探究微命題微方法 培養學生核心素養

[摘 要] 數學核心素養是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的人的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的. 通過理解數學核心素養的六個維度：數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算和數據分析，從數學的微命題和微方法入手，探索數學核心素養的有效培育途徑.

[關鍵詞] 數學核心素養；微命題；微方法；向量

數學核心素養是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的人的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的. 數學核心素養是數學課程改革的新指向，已經成為數學教育教學的培養目標. 本文通過理解數學核心素養的六個維度：數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算和數據分析，從數學的微命題和微方法入手，探索數學核心素養的有效培育途徑.

[?] 聚焦數學核心素養，構建微命題和微方法理念

隨著高中數學有效教學方式的不斷改進，研討微專題成為高中數學的一個熱點.目前可以發現很多研究微專題的方式方法，但“只有適合的方法才是最佳的方法”. 我們在教學中，常常會遇到學生對知識點了解不夠的窘境，即課本概念和解題需要之間看似“脫節”，這時需要歸納總結，提取幾個關鍵命題（本文稱作“微命題”），突出幾個關鍵方法（本文稱作“微方法”）.

要有效培養學生的數學核心素養，最有效的方法是將傳統的專題轉變為以能力為主線的微專題，探究數學的微命題和微方法. 以期通過微命題和微方法的探究，提升學生的數學核心素養，讓學生學會“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界”. 本文以向量的幾何應用為例，從微命題和微方法入手，談談數學核心素養的有效培育途徑.

[?] 培養數學核心素養，演繹微命題和微方法探究

研究向量的內涵實質，用向量的觀點研究教材的知識結構體系，培養學生學會運用向量解決問題的意識和能力.以向量為工具，實現“數與形”的結合，變抽象的數學邏輯為具體的向量運算，通過向量就能比較容易地解決某些數學問題.

1. 向量表示直線的微方法

用向量表示直線，最先可以看作直線的兩點式方程.

設直線上的動點為M，則過兩定點A，B的直線l的方程為：

=λ，λ∈R. （1）

設直線外一點O，則由（1）可推得過兩定點A，B的直線l的方程為：

=（1-λ）+λ，λ∈R. （2）

我們不妨稱（2）為直線的外點式方程，有時（2）可寫為

=α+β（α+β=1）. （2′）

上述形式都是由參數確定動點位置的. 設p是直線外一點O到直線l的距離，O點到l的垂直方向所作的單位向量稱為單位法向量，則直線l上任意點M滿足

·n=p. （3）

這個式子稱為直線的法線式方程，它是用垂線表示直線的一種方式，且與坐標無關.在直角坐標系中，設n=（cosθ，sinθ），θ是法線與x軸的夾角，M（x，y），則xcosθ+ysinθ-p=0.法線式方程在坐標平面上表示夾角和距離時非常有用，例如，設直線外一點N（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離是d，則l的法向量為n= ±

又如，設直線l1：·n1=p1，l2：·n2=p2，則兩直線夾角就是它們法向量的夾角，其余弦值為cosθ=

n1·n2

，當直線表示為一般式時，即A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，就有cosθ=.

例1：如圖3，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長與線段BA的延長線交于圓O外一點D，若=m+n，則m+n的取值范圍是________.

變式：已知點G是△ABO的重心，若PQ經過點G，且=a，=b，=ma，=nb，求證：+=3.

課堂簡錄：通過小組交流討論，學生圍繞向量表示直線的微方法，可以比較輕松地解決此類問題.

學生1：對于例1，設=λ+（1-λ）·，設=u，則u<-1，于是==+，m+n=+=∈（-1，0）.

學生2：變式中，因為點G是重心，=a+b，于是

因為P，Q，G三點共線，所以=，從而+=3.

師：此類問題的思維含量較高，但不管怎樣，只要建立向量表示直線的三個數學模型，復雜問題都能輕松的簡單化.

設計意圖：從學生知識的“最近發展區”出發，探究向量表示直線的微方法. 在探求用向量表示直線的三種微方法及其證明、應用過程中，讓學生體會、感受數學概念和數學結論的形成過程：觀察、猜想、歸納、證明、抽象和概括. 在教師的指引下，探索用數學的思維分析問題、發現問題、提出問題，動手實踐、親身體驗等探究性活動，感悟數學邏輯，數學抽象等素養，發展學生數學思維能力，提升數學核心素養.

[?] 向量表達式的微命題

設，是平面上兩個不共線的非零向量，則平面上任何向量都可以表示為=α+β的形式，并且

（1）當α+β=1時，A，B，M三點在同一條直線上，當α+β>1時，點M與點O在直線AB的異側，當α+β<1時，點M與點O在直線AB的同側.

（2）上述表示式是唯一的，即若另有=m+n，則m=α，n=β. 證明如下：

（1）若α+β>1，設α+β=λ>1，則+=1，=+，在直線AB上，故點M與點O在直線AB的異側；同理，若α+β<1，則點M與點O在直線AB的同側.

（2）由=m+n知（α-m）= -（β-n），但，不共線，故m=α，n=β.

問題：當α+β≠1時，α+β能否對應更精確的幾何位置呢？不妨再以α+β>1為例分析.設=α+β，α+β=λ>1，則點M與點O在直線AB的異側. 設OM的連線與直線AB相交于點N，則==（α+β），故（α+β）=1，即=α+β=λ.

課堂簡錄：各小組通過合作探討，展示研究成果，總結解決此問題的策略，其余小組對其進行補充完善，教師最后總結點評.

