挖掘教材，鏈接高考

任小平

[摘 要] 高考命題體現“植根于教材，來源于課本，著眼于提高”的原則，本文以圓錐曲線的復習為例，引導學生回歸課本，挖掘教材，夯實基礎，深入研究課本典型例題、習題及其引申、演變. 高考圓錐曲線模塊知識點：定義與方程、軌跡、定點、定值、最值、共線等.

[關鍵詞] 教材；挖掘；高考

教育部考試中心姜鋼主任在解讀2017全國高考新修訂考綱的文章中指出：通過“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”四層考查目標；通過“基礎性、綜合性、應用性、創新性”四翼考查要求. 解讀中指出：“必備知識”強調考查學生長期學習的知識儲備中的基礎性、通用性知識，是學生今后進入大學學習以及終身學習所必須掌握的. 高考盡管是選拔性考試，但也至少有60%的基礎題，這些知識絕大部分都在教材上有明確體現.

事實上，其他三個層面及“四翼”的培養與形成有較大一部分取決于學生對教材的學習與掌握程度，無論是全國卷，還是自主命題的省、市卷，各份試卷都特別注重高考與教材的緊密聯系，因而用好教材以及對教材的挖掘至關重要.

在高考備考的學習中對照考綱，用好教材，盡量把“目標”與“要求”的考查用課本例題、習題或變式題這些熟悉的背景呈現給學生，更有利于學生各個方面的能力的培養與形成.

由于高考命題充分體現了“植根于教材，來源于課本，著眼于提高”的原則，本文以圓錐曲線的復習為例，引導學生回歸課本，挖掘教材，夯實基礎，深入研究課本典型例題、習題及其引申、演變，關注高考圓錐曲線模塊知識點：定義與方程、軌跡、定點、定值、最值、共線等在教材的生長點，使高考備考事半功倍.

[?] 橢圓的標準方程

高考重視學科素養的考查，重視學生的概念形成過程，重視學生對概念的理解及通用性知識的考查.

（1）人教A版《選修2-1》第40頁例1：

已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），并且經過點

，

-，求它的標準方程.

課本提出了兩種解決方法：①定義法；②待定系數法.

2013年高考四川理科卷第20題：

已知橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個焦點分別是F1（-1，0），F2（1，0），橢圓C經過點P

，

. 其第一問“求橢圓C的離心率”就是以該例為背景改編而成的.

采用課本的定義法求解如下：2a=

PF1

+

PF2

=+=2，所以a=. 又由已知得c=1，所以橢圓C的離心率e===.

（2）人教A版《選修2-1》習題2.2A組第7題：

如圖1，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點. 線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

人教A版《選修2-1》習題2.3A組第5題與該習題類似. 學生探究后容易求解這兩個問題.

軌跡問題可以優先考慮運用定義法：連接QA，由于l是線段AP的垂直平分線，Q∈l，所以QA=QP. 又OP=OQ+QP=r，從而QO+QA=r.由橢圓的定義可知，點Q的軌跡是橢圓.

2016年高考全國新課標Ⅰ卷第20題：

如圖2，設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. 其第一問“證明EA+EB為定值，并寫出點E的軌跡方程”的生長點就是該習題.

學生在此基礎上容易完成此問題的求解：因為AD=AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以EB=ED，故EA+EB=EA+ED=AD. 又圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，從而AD=4，所以EA+EB=4. 由題設得A（-1，0），B（1，0），AB=2. 由橢圓定義可得點E的軌跡方程為+=1（y≠0）.

[?] 三角形的周長問題

教材部分典型例題、習題及其演變是考試內容的具體化，教材是高考較大一部分中低檔試題的直接來源.

人教A版《選修2-1》“2.2.1橢圓及其標準方程”練習第3題：

已知經過橢圓+=1的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點，F1是橢圓的左焦點. （1）求△AF1B的周長；（2）如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長有變化嗎？為什么？

2012年四川卷理科第15題、2014年全國卷第6題兩試題命制的生長點選擇的就是這題.

2014年全國卷第6題：

已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（ ）

A. +=1 B. +y2=1

C. +=1 D. +=1

2012年四川卷理科15題：

如圖3，橢圓+=1的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A，B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是________.

