拉長建構過程：核心知識教學的應然選擇

【人物速寫】

從教29年，魏光明老師一路走來，沒有轟轟烈烈的先進事跡，也沒有催人淚下的動人故事，樸樸實實但步步腳印。對于自己得到的那些令人艷羨的眾多榮譽，他總是淡淡一笑，說自己就是一個數學老師。他的低調在圈內是出了名的。

魏光明常常說：“教師一旦離開課堂，對課堂就沒有感覺了，無論干什么，我不會離開課堂。”的確，從工作初期一名普通的教師到大隊輔導員，再到副校長，直到現在做校長，始終未曾離開他摯愛的課堂。

平時不喜歡多言多語的他，走進課堂便是另一番狀態：思維縝密，環環相扣，行云流水，舉重若輕，逐步形成了“簡約而不顯簡單、嚴謹而不失幽默”的教學風格。走過的每一所學校，他的課堂都是開放的，老師們可以隨時走進他的課堂聽課。他大氣的整體架構、精致的細節刻畫、簡潔的教學語言、精當的課堂點撥，給聽課的教師留下深刻的印象。

他從不迷信任何權威，敢于直面教學中那些司空見慣的問題，并進行尋根問底的質疑。針對學生負擔普遍偏重的不爭事實，他一直潛心探尋減輕學生過重學業負擔的路徑，在全國范圍內率先提出并進行了“核心知識教學”的研究。更難能可貴的是，在當下這樣一個較為浮躁的年代，他十年如一日，始終聚焦這一話題，在一些權威性的雜志中經常會看到他關于“核心知識教學”的真知灼見，給有些迷茫的小學數學教學注入了一股清泉。近幾年，他的研究也引起越來越多的省內外同行的關注，他的“核心知識教學”的理念也越傳越遠。

“一個人可以走得很快，但一群人才會走得更遠。”這也是魏光明老師常掛在嘴邊的話。作為一名資深的數學教師，工作中，他不但熱心培養本校教師，還利用特級教師工作室這一平臺，助力著更大范圍的青年教師的成長。

聽老師的課是他最樂意的事。只要有時間，他都會夾著聽課筆記走進老師們的課堂。學校辦公室、圖書館、走廊、操場、食堂……到處留下他和老師們交流課堂教學的身影。許多年輕教師開設公開課前喜歡請他去聽課指導，他不厭其煩，常常是同一節課聽好多次，一遍遍地打磨，大到一節課的整體設計，小到教師的每句問話、每個手勢，他都細致地加以指導。有時還親自上陣，就某個教學環節進行手把手的示范。上完課，來不及休息，又和聽課教師一起交流反思。年輕教師在這樣的打磨中逐漸成長起來，成為學校教育教學的中堅力量。

教而不思則罔。他一直倡導教師不能死教書，要學會思考。不少教師在他的影響下漸漸地拿起了筆，隨時記錄下自己教育教學生活中的點滴感悟。對于老師們較為粗糙的論文、案例，他利用休息時間幫助斟酌謀篇布局，推敲遣詞造句，文章經他幾輪修改后，往往煥然一新。讀著他修改后的文章，老師們佩服得五體投地。如今，在各級教育主管部門組織的征文競賽獲獎教師名單中，他所在學校的老師總會有相當部分榜上有名。他還主動將老師們優秀的作品推薦至各級報刊，大家慢慢體驗到成功的喜悅，一股濃濃的教科研之風便在不知不覺中蔚然形成。

魏光明老師就是這樣，沒有華麗的言辭，更多地以無聲的行動有力地詮釋著自己對教育的深刻理解。一切為了學生，過一種樸素的教育生活，成為他永恒的希冀與不懈的追求。

【人物檔案】

魏光明，南京市莫愁湖小學校長，江蘇省小學數學特級教師，江蘇省中青年學術技術帶頭人，南京市“基礎教育專家”培養對象，南京曉莊學院客座教授。長期致力于小學數學“核心知識”的教學研究，不斷豐富“核心知識”教學的理論觀點和操作策略，相關成果已經成為國內該領域教學研究的重要文獻。先后主持了“小學數學核心知識教學的理論與實踐研究”等4個相關的省級研究課題。有60多篇論文在《人民教育》《江蘇教育》《教學與管理》《小學數學教師》等省級以上教育報刊發表，其中多篇被人大復印資料《小學數學教與學》全文轉載。先后數十次在浙江、山東、安徽、河北、廣西、江西、陜西等省級以上的專題研討活動中上研究課、作專題講座。2016年7月參加第13屆國際數學教育大會，并展示、演講其學術論文。

