幾何直觀，讓抽象的數“看得見”

【摘要】幾何直觀是重要的數學思想方法，也是數學素養的重要組成部分。運用幾何直觀，可以幫助學生建構小數和十進分數之間的關聯，直觀地理解數學知識，讓抽象的數“看得見”。教學中，要關注學生的已有經驗，給學生搭建認知的腳手架，引導學生在操作、觀察、比較和歸納等豐富的數學活動中，理解數的含義，發展數學思考，提升學生的數學素養。

【關鍵詞】幾何直觀；抽象；小數的初步認識

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）25-0051-04

【作者簡介】張齊華，南京市北京東路小學（南京，210008）副校長，高級教師，江蘇省數學特級教師。

新課標明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”可見幾何直觀就是依托、利用圖形進行數學的思考和想象，它在本質上是一種通過圖形來展開的想象能力。

對于小學生而言，數無疑是抽象的。如何借助直觀來把握抽象，已是多數教師的共識。比如，認識整數時，我們常借助實物、小棒、點子圖、計數器等，理解整數的意義；認識分數時，我們常借助具體的物體、圖形或計量單位，引導學生在折一折、分一分、涂一涂等具體活動中，感受分數的內涵。相對而言，小數的意義則更抽象，而在日常教學中，我們能夠給學生提供的具體、直觀的支撐也相對貧乏。如何借助具體、直觀的圖形幫助學生在分一分、畫一畫、說一說等數學活動中，建立小數和十進分數之間的聯系，自主建構小數的含義，筆者進行了如下嘗試。

一、分享小數，喚醒已有經驗

師：生活中，你在哪兒見過小數？

生1：我在超市里見過小數。

生2：我在菜場上見過小數。

生3：數學書的背面也有小數。

師：既然見過這么多小數，小數會寫嗎？自己試著寫幾個小數，并試著讀一讀。

學生寫小數、讀數，并全班匯報。

生1：我寫的是0.8、1.2、4.5，這些都是小數。

生2：我寫的是0.3、0.03、0.003，這些也是小數。

生3：我寫的是99.9、3.1415926，這些也是小數。

師：看來，同學們不僅會寫小數，而且還會讀。仔細觀察，這些小數有什么共同特點？

生1：小數都有小數點。

生2：小數都被小數點分成兩部分。

師：小數點左邊的是整數部分，右邊的是小數部分。

生：我發現，小數的整數部分可以是0，也可以是其他整數；數的小數部分，可以只有一個數字，也可以是兩個數字、三個數字甚至好多數字。

師：小數部分只有一個數字的，我們稱它為一位小數；猜猜看，如果有兩個數字，是什么小數？

生1：如果有兩個數字，就是兩位小數；如果有三位數字，就是三位小數。

生2：小數部分有幾個數字，就是幾位小數。

學生對于小數并不陌生，生活中，他們有很多機會接觸到小數。教學中，教師沒有忽視學生的生活經驗，而是通過分享生活中的小數，喚醒學生已有的經驗儲備，進而引導學生自己嘗試著寫一寫、讀一讀小數。通過這樣的活動設計，了解學生的經驗究竟處怎樣的水平，為教師后續實施更精準的教奠定科學的基礎。教學過程中，我們也發現，學生對小數的認識已遠超教材設定的水平，也超出了教師的心理預期——他們不僅能準確地讀寫小數，有些學生甚至能夠寫出兩位小數、多位小數，還有學生甚至對圓周率這樣的特殊小數也有所涉獵。難以想象，如果我們的教學不給學生預留足夠的時間和空間，僅僅基于數學知識的邏輯順序，零起點展開教學，這樣的課堂將屏蔽掉學生很多寶貴的經驗，原本豐富多彩、充滿活力的學習活動將被簡化為非常無趣、呆板的師生問答。這樣的課堂，是我們難以接受的，也是我們需要著力重建的。

二、表征小數，建構數學意義

師：認識小數，我們不能只停留在會寫、會讀小數，還得弄清每個小數具體表示什么含義。老師手中的這把尺子，它的價格是0.3元。你能試著畫一幅圖表示1元，然后在圖中表示出0.3元嗎？