設F′為橢圓的右焦點，連接AF′，BF′. △FAB的周長=AF+BF+AB=4-AF′+4-BF′+AB=8+AB-（AF′+BF′）≤8.

當直線AB過右焦點F′時“=”成立. 此時AB=3，FF′=2，△FAB的面積為3.

該題進一步還可以演變為：A，B是橢圓+=1上的兩動點，左焦點為F，則△FAB的周長的最大值為_________.

學生用同樣的方法可以得到△FAB的周長的最大值為8.

[?] 位置關系與最值問題

高考是選拔性考試，高考部分試題必須有一定難度，這部分試題大多數也是根據教材的基本內容、基本方法編擬的，只不過是在綜合性和靈活性上提出了較高要求.

（1）人教A版《選修2-1》“2.2.2橢圓的簡單幾何性質”例7：

如圖4，已知橢圓的方程為+=1，直線l：4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點，使它到直線l的距離最小？最小距離是多少？

作出直線l與橢圓（如圖4所示），觀察圖形，可以發現，利用平行于直線l且與橢圓只有一個交點的直線（直線與橢圓相切），可以求得相應的最小距離.

學生根據分析容易提出課本求解方法（判別式法），引導學生繼續探究其他方法. 經過探究后，學生提出用參數法設出橢圓上點M的坐標（5cosφ，3sinφ），表示出M到直線l：4x-5y+40=0的距離d=，然后采用三角函數的輔助角公式可以求出d的最小值.

還可以更進一步探究：一般情況下直線l：Ax+By+P=0與橢圓+=1（a>0，b>0，a≠b）相切時，A，B，P，a，b滿足的關系. 學生分組探究后得到滿足的關系式為：A2a2+B2b2=P2. 這在練習中或考試中解決小題會顯得非常快捷、準確.

如：已知以F1（-2，0），F2（2，0）為焦點的橢圓與直線x+y+4=0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（ ）

A. 3 B. 2

C. 2 D. 4

運用結論可得12a2+（）2b2=42，即a2+3b2=16，又a2-b2=4，從而a2=7，a=，選C.

（2）人教A版《必修2》“3.3.3點到直線的距離”以及人教A版《選修2-1》“2.2.2橢圓的簡單幾何性質”的練習第7題：

經過橢圓+y2=1的左焦點F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點，求AB的長.

2016年全國新課標Ⅰ第20題：

設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. 其中第二問“設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍”.

該問就是將教材知識點交匯后以此為背景綜合改編而成的. 具體求解如下：

當l與x軸不垂直時，設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x-1），

，0

，由后面計算的結果知道該點仍然是（2p，0）.

通過這兩個題目的分析、探究，引導學生改編、演變，適當時提出問題：

已知拋物線y2=2px（p>0）的頂點為O，A，B為其上的兩個動點，當OA⊥OB時，直線AB是否一定過定點（2p，0）？反過來，直線AB過定點（2p，0）時，是否一定有OA⊥OB？

各個學習小組討論、交流，學生給出問題的解決辦法：

設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+t.

由x=my+t，

y2=2px，得y2-2pmy-2pt=0.

所以y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

所以x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=-2ptm2+2pm2t+t2=t2.

因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0.

所以t2-2pt=0，所以t=2p，直線AB的方程為x=my+2p，直線AB過定點（2p，0）.

學生通過課本兩個習題的研究容易得到：

已知拋物線y2=2px（p>0）的頂點為O，A（x1，y1），B（x2，y2）為其上的兩個動點，當OA⊥OB時，直線AB一定過定點（2p，0）；反之，直線AB過定點（2p，0）時，一定有OA⊥OB，且x1x2=4p2，y1y2=-4p2.

事實上，還可以演變、引申出結論：

已知拋物線y2=2px（p>0）的頂點為O，A（x1，y1），B（x2，y2）為其上的兩個動點，當·=-p2時，A，B，M（p，0）三點共線；反之，直線AB過定點M（p，0）時，一定有·=-p2，且x1x2=p2，y1y2=-2p2.

在高考備考中，其他模塊與圓錐曲線模塊的復習一樣，首先研究近些年高考試題的命題導向，找出試題在教材中的生長點；其次，積極引導學生挖掘教材，探究教材試題的改編，把握好教材與高考的鏈接，切實達到高考復習事半功倍的效果.