摘要：一個人的核心競爭力在于擁有獨立學習、批判性思考和解決問題等關鍵能力，以及適應未來社會發展和個人發展的必備品格。未來學校學科教育的轉型，必然關注“減量提質”，實現從注重知識數量的累積走向關注人的內在素養的提升。精選數學核心知識，拉長其創生、體驗和完善過程，可以將學生核心素養的培育目標落到實處。

關鍵詞：核心知識； 過程； 數學化； 小學數學

中圖分類號：G622 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）04B-0008-06

當下，一個人的核心競爭力不再是簡單占有海量知識，而是擁有獨立學習、批判性思考和解決問題等關鍵能力，以及適應未來社會發展和個人發展的必備品格。精選數學核心知識，引導學生通過數學學習學會思維，形成關鍵能力和必備品格融為一體的核心素養，是未來數學教育轉型的必由之路。從人的認知加工規律看，拉長核心知識的創生、體驗和完善過程，促進深度理解，有利于將培育學生的數學核心素養的目標落到實處。

一、產出導向，拉長知識創生的過程

小學數學課程呈現的知識，對于整個人類而言，是一些已經證實了的基礎的數學知識，是解釋生活現象、解決實際問題、揭示客觀規律的經常使用的思維工具，但對于學生而言，初次觸摸這些知識的本質依然需要經歷一個較長的過程。從這個意義上說，教學處于內容領域、知識序列起點位置的核心知識，應該拉長知識創生的過程，讓學生充滿好奇、由外而內地走進數學，滿足創造的欲望，體驗創造的快樂，增強學習的獲得感。

這里以四年級下冊“用數對確定位置”一課建構“數對”概念、初步理解“數對”含義的環節為例。

創設學生熟悉的生活情境，引導學生通過觀察，用一個合適的序數描述小軍站立的位置：

師：課間活動時，幾個同學站成一排打太極（見圖1）。小軍在什么位置？

生1：小軍在第5個。

生2：從左往右數，小軍在第5個。（點評：也可以說成“小軍在左起第5個。”）

生3：小軍在倒數第2個。

生4：小軍在右起第2個。

師：看來，我們可以用表示次序的數準確描述小軍所在的位置。

接著，呈現例題場景圖（見圖2），引導學生觀察、思考、表達：

師：上課了，小軍坐在什么位置？

生1：小軍坐在第4組第3個。

生2：小軍坐在第4豎排倒數第3個。

生3：小軍坐在右起第3組第3個。

生4：小軍坐在第3橫排第4個。

……

師：如果沒有圖，這樣描述小軍的位置有什么缺點？你有什么好的建議？

在學生強烈感受到統一表達的需要時，教師結合學生已有的經驗，簡要介紹“列”和“行”的含義，以及確定第幾列、第幾行的規則，再讓學生指出場景圖中某一列或某一行。

師：現在，請你介紹一下小軍坐在哪里。

生1：小軍坐在第4列第3行。

生2：小軍坐在第3行第4列。

在學生再次感受到需要統一表達時，教師介紹數學規定，并要求學生規范表達。同時，讓學生在圖上指出具體的“第幾列第幾行”所在的位置。

在此基礎上，教師啟發學生對座位的場景加以抽象，將場景圖變為平面圖，讓學生體會到符號表征的簡潔，進而再啟發學生用更簡潔的方法來表示小軍在二維空間的位置。

師：能不能用更簡潔的方法來表示小軍的位置呢？（留時間讓學生想一想）比如，能不能用有次序的數來表示？如果能，這樣的數有什么特點？ 先想一想，再在作業紙上寫一寫。

在呈現、討論、比較多種形式的表示方法之后，學生已經充分認識到精準描述二維平面空間中物體的位置，需要用兩個表示次序的數分別對應“列”和“行”兩個要素，此時距離用有序數對“（4，3）”表示小軍的位置就僅剩一步之遙了。

我們尊重并利用學生頭腦中已有的關于表示物體位置，尤其是物體次序的背景知識和生活經驗，讓他們經歷多次認知沖突，逐步認識到根據各自經驗和習慣來描述物體的位置容易引起歧義，進而產生統一、規范表達的需求，體驗由多元表達走向統一表達的必要性，并為后續感悟數對中兩個數的順序埋下伏筆。隨著“用更簡潔的方法來表示小軍的位置”這一要求的提出，基于先前經驗的遷移和豐富材料的比較，一個新的數學知識“數對”以及用數對表示二維平面空間物體位置的方法的出現便水到渠成。

