淺談抽象函數(shù)的解題方法

王秋鳳

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，抽象函數(shù)是相對(duì)于具體的函數(shù)而言，指沒(méi)有給出函數(shù)解析式或?qū)?yīng)法則，只是給出函數(shù)所滿足的一些性質(zhì)，抽象函數(shù)一般是指滿足這些性質(zhì)的一類函數(shù).求解抽象函數(shù)問(wèn)題，要有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的抽象思維和邏輯推理能力.隨著對(duì)數(shù)學(xué)考題的要求更多變，抽象函數(shù)問(wèn)題在高考命題中呈現(xiàn)逐漸加強(qiáng)的趨勢(shì).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；抽象函數(shù)；解題技巧

一、賦值法

賦值法是把已知函數(shù)所滿足的所有性質(zhì)，即一般性條件，賦予特殊的值，推出函數(shù)所必須滿足的其他性質(zhì).

例1已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（3）=0，對(duì)任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（6）成立，則f（2007）=（）.

A.2006

B.2007

C.2008D.0

解析f（-3）=0，取x=-3代入f（x+6）=f（x）+f（6），

得f（6）=0，f（x+6）=f（x），周期為6，選D.

例2（2005年重慶高考）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x.

（Ⅰ）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；

（Ⅱ）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0，求函數(shù)f（x）的解析表達(dá)式.

解（Ⅰ）取x=2，又f（2）=3，得

f（f（2）-22+2）=f（2）-22+2，即f（1）=1.

又f（0）=a，故f（f（0）-02+0）=a-02+0，

即f（a）=a.

（Ⅱ）又滿足f（x0）=x0的實(shí)數(shù)x0唯一.

由f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x可知

對(duì)任意x∈R有f（x）-x2+x=x0.

在上式中令x=x0有f（x0）-x02+x0=x0.

又f（x0）=x0得x0-x02=0.

故x0=0或x0=1.

若x0=0，方程f（x）=x有兩個(gè)根，故x0≠0.

若x0=1，則有f（x）=x2-x+1.

易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè).

“賦值法”是解抽象函數(shù)問(wèn)題最常用的方法，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用題設(shè)條件合理賦值，賦值要有明確的目標(biāo)、依據(jù)和靈活的策略.

二、變換法

利用已知函數(shù)所滿足的一般性的關(guān)系式，通過(guò)變量代換，推出所要求的關(guān)系式.

例3下列命題正確的序號(hào)是.

① 若f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；

② 若f（a+x）+f（a-x）=2c，則y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，c）中心對(duì)稱；

③ 函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；

④ 函數(shù)y=f（a+x）與y=-f（b-x）的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

解析①②③④都正確.

證明①②③證明略.

④ 設(shè)函數(shù)y=f（a+x）圖像上任意一點(diǎn)M（m，n），關(guān)于點(diǎn)Ab-a2，0對(duì)稱的點(diǎn)為N（b-a-m，-n），則

n=f（a+m），-f（b-（b-a-m））=-f（a+m）=-n，

所以y=f（a+x）圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)都在y=-f（b-x）的圖像上.

同理，y=-f（b-x）圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)都在y=f（a+x）的圖像上.命題正確.

三、抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題

例4已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，求f（x）解析式.

分析抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題一般用賦值法求解.

解∵函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，令x=1，y=0，

得f（1）-f（0）=2，∴f（0）=f（1）-2=-2.

在f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）中再令y=0得

f（x）-f（0）=x（x+1）.

∴f（x）=f（0）+x（x+1）=x2+x-2.

∴f（x）=x2+x-2.

可以看出對(duì)不同類型的抽象函數(shù)問(wèn)題，可以用不同的求解策略，有時(shí)根據(jù)所給條件，可利用具體函數(shù)模型來(lái)尋求解題思路，或檢驗(yàn)解答是否正確，從而化抽象為具體，有利于問(wèn)題的解決.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]楊其武.函數(shù)三性的關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（10）.

[3]張真平.抽象函數(shù)定義域的形象化求法[J].教育教學(xué)論壇，2011（13）.