“連續型隨機變量的密度函數”微課教學設計

林敏+張晴霞+劉建興

【摘要】以概率統計課程中的“連續型隨機變量的密度函數”知識點為例，結合微課教學的特點，從教學目標、重難點分析及對策、教學過程及方法、教學思想方面進行了專門的教學設計，并通過教學實踐取得了較好的效果.

【關鍵詞】微課；密度函數；教學設計

【中圖分類號】G642【文獻識別碼】A

【基金項目】（1）2015.06.01-2016.05.31，西南石油大學教師教學研究重點資助項目，“利用現代教育技術實現《概率統計》立體化教學模式的研究和實踐”（項目編號2015JXYJ-23）；（2）2013.02-2016.07，四川省教育廳教學改革研究項目“多元化人才培養模式下的大學數學系列課程改革與實踐”（項目編號X15021301019）；（3）2015.11.01-2017.08.10，高等學校大學數學教學研究與發展中心教學改革項目，“將優秀微課作品應用于概率統計課程教學的教學模式的探索與實踐”（無項目編號）.

隨著高校教育教學改革的不斷深化和網絡通信技術的快速發展，微課作為一種新興教學方式，正受到教育界越來越多的關注.近兩年教育部舉辦的“全國高校數學微課程教學設計競賽”反響非常熱烈，涌現出一批優秀的數學微課作品.筆者選取概率統計課程中的“連續型隨機變量的密度函數”知識點作為微課參賽作品，獲得“第二屆（2016）全國高校數學微課程教學設計競賽”西南賽區一等獎.現將本次微課教學設計思路及教學特色與同行分享.

一、教學目標

本次微課的教學目標是：

1.了解連續型隨機變量與離散型隨機變量的差異；

2.理解連續型隨機變量概率密度函數的定義和性質；

3.體會密度函數對于研究連續型隨機變量的價值及其在方法論上的意義.

二、重難點分析及對策

（一）重難點：密度函數的概念和性質

密度函數是連續型隨機變量的標桿.因為只要知道密度函數，就可以通過積分計算連續型隨機變量的各種概率，從而明確該隨機變量的概率分布及特征，所以深入理解密度函數的概念和性質十分重要.按嚴格意義的表述，連續型隨機變量及其密度函數是捆綁在一起定義的，直接給出該定義對學生來講顯得很突然而且抽象，不容易接受.因此，教學中應注意概念引入的方式和技巧，以便對概念的內涵有深刻的理解.

（二）重難點突破對策

對策1：引導學生發散式思維，由離散過渡到連續.離散型隨機變量在某個區間上的概率計算是隨機變量在該區間中所有取值對應的概率求和，以此為背景，通過將取值點不斷加密，自然地將取值的視野引入連續區間的情境，想到連續的求和就是積分.于是區間上概率的計算問題也就從離散情形下的概率求和轉化到連續情形下的積分.這個基本思路必須是學生頭腦中形成的處理隨機變量概率問題的第一反應，達到這個層面，對連續型隨機變量相關概率的幾何意義、密度函數的性質等等的理解就會順理成章.

對策2：類比思想.通過類比物理中求非均勻細桿質量的例子，激活學生原有經驗，調動學生積極主動思維，類比探究連續型隨機變量區間上概率計算的定積分表達式，引出概率密度函數存在性的猜想.

三、教學過程及方法

本次微課結合PPT演示，教學時間15分鐘.采用探索式、提問式、啟發式、類比式教學，由表及里、層層遞進、步步設問，引導學生主動思考，利用舊知識解決新問題，激發學生的創新意識，培養學生的發散性思維和能力，達到理解并掌握知識的目的.

（一）區間上概率問題的提出及密度函數概念的引入（4分鐘）

1.通過探討式教學，讓學生對連續型隨機變量的概念有初步的直觀感受，并得出連續型隨機變量需關注區間上的概率計算問題.

首先，通過對日常生活中實際問題的直觀感受，引入與離散型隨機變量不同的另一類隨機變量，如手機的使用壽命、某人在車站等車的時間等，稱之為連續型隨機變量.然后，啟發學生思考：這些所謂的連續型隨機變量與離散型隨機變量的區別在哪里呢？學生們容易發現：它們與離散型隨機變量的最大不同在于取值可能為某實數區間的任意值，而不是至多可列個值，這一不同造成了連續型隨機變量X取某一個點的概率毫無意義，需著重關注的問題是X落在某個區間內的概率，如P（a

2.通過探求連續型隨機變量概率的計算問題，參照定積分的微元分析方法，由離散向連續過渡；同時與非均勻細桿質量的線密度作類比，啟發學生猜想密度函數概念的存在性.

①定積分解決概率問題思想的形成

【利用舊知識解決新問題】首先回顧離散型隨機變量求P（a

【提出問題，啟發學生思考】為了從離散向連續轉變，我們想象這里的離散型隨機變量X的取值越來越密集，最后連成一片構成一個區間，此時如何計算P（a

【預設回答】大部分學生會回答“積分”.

