探究2016年江蘇高考填空壓軸題解謝

淇尤裕法

摘要：2016年江蘇數學高考其中填空題第13題的向量問題需要觀察出幾個向量之間的線性關系，充分利用中點，對平面向量的線性運算要求較高；第14題重點在于利用三角形中三個角的關系，發現△ABC的性質，再利用函數思想求解最值，對三角函數的綜合要求較高.本文主要從不同的角度對這兩個題目進行剖析，每題都給出了5種不同的解題方法

關鍵詞：江蘇高考；填空題；解題方法

例1（13題）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，BA·CA=4，BF·CF=-1，則BE·CE的值是

解題思路本題考查向量的運算，考查學生的運算求解能力.用基底表示其它向量是解答本題的關鍵，與此同時建立直角坐標系同樣可以簡潔有效的解答本題.

解法1 ∵BA·CA=4，

∴（BD+3DF）（CD+3DF）=4，

即BD·CD+9DF2=4，

又∵BF·CF=-1，

∴（BD+DF）（CD+DF）=-1，

即BD·CD+DF2=-1

∴BD·CD=-138，DF2=58，

∴BE·CE=（BD+2DF）（CD+2DF）=BD·CD+4DF2=78

解法2由BA·CA=（BE+EA）（CE+EA）=BE·CE+BE·EA·CE+EA2=4，①

BF·CF=（BE+EF）（CE+EF）=BE·CE+BE·EF+EF·CE+EF2=-1，②

∴①+②=2BE·CE+2EF2=3，

∵E，F是AD上的兩個三等分點，∴EF2=DF2，

由（法一）可知DF2=58，即EF2=58，

∴2BE·CE=3-54=74，則BE·CE=78

解法3BA·CA=（12BC-AD）·（-12BC-AD）=4AD2-BC24=36FD2-BC24=4，

BF·CF=（12BC-13AD）·（-12BC-13AD）=4FD2-BC24=-1，FD2=58 ，BC2=132.

BE·CE=（12BC-ED）·（-12BC-ED）=4ED2-BC24=16FD2-BC24 =78 .

解法4設DF=a→，DB=b，則DC=-b→，DE=2a→，DA=3a→

由題BA=3a→-b→，CA=3a→+b→，BE=2a→-b→，CE=2a→+b→，BF=a→-b→，CF=a→+b→，

則BA·CA=9a→2-b→2=4，BF·CF=a→2-b→2=-1，

所以可得a→2=58，b→2=138，

則BE·CE→=4a→2-b→2=78

以D為原點，BC邊所在的直線為x軸，BC的垂線為y軸建立直角坐標系（如圖2）.

設B點坐標為（-a，0），C點坐標為（a，0），A點坐標為（b，c），

∴BA=（b+a，c），CA=（b-a，c），

BF=b3+a，c，

CF=b3-a，c，

由BA·CA=4，BF·CF=-1可得b2+c2-a2=4，b29+c29-a2=-1，

解得b2+c2=458，a2=138，

∴BE·CE=4b29+4c29-a2=78

解法5特殊法：將△ABC看成以BC為底，AB、AC為腰的等腰三角形來進行求解（如圖3）

解后反思求解平面向量的有關問題，通常有兩種處理方法：一是選擇兩個不共線的向量作為基底，通過將所有的向量轉化為基底的方法來加以處理；二是通過建立直角坐標系，轉化為向量的坐標運算來加以解決.一般情況下，運用向量的坐標運算時可操作性強，而運用向量的基底時對思維的要求較高.

例2（14題）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是

解題思路本題考查三角恒等變換、基本不等式的應用、導數的運用，考查考生對等價轉化思想的應用.我們可以發現本題所研究的對象為角的正切形式，為此，將條件轉化為所要研究的角的正切，可以通過應用消元法或直接應用基本不等式來求最值.此外，我們還可以應用“切化弦”的方式，將切轉化為我們熟悉的弦來加以解決.在求最值的時候，基本不等式、導數無疑是不錯的選擇.在利用基本不等式求解最值時，要注意“一正二定三相等”條件的檢驗.

解法1由sinA=2sinBsinC，可得sin（B+C）=2sinBsinC，即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

兩邊同除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，

又∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

∴tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥

22tanAtanBtanC，

（當且僅當tanA=4，

tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2時取等號）

∴tanAtanBtanC≥8

解法2

tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC

=-tanB+tanC1-tanBtanC+2tanBtanC

=2tanBtanCtanBtanC-1+2tanBtanC

令tanBtanC=t，

則tanAtanBtanC=2tt-1+2t=2t-1+2（t-1）+4≥8

（當且僅當tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2時取等號）

解法3由（法二）可知

tanAtanBtanC=2（tanBtanC）2tanBtanC-1，

令tanBtanC=t，則tanAtanBtanC=2t2t-1，

令f（t）=2t2t-1，則f ′（t）=4t（t-1）-2t2（t-1）2

=2t2-4t（t-1）2，

令f ′（t）=0，解得t=0（舍）或t=2，

易知t=2時函數f（t）取到最小值，即f（t）min=8

解法4由sinA=2sinBsinC，可得sin（B+C）=2sinBsinC，

即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

則sinBcosC=sinC（2sinB-cosB），

即sinB2sinB-cosB=sinCcosC，12-1tanB=tanC，

∴2-1tanB=1tanC，即1tanB+1tanC=2

設tanB=b，tanC=c，則1b+1c=2，b+c=2bc，

tanA=-tan（B+C）=2tanBtanCtanBtanC-1=b+cbc-1，

∴原式=b+cbc-1·b·c=bc（b+c）bc-1=2（bc）2bc-1=21bc-1bc2=2-1bc-122+14≥8

（最后一步亦可以這樣處理：原式=b+cbc-1·b·c=bc（b+c）bc-1=2（bc）2bc-1，令bc-1=t，則bc=t+1，則原式可化為2（t+1）2t=4+2t+2t≥4+2t+2t=8（當且僅當tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2時取等號））

解法5∵tanAtanBtanC=sinAsinBsinCcosAcosBcosC，

又∵sinA=2sinBsinC，

∴tanAtanBtanC=sin2A2cosAcosBcosC，

又∵cosA=sinBsinC=cosBcosC，

∴cosBcosC=sinBsinC-cosA=12sinA-cosA

故tanAtanBtanC=sin2A2cosA12sinA-cosA

=tan2AtanA-2

=（tanA-2）+4tanA-2+4

≥24+4=8

（因為△ABC為銳角三角形，所以tanAtanBtanC>0，故tanA-2>0），當且僅當tanA=4時取等號，故tanAtanBtanC的最小值為8

解后反思本題的關鍵在于如何進行消元，這是解決多變元問題要認真思考的.

以上就是我對2016江蘇數學高考13、14題的一些解法的研究，英國著名數學家懷特海在《教育的目的》一書中提出：在處理數學問題時，你的結果越具體越好，而涉及方法時，則是越一般越好.推理的基本過程是將特殊的東西一般化，將一般的東西特殊化，沒有一般化就沒有推理，沒有具體化則毫無意義.所以在平時的學習過程當中，很多題目都可以用多種方法進行求解，這就要求我們要善于總結思考，找到最簡單的方式去解答題目.

參考文獻：

[1]陽漢軍 2016年高考四川卷解析幾何壓軸題的求解視角[J]中學生數理化，2016（8）：35

[2] 華騰祥2016試卷分析[J]學苑教育，2016（12）68