在知識爆炸的“互聯網+”時代，創新和創造是造成人與人之間巨大差異的關鍵因子，且每一個人都可能成為知識的創生者和貢獻者。站在人的發展的高度來看，數學教育理應重視培養學生的創新意識、創新習慣和創新能力，并逐漸使之成為一種自覺的行動。具體教學中，我們不能簡單講授、依賴大量練習鞏固、憑借記憶套用關于“是什么”的靜態知識，而應該創設一個在解決實際問題、解釋生活現象、交流各自觀點時容易產生認識分歧和認知沖突的真實情境，拉長學生經歷類似科學探究的“再發現”“再創造”的過程，讓學生在弄清“為什么”的基礎上發現“客觀性知識”，發明“主觀性知識”。我們應該追本溯源，借鑒數學發展的歷史，遵循人類認識世界的一般規律，解構課程、教材中靜態呈現的知識，將其設計成具有情境性、問題性、探索性、體驗性的學習活動，重建課堂教學流程，讓學生充分參與和深度卷入學習過程，進而基于各自的生活經驗、背景知識、思考習慣、認知方式，“創造”出能夠表征個體獨特心理意義的知識，再通過合情推理、猜想驗證、查閱資料、比較優化、交流互動，建構客觀、精準的數學知識。長期通過“創造”知識進行數學學習，學生在遭遇困難時就不會無所適從，而是會憑借思維慣性創生新的知識、新的工具、新的方法去探索和嘗試解決問題。

二、精細加工，拉長知識體驗的過程

不可否認，練習是將知識轉化為技能的橋梁，加大練習量可在短期內提高學生的學業成績。也許是受這種思維的影響，相當一部分教師常常在快速揭示新知之后，便開始組織大容量、高密度、多層次的練習，以鞏固新知，記憶新知，提高熟練程度。事實上，像這樣缺少對知識進行精細加工的做法，會弱化所學知識與真實情境、與現實生活、與已有經驗、與其他知識之間的聯系，導致學生產生迷思和錯誤，這是造成知識的長時記憶、深度理解、靈活應用出現困難與障礙的根源所在。教學中，應該重視對新知進行精細加工，賦予其豐富的心理意義。

