應用發散性思維研究“同課異構”教學的差異、改進

摘要 通過分析、比較兩節《橢圓及其標準方程》同課異構課的差異，有意識地引導學生應用發散思維對橢圓的定義進行設問猜想，從而將此案例改進為“橢圓、雙曲線及卡西尼卵形線”的教學，進行一次有意義的探究實驗。

關鍵詞 發散思維 橢圓 雙曲線 卡西尼卵形線

【分類號】G633.7

“同課異構”是指不同的教師面對相同的教材，根據自己學生的具體情況，結合自己對教材的理解設計出不同的教學方式。同課異構就是鼓勵教師從不同途徑，用不同方法，多方面、多渠道地探索新的教學模式，從而有意識地引導學生變更思考角度，變換思維方式來分析問題、解決問題，促使學生數學思維能力的提高和充分發揮。

1 案例背景

“橢圓及其標準方程”是平面解析幾何的重要內容，是高考考查主要內容之一。教學目標是掌握橢圓的定義及其標準方程，為后續的橢圓的幾何性質及應用的學習做好鋪墊。教學重點是橢圓的定義和橢圓的標準方程，教學難點是橢圓標準方程的推導。

2 兩種設計

案例1

（1）創設情境，提出問題。

教師向學生們展示了神州七號“嫦娥奔月”的相關圖片，并讓學生們列舉日常生活中有關橢圓形的實物，比如：雞蛋、橄欖球、油罐車、地球的軌道……等等，從而引出橢圓這一概念，從而設問：滿足什么條件的點的軌跡是橢圓呢？

（2）構建模型，解決問題。

給出畫橢圓的一種方法：取一條一定長的細繩，兩端固定在畫板上的兩定點 上，當細繩長大于 的距離時，用筆尖拉直細繩在畫板上緩慢移動，就可以畫出橢圓圖形（如圖所示）。

（3）追蹤成果，提出猜想。

引導學生認真觀察、體驗橢圓的畫法，一起歸納、總結橢圓的定義：平面內與兩個定點 的距離之和等于常數（大于 ）的點的軌跡叫作橢圓。

（4）深入細微，深化理解。

教師引導學生認真分析發現橢圓定義中容易遺漏的三個地方：①兩個定點---兩點間距離即 確定；②繩長--軌跡上任意一點到兩定點距離和即 確定；③繩長大于兩點間距離即 。其次引導學生思考：若在定義中缺少 時，點的軌跡還有意義嗎？若有，代表什么圖形？最后進一步引導學生思考發現：在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（橢圓 線段）；兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（橢圓 圓）。由此，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關（為后續離心率相關概念的學習作鋪墊）。

現在已經學習了橢圓的定義，那么橢圓有橢圓方程嗎？若有，如何求出其方程？更進一步引導學生建立直角坐標系，求出橢圓方程。建系可能出現多種方法，例如：①以 為原點， 為 軸，過 垂直 的直線為 軸建系；②以 為 軸，線段 的中垂線為 軸建系，……。在這么多的建系方式中，哪一種比較好呢？請學生認真感受一下，大部分的學生感覺方法②比較好，能體現數學的對稱美感。

（5）學以致用，拓展延伸。

練習1：已知橢圓的焦點為 ，且過點 ，求滿足條件的橢圓標準方程。

練習2：已知橢圓過點 求滿足條件的橢圓標準方程。

案例2

由實際例子引入橢圓的概念，教師提出問題：什么是橢圓呢？怎么定義？引導學生聯想圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡就是圓，并畫出圓的圖形；再引導學生認識到：其實圓也可以看成：動點到定點的來回距離之和為常數的點的軌跡。接著教師設問：若把圓的這個定點一分為二，那么這樣“來回”的距離之和等于常數的點的軌跡是什么？再構建畫橢圓模型，在上述畫圓的基礎上做如下改變：將細繩的兩端由原來都綁在同一釘子上，改為分別綁在兩個釘子上，并拉開釘子使其有一定的距離，用筆尖拉直細繩在畫板上緩慢移動，就可以畫出橢圓圖形，從而組織學生歸納、總結橢圓的定義。

得到橢圓定義后，案例2的教學設計基本上與案例1相同。

3 設計反思

本節課是一節概念課，完整的概念課教學包含以下幾個內容：（1）問題背景引入；（2）具體例子的分析與綜合；（3）概括概念的本質屬性；（4）下定義；（5）概念的辨析；（6）用概念做判斷與解決問題。

案例1基本上涵蓋了上述的幾個步驟，各個步驟之間的過度比較自然，整個教學設計流暢合理，通過師生之間的良好互動充分調動了學生學習的積極性，是一節比較成功的概念課教學設計。

案例2與案例1相比，不同之處在于：通過圓這個定義的聯想類比，創設良好的文化氛圍，使得橢圓這個新知識是：在擁有肥沃的土壤（圓的概念）中自然的“生長”出來。從而使學生對橢圓定義的理解經歷了由模糊到清楚、由零碎到完整，并逐步完美的融合到原有的知識體系中來。概念課的引入一般會從這三個方面入手，①實際應用的需要；②利用類比引入；③數學知識發展的本身需要。所以，案例1和案例2的引入是各有千秋。

但是，在受案例2橢圓定義的創造性引入方式及橢圓定義的啟發，好學的學生可能會疑問：平面內與兩個定點 的距離之和等于常數（大于 ）的點的軌跡叫作橢圓，那么距離之差的點的軌跡呢？距離之比呢？距離之積呢？在這種發散思維的觸動下，筆者認為可以將此案例進一步改進為“橢圓、雙曲線及卡西尼卵形線定義”的教學，進行一次有意義的探究實驗。

4 案例改進

拓展1：平面內與兩個定點 的距離之差為定值的點的軌跡是什么？

① 當 時，圖象分為兩支，隨著 的減小而分別向 收縮；

② 當 時，圖象成8形自相交叉，稱為雙紐線；

③ 當 時，圖象是一條沒有自交點的光滑曲線，曲線中部有凹進的細腰。

④ 當 時，與前種情況一樣，但中部變平。

⑤ 當 時，曲線中部凸起。

卡西尼卵形線圖象由此組成（如右圖所示）。

所以，由上可得：平面內到兩個定點 的距離之積為常數的所有點組成的圖形稱為卡西尼卵形線。

由上述案例的改進所給的啟發知，在數學教學中，當學生具備了一定的數學能力后，教師一方面可以鼓勵學生在此基礎上進行大膽質疑、猜想，提出富有探索性的新問題，讓學生憑借所學的知識與技能，善于發現、勇于探索，不斷構建自己的數學思維，提高數學思維的應用能力；另一方面，教師在平常的教師實踐中要有意識、有目的、有重點地向學生進行設問，制造“障礙”，從而引導學生突破自己的思維定勢，培養思維的靈活性和廣泛性。

參考文獻

[1] 普通高中課程標準實驗教科書 數學選修2-1（理科） 湖南教育出版社 2005年8月第1版

[2] 馬小平 橢圓及其標準方程教學設計 學周刊學術研究 2012年第11期

[3] 李仲來 宋煜 橢圓——卡西尼卵形線 數學的實踐與認識 第33卷第2期 2003年2月

作者簡介 林良勇 男 1981-10-14 研究生 漳州一中 中學二級 漳州市薌城區勝利西路76號漳州一中 lly160@163.com