從抽象再到形象等一系列思維過程。幾何直觀教學(xué)法是輔助數(shù)學(xué)教學(xué)、提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率的重要策略之一，教師要睿智運用，幫助學(xué)生更好地建構(gòu)知識、發(fā)展能力。

作者簡介：黃培陽（1982-），女，福建南安人，小學(xué)一級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

參考文獻：

[1]袁春紅.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“幾何直觀”的教學(xué)策略[J].中國教師，2013（10）.

[2]華旦玲.幾何直觀在小學(xué)低年段解決問題教學(xué)中的應(yīng)用[J].江蘇教育研究，2014（12）.

[3]徐玉釵.數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)立足幾何直觀[J].教學(xué)與管理，2016（07）.

[4]徐偉平.借助幾何直觀提高運算教學(xué)效率[J].教學(xué)與管理，2015（07）.

[5]朱玉婷.高年級小學(xué)生幾何直觀的應(yīng)用現(xiàn)狀調(diào)查及教學(xué)建議研究[D].東北師范大學(xué)，2015.