這里以四年級下冊“用數對確定位置”一課中用“數對”表示二維平面空間中物體位置的環節為例。

在經歷由多元表達走向統一表達，由文字表達到數學表達，建立起“數對”的概念之后，教師引導學生進一步理解數對的含義，初步學會用數對表示物體的位置。

師：小軍的位置用（4，3）表示，這個數對表示什么意思？

生：（4，3）表示第4列第3行。

師：想一想，第3列第4行的位置怎樣用數對表示？

生：用（3，4）表示。

師：（指著兩個數對）都是用4和3兩個數表示，為什么（4，3）和（3，4）表示的位置不一樣？有什么需要提醒同學的？

在學生認識到數對的兩個數分別對應著“列”和“行”兩個要素，建立數對與物體位置的一一對應關系之后，進一步走向縱深——

師：如果今天來了幾位老師聽課，坐在第1列的左邊，可以第幾列表示？怎樣用數對表示幾位聽課老師的位置？（見圖3）先想一想，再在組內交流。

在經歷了短暫的沉寂、爭辯之后，學生給出了結論——

生1：聽課的老師可以用第0列表示。

生2：我有補充。在直尺上，1的前面一個數是0，所以聽課老師的位置在第0列。

生3：（從前往后指著說）第一位聽課老師的位置用數對表示是（0，1）……

師：學了知識會用，了不起。想一想，我（上課老師）所在的位置是第幾行？怎樣用數對表示我的位置？

生：你的位置在第0行，可以用（3，0）表示。

師：這時又來了一位聽課老師，就坐在剛才第一位聽課老師的前面（在平面圖上同步呈現），他的位置怎樣用數對表示？

在學生會用（0，0）表示最后一位聽課老師的位置之后，引導學生進一步討論不確定數對——

師：小芳的位置用（ 3 ， □ ）表示，她坐在哪一個位置？小明的位置用（ □ ， 3 ）表示，他坐在哪一個位置？先看圖想一想，再在組內交流。

生1：小芳可能坐在第3列的每一個位置，小明可能坐在第3行的每一個位置，不能確定坐在哪一個位置上。

生2：我有不同意見。小明不能坐在第4列第3行的位置，那是小軍的位置。

師：觀察真仔細！這樣看來，用一個數能確定一個人所在平面中的位置嗎？

……

從上面可以看出，教學沒有止于學生了解（4，3）的含義，初步學會用有序數對表示物體的位置，而是對直觀平面圖的價值進行深度挖掘，引導學生一步一步走向縱深。教學中，通過比較，讓學生認識到數對中的兩個數具有特定的含義，前后順序不能顛倒，感悟到表示同一行或同一列的特殊數對的特征；通過聯系生活現實，讓學生理解第0列、第0行的合理性，巧妙滲透原點的含義，初步感悟直角坐標系的原型；通過想象，讓學生能夠根據“數對”判斷對應位置的物體，進一步認識不確定的數對，從而幫助學生體會唯一性，建立數對與物體位置之間的一一對應關系，獲得精確認知和深度理解。

眾所周知，學習最重要的任務之一，就是把握知識的本質，建立知識之間的關聯，形成良好的認知結構。這就為知識的精細加工指明了方向。我們知道，碎片呈現、淺層感知、機械記憶獲得的知識，很容易受到干擾和擠壓而更快遺忘。在“提質減量”、培育素養的背景下，我們可以從這樣幾個方面對核心知識進行精細加工：一是從深度和廣度兩個層面挖掘核心知識涉及的背景材料、數學思想和日常應用等方面的信息，根據學生的經驗世界解構與重構教學內容，引導學生熟悉承載知識的生活情境，感知包裹知識的具體事實，把握豐富多變的材料細節，從而建立準確的心理表征，獲得對其內涵和本質的實質性理解，感悟知識背后所蘊含的數學思想方法；二是借助同化和順應，依據知識本質、邏輯關系、數學思想和思維方法的一致性，引導學生學會縱向拓展和橫向延伸，建立所學知識與其他知識之間多維度、多層次的聯結，優化知識體系和認知結構，增強認知結構的生長活力和吸附能力，讓學生的學習知其然也知其所以然，知道知識的來龍去脈和縱橫聯系。這樣教學，學生獲得的知識飽滿而清晰，活躍度高，遷移性強，同時獲得的還有透過現象概括本質、通過局部推斷整體、借助已知探索未知的思維方式，提升觀察和比較、抽象和概括、分析和推理、想象和質疑等能力，增強關聯性和系統化思考的意識。

三、長程呼應，拉長知識完善的過程

數學核心知識的學習，學生通常需要在不同時間，從不同視角切入和探索，經歷一個逐步完善、長線建構的過程。教學時，我們不能急于求成，追求一步到位，應該針對教材內容分散編排、由易到難、螺旋上升的特點和兒童在特定發展階段的認知水平，依據知識內在邏輯和數學思想方法的前后一致，立足整體，進行長程設計，力求瞻前顧后，前后呼應，引導學生在知識生長過程中逐步達成階段目標，直至全面理解和正確掌握。

這里繼續以四年級下冊“用數對確定位置”的教學為例。

在這一單元內容教學將結束時，我們可以結合“練習十五”第10題，對先前所學知識進行一次回望和統整。

師：同學們，用數對確定位置在生活中有著比較廣泛的應用。這是一張國際象棋棋盤的示意圖（見圖4）。白王“ ”所在的位置用國際象棋專用的方法可以記錄為“g2”。你知道是怎樣記錄白王位置的嗎？先結合今天所學的知識想一想，再和同桌之間互相說一說。

生1：記錄方法和用數對表示位置的方法差不多。白王在第g列第2行，記為g2 。

生2：白王在第g列第2行，就相當于在第7列第2行。

生3：記錄方法也有一點不一樣，沒有用逗號隔開（列數和行數），也沒有在它們的外側添加括號。

師：都看懂了嗎？棋盤上其他棋子各在什么位置？先說一說，再記錄下來。

生1：黑王“ ”在第d列第7行，記錄為“d7”。

生2：黑車“ ”在第c列第6行，記錄為“c6”。

生3：白兵“ ”在第g列第4行，記錄為“g4”。

師：比較一下這種記錄方法和前兩節課學習的用數對確定位置的方法，它們有什么聯系和區別？

生1：棋盤上的列是用字母表示的，前面所學的列是用數表示的。

生2：字母和數之間沒有逗號，數對的兩個數用逗號隔開了。

生3：記錄棋子位置的方法，左右兩邊沒有添加括號；用數對表示位置的方法，左右兩邊需要添加括號。

生4：這是它們不同的地方。兩種方法也有相同的地方，都是先說列，后說行。

師：哦！兩種方法都要表示出列和行。（指著圖5）棋子的位置在列可以用字母表示，也可以用數字表示（見圖6），還可以將列和行全部用字母來表示。表示平面上物體位置的原理其實是一樣的——都要用兩個數、兩個字母或者兩種符號有序表示。