【進一步啟發】連續的求和就是積分，該積分值顯然與區間（a，b]有關，于是猜想能否存在某個函數f（x），將P（a

②概率密度函數存在性的猜想.

【類比猜想】概率是對隨機事件發生可能性大小的一種度量，它本質上與長度、質量等度量方式沒有區別.并且注意到隨機變量X落入整個實數軸是一必然事件，其概率為1，所以引導學生類比猜想：將整個實數軸設想成一根無限長的質量為1的非均勻細桿，于是計算P（a

【揭曉答案】事實上，經過數學家們的研究，對連續型隨機變量，這樣的概率密度函數的確存在.下面給出連續型隨機變量及其密度函數的嚴格定義.

（二）連續型隨機變量及其密度函數的定義與性質（4分鐘）

定義1設X是隨機變量，若存在函數f（x）滿足

（1）對任意的實數x，有f（x）≥0；

（2）∫+∞-∞f（x）dx=1；

（3）對任意兩個實數a，b（a

則稱X為連續型隨機變量，f（x）為X的概率密度函數，簡稱密度函數或概率密度.

【教學特色】本次教學設計中未采用傳統的密度函數定義.

定義2設F（x）是隨機變量X的分布函數，如果存在某個非負函數f（x），使對任意的實數x，有F（x）=∫x-∞f（x）dx，則稱X為連續型隨機變量，并稱f（x）為X的密度函數.定義2直接給出了分布函數和密度函數的關系，定義中的積分表達式是反常積分中的變上限積分形式，初學者難于理解，甚至容易將分布函數與密度函數混淆.為此，教學過程中采用另一種密度函數定義方式（定義1），其優點在于：①承上啟下，易于理解；②化繁為簡，由易到難.

密度函數的性質：

（1）f（x）≥0（非負性）；

（2）∫+∞-∞f（x）dx=1（歸一性）.

注：這兩條性質是判斷一個函數能否成為概率密度函數的充要條件.

（三）連續型隨機變量區間上概率問題的解決（6分鐘）

由P（a

（1）P（a

根據定積分幾何意義可知，隨機變量X落在區間（a，b]上的概率，恰好等于在區間（a，b]上由曲線y=f（x）形成的曲邊梯形的面積.因此，可通過圖形直觀地感受隨機變量的概率分布情況.

（2）密度函數與分布函數的關系.

由關系式∫baf（x）dx=F（b）-F（a），引導學生探索分布函數F（x）和密度函數f（x）之間的關系.

【提出問題，引導學生思考】根據上述等式，大家聯想到微積分學中一個什么重要公式呢？這表明f（x）和F（x）之間可能會是一種什么關系呢？

【預設回答】大部分學生會回答“牛頓-萊布尼茲”公式；“F（x）是f（x）的一個原函數”.

【進一步啟發并論證】分布函數F（x）能借助密度函數f（x）的積分形式來直接表達嗎？

F（x）=P（-∞

【深挖內涵，層層深入】

上式表明F（x）是關于f（x）的積分上限的函數，根據微積分知識，可以得到以下結論：

①連續型隨機變量的分布函數F（x）一定是連續函數；

②在F（x）的可導點x處，則有F′（x）=f（x），即分布函數就是密度函數的一個原函數；

③由結論②，進一步得到

f（x）=F′（x）=limΔx→0F（x+Δx）-F（x）Δx

=limΔx→0+P（x

該式表明，概率密度就是平均概率的極限，刻畫了分布函數變化的快慢程度；

④由結論③，進一步得到

P（x

該式表明，隨機變量X落在區間（x，x+Δx]上的概率與點x處概率密度成正比，即f（x）越大，在該點附近取值的概率就越大，體現了概率在x點附近的密集程度.

（四）小結與課后思考（1分鐘）

本次課通過類比猜想的方式引入連續型隨機變量的密度函數的概念，解決了連續型隨機變量在區間上概率的計算問題，并探討密度函數與分布函數的關系，將知識升華.

四、教學思想小結

1.通過對日常生活中實際問題的分析，引出對連續型隨機變量的直觀感受，讓學生認識到它與離散型隨機變量的差異，蘊含了從具體到抽象的思維方式；進一步由離散向連續過渡，溫故而知新，運用微元分析法，提煉出區間上概率的計算思路，體現了有限和無限、近似和準確、量變和質變等范疇的對立統一的辯證法教學思想.

2.采用“類比”教學法，將連續型隨機變量的概率計算與非均勻細桿的質量計算作類比，引入概率密度函數的概念，引導學生大膽設想和猜測，激發他們的創新意識并培養其發散性思維及能力.

3.通過對密度函數與分布函數關系的討論，讓學生進一步認識到微積分在研究概率領域中的作用，再次體會到微積分的無窮魅力.

4.通過問題驅動，引導學生主動學習和思考，激發他們發現問題和用科學方法解決問題的興趣和意識，培養其運用數學解決實際問題和進行科學研究的探索能力，體現“授人以漁”.