學生獨立嘗試，組內分享后，全班進行匯報。

生1：我畫了一個長方形，用它表示1元，我覺得0.3元就是其中的一小部分。（在長方形中直接分出一小部分，涂色表示0.3元）

生2：我覺得就這樣畫一條線不準確，也許這是0.2元，也許這是0.4元。我覺得應該把這個長方形平均分成10份，然后給其中的3份涂上顏色，這里就是0.3元。

生3：我也覺得應該先把長方形平均分成10份。不過，我畫的是圓，我把圓平均分成10份，然后涂了其中的3份，這就是0.3元。

生4：我畫了一個平行四邊形，也平均分成10份，這3份就是0.3元。

生5：我畫的是一條線段，我把它平均分成10段，這3段就是0.3元。

師：觀察后面幾位同學的作品，選擇的圖形不同，分的方法也不一樣，但在表示0.3元時，有沒有相同的地方？

生5：他們都把一個圖形平均分成10份，表示了其中的3份。

師：為什么要平均分成10份？

生1：因為1元等于10角。

生2：因為1元等于10角，平均分成10份后，每一份是1角，也就是0.1元，3份是3角，也就是0.3元。

生3：因為0.3元就是3角，把1元平均分成10份，其中的3份就是3角，也就是0.3元。

結合學生的交流，教師引導得出：0.3元=3角=元。

在數學中，為了能讓小數系統和整數系統統一起來，教師更多選擇以告知的方式，幫助學生在十進分數和小數之間建立聯系，進而借助十進分數理解小數的含義。在筆者看來，這樣的教學符合數學發展的基本規律，但卻忽視了學生的已有經驗。事實上，學生不僅在生活中經常見到小數，而且他們對于0.3元就表示3角、6.25元就表示6元2角5分，以及1.3米就表示1米3分米等，都已經積累了豐富的經驗。這些經驗的存在，對于學生如何在小數和十進分數之間建立聯系，具有舉足輕重的作用。實踐證明，這樣的聯系，學生是完全可以憑借經驗儲備，自主建構起來的。因而，上述教學，教師選擇以任務驅動的方式，引導學生用圖形表示1元，進而在圖形中表征0.3元。這樣的數學活動和任務設計，雖然不是每個學生都能夠準確完成的，但是，不同學生所呈現出的不同表征水平、不同理解，恰恰為后續的生生對話提供了豐富的教學資源和契機。0.3元的含義就是在這樣自主建構、生生互動、相互碰撞、歸納概括的基礎上得以自我實現的。在筆者看來，這就是有意義的學習，也是充滿創造力的學習。