師：我們以前學過用一個數表示排成一條線的物體位置，最近學了用兩個數來表示平面上物體的位置。回憶一下，生活中有沒有見過三個數或三種符號來記錄位置的例子呢？

生1：我去影院看電影，我的位置在3廳2排8座。

生2：我去聽音樂會，我的位置在2樓3排5座。

生3：我上次在圖書館借書，那本書在第3個書架第4層，左起第1本。

生4：我家住在月安花園1幢5樓03室。

……

師：看來，我們應該根據實際需要，確定選擇幾個數或者字母來表示位置。事實上，數學已經規定了用一個數、兩個數或三個數來確定物體準確位置的具體情況，以減少分歧，方便交流與溝通。后面我們還將繼續學習。

在現實生活中，通過數、字母、符號與物體之間建立一一對應關系來確定其位置的做法較為常見，并有諸多不同的表示形式。在學生理解和掌握用有序數對表示二維平面空間中物體位置的方法之后，我們引導學生將目光重新轉向現實生活，去尋找能體現“用數對確定位置”這一數學模型的典型的、豐富的具體情境和生活素材，解釋日常生活中與之相關的各種現象，學會制定相關規則，解決簡單的實際問題，讓學生在對豐富變式的了解與應用中，把握它們內在的統一性和結構性，以更好地完善關于“確定位置”的知識。從一點拓展開去，學生更容易理解與之相關的其他數學知識，學會從不同角度觀察和思考。

新一輪課程改革以來，我們一直提倡“用教材教，而不是教教材”。從這個角度說，我們應該跳出教材看教材，跳出課堂看課堂，著眼更大的范圍、更廣的空間、更長的時間進行長程設計，著力解決“強調探索、強調過程與教學時間限制”之間的矛盾。具體教學中，我們應該將所學知識置于知識鏈條乃至整個知識體系之中來考慮，處理好局部知識與整體知識、環節目標與課時目標、階段目標與總體目標、當前活動與后續活動的關系，科學地劃分內容板塊，重組教學內容，設定對應目標，設計適切活動。對于初學知識，我們不能無視學生的基礎，超越大多數學生的認知水平，用單元、學段乃至小學階段結束時才應該達到的目標來要求和評價學生。我們應該遵循學生認知發展規律，基于“課程標準”和具體學情，按照知識邏輯生長的線索和節奏，把握好當前知識的教學尺度，緊扣知識的數學實質和通性通法，有效地達成每一個階段目標。同時，立足整體，既關注逆向回顧先前知識，尋找與當前知識的聯系，重視預留生長線索，以便后續學習相關知識時相機激活，實現遷移，從而不斷擴展知識的長度、廣度和深度，增強知識彈性和張力，形成層次清晰、縱橫聯結、空間開放、具有生長力和吸附力的認知結構。這樣的前后呼應，有利于學生在知識生長過程中弄清當前所學知識的來龍去脈以及常用的思維策略，用一條清晰的顯性知識或者隱性數學思想線索串起不同階段、不同領域的數學知識，實現知識的結構化存儲、生長和應用，充分感悟和體驗知識背后蘊藏的數學思想和數學方法，積累豐富的數學活動經驗，促進知識增長、思維生長與生命成長過程同步。

數學教學應該從生活中來，引導學生從生活世界走進充滿神奇與美感的數學世界，也應該重新回到生活中去，引導學生用數學眼光去觀察和審視生活世界，從數學視角去分析和解釋生活現象，借數學工具去探索和解決實際問題。拉長知識的建構過程，就是為了在數學知識和學生經驗的解構與重構中進行更精細、更完整的認知加工，不斷提高學生對于生活世界和數學世界的雙向轉換能力，同時對認知過程和思維結果保持更自覺、更細微的省察與評估，最終通過數學學會思維，學會創造，學會共處，學會改變，促進學生實現真正的發展。

責任編輯：宣麗華