立足整體，抵達(dá)問(wèn)題的本質(zhì)深處

方紅梅

摘 要：數(shù)學(xué)解題必須緊扣問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。立足于習(xí)題的整體視角，往往能夠拓寬解題的視域。為此，教師要善于引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行整體觀察、整體換元、整體思量、整體比較、整體構(gòu)圖、整體體驗(yàn)等，由此把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體特征、形式結(jié)構(gòu)與本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：整體思路；解題技巧；數(shù)學(xué)本質(zhì)；解題視域

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，當(dāng)采用“各個(gè)擊破”的策略將解題的著眼點(diǎn)聚焦于一個(gè)個(gè)零碎的條件而不能解決問(wèn)題時(shí)，我們就需要立足于習(xí)題的整體結(jié)構(gòu)，拓寬解題的視域，縱觀全局而進(jìn)行思考。通過(guò)對(duì)習(xí)題的整體特征、整體形式、整體結(jié)構(gòu)等進(jìn)行觀察、思考、操作，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀上認(rèn)識(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。由此化難為易、化繁為簡(jiǎn)，進(jìn)而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

一、整體觀察

數(shù)學(xué)的整體觀察是數(shù)學(xué)解題的重要策略。所謂“觀察”是一種有意識(shí)、有目的的活動(dòng)。數(shù)學(xué)觀察指向于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，主要是從數(shù)學(xué)的視角看習(xí)題中數(shù)的特征、式的特征、形的特征。從整體上進(jìn)行觀察、辨析，有助于迅速剔除題目中非本質(zhì)的細(xì)枝末節(jié)，獲得對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)理解和把握。

例1：如圖1，在一個(gè)足夠大的三角形中，以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，分別畫(huà)一個(gè)半徑為4厘米的扇形。那么，這三個(gè)扇形的面積之和是多少平方厘米？

分析：此題如果我們按照一般的解題思路，就是分別求出三個(gè)扇形的面積，然后求和。由于這是一個(gè)一般的三角形，而三角形三個(gè)角的度數(shù)題目中沒(méi)有告訴我們，所以我們是無(wú)法分別求出三個(gè)扇形的面積的。基于此，我們可以從整體上進(jìn)行觀察、思考。不難發(fā)現(xiàn)，三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)和為180°，因此，我們可以將三個(gè)扇形進(jìn)行合并，拼成一個(gè)半徑是4厘米的半圓。那么，要求三個(gè)扇形的面積之和也就是求半圓的面積是多少平方厘米。

因此，三個(gè)扇形的面積之和為：S=πr2÷2=π×4×4÷2=25.12（平方厘米）。

二、整體換元

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)題目的表征非常繁雜，常常讓我們感到無(wú)所適從。著眼于習(xí)題的部分結(jié)構(gòu)，我們會(huì)覺(jué)得很陌生，而著眼于習(xí)題的整體形式，我們又覺(jué)得似曾相識(shí)。為此，我們可以嘗試整體換元，將習(xí)題的復(fù)雜表征形式變得簡(jiǎn)約。整體換元常常讓我們?cè)凇吧街厮畯?fù)疑無(wú)路”時(shí)步入“柳暗花明又一村”的解題境界。

三、整體思量

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常常需要我們仔細(xì)分析題目中的數(shù)量關(guān)系，甚至采用“條分縷析”的方法，尋找并抓住解題的突破口。但有時(shí)這樣的方法往往會(huì)讓我們走進(jìn)“死胡同”，形成思維定式。基于此，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師有時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生打破思維的習(xí)慣，從習(xí)題的整體上尋找解題思路。要善于洞悉問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而找尋到解題的捷徑。

例3：蘇步青是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，一天，蘇步青在德國(guó)與另一名德國(guó)數(shù)學(xué)家散步。其間這位數(shù)學(xué)家出了這樣一道題讓蘇步青教授解答。題目是：甲、乙兩人同時(shí)從相距200千米的兩地相向而行，甲的速度是每小時(shí)12千米，乙的速度是每小時(shí)8千米。甲帶了一只狗，狗與甲同時(shí)出發(fā)，奔向乙，狗的速度是每小時(shí)20千米。在遇到乙后，狗又立即返回奔向甲。如此，狗在甲、乙兩人之間來(lái)回奔跑，直至甲、乙兩人相遇。那么，這只狗一共跑了多少千米的路程？蘇步青教授略加思索就給出了答案，那么，蘇步青教授是怎樣思考的呢？