三、比較概括，抽象數學理解

師：如果我們把這個長方形看作1米，涂色的這3份又表示多少？為什么？

生：我覺得可以表示0.3米，因為把1米平均分成10份，每份是3分米，也就是0.3米。

師：除了把長方形看作1米，我們還可以把長方形看作什么？相應的，涂色部分又可以表示多少？

生1：我們還可以把長方形看作1分米，那么涂色部分就可以表示0.3分米。

生2：我們還可以把長方形看作1角，那么涂色部分就可以表示0.3角。

生3：我們還可以把長方形看作1天，那么涂色部分就可以表示0.3天。

生4：我反對，我覺得不能把長方形看作1天，因為1天不能平均分成10份。

生5：我覺得1天能平均分成10份，但平均分成10份后，每一份不知道是多少，所以，我也覺得不能把長方形看作1天。

師：看來，重要的不是平均分成10份后，每一份是多少，而是這樣的1份或幾份，我們可以用十分之一或十分之幾來表示，而十分之幾就可以表示為零點幾。

生1：如果這樣的話，我們還可以把長方形看作1千克，那么涂色部分就可以表示0.3千克。

生2：我們還可以把長方形看作1塊黑板，那么涂色部分就可以表示0.3塊黑板。

生3：我們還可以把長方形看作1支鉛筆，那么涂色部分就可以表示0.3支鉛筆。

師：現在，如果我們把所有單位都去掉，就把這個長方形看作1，那么，涂色部分又表示多少？為什么？

師：想一想，在這幅作品中，除了0.3這個小數外，你還可以表示出哪一個小數？怎么表示？

生1：我覺得還可以表示0.5，只要再涂上2份。

生2：我覺得還可以表示1.0，只要再涂上7份。

生3：我覺得1.0其實就是1，因為全部涂滿后，就是1個完整的長方形。

生4：我覺得如果再在長方形后面添上這樣1小份，就可以表示1.1了。

師：你覺得，第一個長方形還需要平均分成10份嗎？

生1：我覺得不需要，只要是一個完整的長方形就可以了。

生2：我覺得，如果平均分成10份也沒有關系，而且，這樣我們還能夠發現，1.1里面其實就有11個0.1。

生3：我還發現，1.1里面的兩個1表示的意思是不一樣的，前面這個1表示1個一，后面這個1表示1個0.1。

生4：我覺得，前面這個1是后面這個1的10倍。

師：現在，如果我們把這個數增加到111.1，你又覺得這四個1之間有怎樣的關系？

生：我發現，前面的1總是后面的1的10倍，后面的1滿了10個就變成了前面的1。

師：能具體說明一下嗎？

生1：比如，第一個1表示1個百，第二個1表示1個十，1個百是1個十的10倍。后面也是一樣的。

生2：我發現，整數里的滿十進一的規則，在小數里也是同樣適用的。

師：你的發現非常了不起！有了滿十進一的統一規則，小數就和整數建立起統一的關系。除了1.1，你還能表示別的小數嗎？

生1：我覺得還可以表示2.3，只要拿2個這樣的長方形，然后再加上3小份。當然，這2個長方形不用平均分成10份，它就表示2。

生2：我覺得還可以表示9.9，只要用9個完整的長方形，加上1個長方形的。

認識小數，從帶單位的具體數量入手，最后還要回歸到抽象的數。這樣，才算是完成了對小數含義的基本把握。然而，這一過程對學生來說是相當困難的，教師需要精心設計教學活動、組織學習素材，引導學生在大量感性活動、直觀經驗的基礎上，通過觀察、比較、歸納、概括，最終建構起對小數含義的數學理解。上述教學中，教師通過不斷地假設，引導學生變換對“單位1”的理解，在不斷變換的過程中感受到，選擇什么單位名稱并不重要，只要把一個對象平均分成10份，其中的3份就可以表示為0.3。這樣的教學設計，既遵循了學生認識數學對象的基本規律，同時也觀照了數學核心素養中抽象能力的培養，發展了學生的數學思考。

四、拓展延伸，嘗試建立模型

師：今天我們研究的小數，有什么共同特點？

生1：我們研究的都是一位小數。

生2：我們研究的小數都可以表示成十分之幾，或十分之幾和一個整數的和。

師：生活中，還有很多不是一位小數的小數，就以張老師的身高為例，1.72米，如果還是用長方形表示1米，那么，1.72米又該如何表示呢？

學生獨立思考，然后小組熱烈討論，全班匯報。

生1：我覺得一位小數表示十分之幾，我猜兩位小數就應該表示百分之幾，所以，我們只要用1個完整的長方形表示1米，然后再拿出1個完整的長方形，把它平均分成100份，取其中的72份，就是米，也就是0.72米。合起來就是1.72米。

生2：我覺得不用這么麻煩，剛才我們已經知道1.7米該怎么表示了。現以，它的后面又多了一個2，我們知道，這個2表示的是2厘米，所以，我們只要把1.7米后面的這個0.1再平均分成10份，取其中的2份，這樣就是1.72米了。

生3：我覺得1.72米表示1米7分米2厘米。1米就是1個完整的長方形，7分米就是把1個長方形平均分成10份，取其中的7份；2厘米就是把剛才的1小份，也就是1分米再平均分成10份，取其中的2小份。合起來，就是1.72米了。（邊描述，并在長方形中表示了出來）

生4：我懂了，如果是1.725米，我們就只要把1.72米后面最小的1份再平均分成10份，然后取其中的5份。（邊描述，邊在長方形中表示了出來，但已經看不太清楚了）

生5：我發現了，小數就是這樣不斷地往下分出來的。

生6：我補充，小數在分的過程中，每次都要平均分成10份。比如，一位小數就是平均分成10份；兩位小數，就是把前面分好的1小份再平均分成10份；三位小數，就是把前面分好的1小份再平均分成10份。這樣10份、10份地不斷分下去，我們就可以得到三位小數、四位小數和更多位的小數。

生7：我聽說過圓周率，它是一個無限小數，3.1415926……我現在知道該怎么表示它了，只要10份、10份地不斷分下去，就能得到這個小數。

師：通過剛才的分享，大家都認識到，原來小數本質上就是把1這個數10份、10份地不斷分出來的。再回頭看看整數，整數又是把1怎樣得出來的？

生：我知道了，其實整數和小數是一樣的！只要我們把它們連在一起，從前往后看，都是化一當十；從后往前看，其實都是滿十進一。

從一位小數拓展為兩位小數，我們欣喜地發現了學生思維所呈現出的可貴的遷移能力與創造性。更重要的是，通過這樣的拓展與延伸，學生有機會從結構的角度思考小數的意義，把握小數不斷十等分的特點，并與整數之間建立起實質性關聯。此時，學生頭腦中的小數不再是一種孤立的數，它與整數有著本質上的一致性，它已經融入了學生原有的知識結構，并使學生的知識結構得到了有效的拓展和升華。

綜觀整個教學過程，教師把握學生真實的學習起點，遵循學生認數的基本規律，以任務驅動的方式，引導學生借助直觀圖，個性化地表征小數的含義，并在交流、對話、溝通的過程中不斷求同存異，抽象概括，最終建構起對小數含義的理解。在這一過程中，幾何直觀發揮了重要的作用，而抽象、推理、模型等數學核心素養也得到了有效的關注與滲透。