師（總結點評）：上式表明，α+β的值是線段OM與相應截線段ON之比. 這個結論非常重要：點M離AB越“遠”，α+β的值越大. 用類似的方法可以劃定α+β的取值與點M位置所在區域的對應，如圖5.

有了這段分析，上面例1的結果一目了然，而例1的變式也可以更快地得到解決：因為P，Q，G三點共線，存在α，β（α+β=1）使得=α+β，即

a+b=αma+βnb，得=αm，=βn，故1=α+β=+.

例2：已知△OAB，其中=a，=b，M，N分別為三角形OA，OB邊上的點，滿足=a，=b，設AN與BM相交于點P，則=_______.

變式：給定兩個長度為1的平面向量，，它們的夾角為120°，（1）點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若=x+y，求x+y的最大值；（2）當∠BOC=30°時，求x+y的值.

課堂簡錄：通過小組合作討論，展示研究成果并總結解決問題的策略，教師總結點評.

生3：例2，令=λ+（1-λ）=λa+b，

同樣地令=μ+（1-μ）=a+（1-μ）b，

則λ

=，

=1-μ，由此解得λ=，μ=，因此=a+b.

師：不錯，對微命題的運用很到位，確立了問題模型的思考辨析能力，將問題的難度一下就降低了.

對于變式，也能容易解決，（1）x+y是兩線段之比，故當OC⊥OD時取得最大比值2.（2）∠BOC=30°時，OD=，x+y==.

設計意圖：通過觀察、分析，構建數學模型，從特殊到一般，抽象歸納出數學的一般規律，形成數學命題并推廣到更一般的情形，并將數學模型用準確的數學語言、數學符號表達出來.把握數學內容的本質，提升學生直觀想象、數學建模等核心素養.

[?] 向量坐標表示的微命題

設有點O（0，0）和點A（x，y），將向量繞點O逆時針旋轉θ角至，問A′（x′，y′）的坐標如何表示？這個問題有兩種方法處理，一是放到極坐標系中，令A（rcosθ1，rsinθ1），則A′（x′，y′）=（rcos（θ1+θ），rsin（θ1+θ））=（rcosθ1cosθ-rsinθ1sinθ，rsinθ1cosθ+rcosθ1sinθ）=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ）.

另一方法是轉化為復數，即對應的復數為x+yi，則對應的復數就為（x+yi）·（cosθ+isinθ）=（xcosθ-ysinθ）+i（xsinθ+ycosθ），從而x′=xcosθ-ysinθ，

y′=xsinθ+ycosθ.

特別地，如果旋轉角θ=90°，則x′= -y，y′=x. 比起坐標系變換公式的推導，這兩個方法都很簡潔，應用時很方便.

例3：已知點A為直線l：x+2y-4=0上任意一點，點C（2，4），以AC為直角邊作Rt△ABC，其中AB=AC（A，B，C按順時針排列），求·的最小值.

解：設A點坐標為（x，y），則=（2-x，4-y），因是向量繞點A逆時針旋轉θ=90°所得，所以=（-4+y，2-x），從而=+=（x，y）+（-4+y，2-x）=（-4+x+y，2-x+y），·=（x，y）·（-4+x+y，2-x+y）=-4x+2y+x2+y2=（x-2）2+（y+1）2-5.

上式的最小值是以C（2，-1）為圓心的一簇圓的半徑的平方減5的最小值，當然在圓與直線l相切時取得這個最小值，C（2，-1）到直線l的距離為d=，所以

-5即為所求.

例4： 設a，b為正數，xOy平面內兩點A（a，0），B（0，b）是正三角形ABC的兩個頂點，C在第一象限，若△ABC含于點集D={（x，y

0≤x≤1，0≤y≤1）}中，求點（a，b）所在平面區域的面積.

課堂簡錄：通過小組合作探討，各小組展示研究成果，最后教師進行總結點評.

師（總結點評）：△ABC含于區域D內，當且僅當是點C含在D內，當且僅當向量繞點A順時針旋轉60°后所得后的C點含在D內. 而=（-a，b），故的復數形式為-a+bi，得的復數形式為

問題轉化為：D′={（a，b）

0≤a≤1，0≤b≤1}內求區域0≤+b≤1，0≤+a≤1所圍的面積，不難求得該面積為6-3.

[A][B][E][O][x][D][C][y]

圖9

設計意圖：在整個教學過程中，要樹立發展學生的數學核心素養為導向的教學意識，將核心素養的培養貫穿教學活動的始終.在教學過程中要訓練學生打破思維定式，要敢于求新求異，訓練學生多層次、多角度、多方向的思維活動，增加學生思維的厚重度.

對解題方法和命題的歸納和應用，是數學素養的基本體現，有的教師主張啟發學生從自主探究中獲得結果. 但是若對功底不太雄厚的學生，這個要求不太現實，這時需要教師挖掘題目中的內在結構和功能，找出方法上的共同關聯，以幫助學生輕松解題.

本著“以生為本”的理念，突出學生主體地位，站在學生的角度，闡明通過數學抽象過程生成數學抽象素養，依靠數學理性思維生成數學邏輯推理素養，憑借數學綜合實踐生成數學建模素養，研究數學問題解決生成直觀想象素養，依賴數學算法算理生成數學運算素養，借助數學統計思維生成數據分析素養. 總之，在課堂教學中，要樹立以發展學生數學核心素養為導向的數學教學意識，探究數學微命題和微方法，有效培養學生數學核心素養.