分析：這道題的問(wèn)題是“狗跑了多少千米？”如果我們用線段圖表征這一道題的形式，從狗的角度思考問(wèn)題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)狗的奔跑路線是非常復(fù)雜的，且每一趟奔跑的距離都在發(fā)生變化，問(wèn)題的解決就顯得非常困難。而如果我們著眼于整體，將甲、乙兩個(gè)人的行走時(shí)間與狗的行走時(shí)間通盤(pán)考慮，就會(huì)發(fā)現(xiàn)甲、乙兩人是與狗同時(shí)出發(fā)、同時(shí)停止（相遇了）的。因此，狗的行走時(shí)間就是甲、乙兩人從出發(fā)到相遇的時(shí)間，這其中狗沒(méi)有停留。由此，我們可以計(jì)算出狗奔跑的路程：200÷（12+8）×20=200（千米）。

四、整體比較

所謂“整體比較”就是我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要對(duì)習(xí)題的整體和各部分關(guān)系進(jìn)行考量，既要著眼于習(xí)題整體，也要兼顧習(xí)題各部分的特征。在解題中，如果我們能夠從整體著眼，把握習(xí)題各部分條件與問(wèn)題之間的關(guān)系，就能從中找尋到解決問(wèn)題的思路，這是數(shù)學(xué)解題常用的策略。

五、整體構(gòu)圖

數(shù)學(xué)是美的，“數(shù)學(xué)的美”在于形式的“和諧”與“完整”。有時(shí)，數(shù)學(xué)習(xí)題給我們提供的是一個(gè)“斷臂的維納斯”，它召喚著我們對(duì)其進(jìn)行積極的想象、補(bǔ)白。為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整體地構(gòu)圖，根據(jù)“對(duì)稱原理”，可以將不規(guī)則、不完形的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則、完整的圖形。如此，將讓圖形的內(nèi)在數(shù)學(xué)本質(zhì)顯示出來(lái)，進(jìn)而達(dá)到快速解題的目的。

例5：如圖2，有一個(gè)底面半徑是3厘米的圓柱，從圓柱的正中間斜著截取了一段，截后的形體體積是多少立方厘米？

分析：從上圖不難看出，這是一個(gè)不規(guī)則的幾何形體，直接解題比較難。我們可以根據(jù)題意進(jìn)行整體想象，將這個(gè)幾何形體恢復(fù)成截取之前的狀態(tài)。也就是說(shuō)，我們可以對(duì)這個(gè)幾何形體進(jìn)行“整體構(gòu)圖”，根據(jù)“對(duì)稱原理”，用和它一樣的幾何形體，按照一正一反的順序拼接起來(lái)。顯然，我們能夠拼接成一個(gè)圓柱體，這個(gè)圓柱體的底面半徑是3厘米，高是14厘米，體積是這個(gè)不規(guī)則幾何形體的2倍。

因此，V=πr2h÷2=π×3×3×14÷2=63π（立方厘米）。

六、整體體驗(yàn)

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述對(duì)學(xué)生而言往往是“亂花漸欲迷人眼”，學(xué)生容易被數(shù)學(xué)習(xí)題中的一個(gè)個(gè)條件“牽著鼻子走”。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地跳出具體的局部細(xì)節(jié)，洞察整體與局部的關(guān)系，對(duì)問(wèn)題獲得一種整體的體驗(yàn)與感悟。運(yùn)用“整體思維”思考問(wèn)題，往往能夠讓我們?cè)诮忸}中獲得新的思路。

例6：有兩只同樣的杯子，分別裝有100毫升的果汁和牛奶。如果我們先將果汁杯中的果汁倒20毫升到牛奶杯中，攪拌均勻；再將牛奶杯中的混合溶液倒20毫升于果汁杯中；如此反復(fù)兩次。那么，是牛奶杯中的果汁多還是果汁杯中的牛奶多？

分析：本題中的具體數(shù)量容易引誘我們?nèi)リP(guān)注每一次倒后牛奶里的果汁含量以及果汁里的牛奶含量。如果我們將解題的目光聚焦于這些局部細(xì)節(jié)，本題的解答將非常復(fù)雜。為此，我們可以撇開(kāi)具體數(shù)值，從整體入手。不難發(fā)現(xiàn)，不管怎樣地倒來(lái)倒去，兩杯中的溶液總量始終是相等的，有多少牛奶進(jìn)入果汁的杯中就有多少果汁進(jìn)入牛奶的杯中。因此，果汁杯中的牛奶與牛奶杯中的果汁始終是相等的。

數(shù)學(xué)解題是一門(mén)藝術(shù)，其中蘊(yùn)藏著諸多的解題技巧。合理運(yùn)用“整體思維”，常常能夠化繁為簡(jiǎn)，化難為易。立足于整體的視角解題，往往能夠抵達(dá)問(wèn)題的本質(zhì)深處，進(jìn)而產(chǎn)生創(chuàng)造性的解題靈感，由此突破解題的思維定式、思維障礙，一舉解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。