亦說換元作用

周沁人

摘要：換元在解決方程、不等式、函數與數列及三角中有廣泛的應用，其作用可以將問題簡單化，本文列舉的例子是將問題轉化為函數形式來解決.

關鍵詞：換元；聯系；轉化；函數

換元法是高中數學中的重要方法，在研究方程、不等式、函數、數列和三角等方面有著廣泛的應用，但是我們在實際解題中往往由于換元方法的不適當，則會無從下手，下面我們不妨來認識一下換元法：

一、利用換元簡化運算

例1如圖1，過坐標原點的直線交橢圓x24+y22=1于P、A兩點，其中點P在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B，求證：PA⊥PB.

分析本題可采用換元法，即設直線PA的方程，再代入橢圓方程，這樣化簡求解比較簡單.

解設直線PA的斜率為k，將直線PA的方程y=kx代入x24+y22=1得到x=±21+2k2，記u=21+2k2，則點P（u，uk），A（-u，-uk），C（u，0）.

則直線AB的斜率為0+uku+u=k2，直線AB的方程為y=k2（x-u），代入橢圓方程，得到

（2+k2）x2-2uk2x+k2u2-8=0，解得x=u（3k2+2）2+k2，或者x=-u，可得到點Bu（3k2+22+k2），uk32+k2，得到直線PB的斜率為k1=uk32+k2-uku（3k2+2）2+k2-u=-1k，

因此得到k1k2=01，也即PA⊥PB.

點評換元法在某種程度上往往能夠簡化運算，降低問題的難度.

二、利用換元將條件和結論聯系起來

例2已知x24+y2=1，求x2+4xy+4y2+x+2y+1的取值范圍.

分析條件的形式使我們代入消元出現困難，但從平方和等于1的特點聯想到三角函數的性質，則可以采用三角換元，則問題可迅速解決.

解由x24+y2=1，則可設x=2cosθ，y=sinθ，則x+2y=2cosθ+2sinθ=22sin（θ+45°），

再設x+2y=t，則t∈-22，22，則x2+4xy+4y2+x+2y+1=t2+t+1=t+122+34，

∵t∈-22，22， ∴t+122+34∈34，9+22，

因此x2+4xy+4y2+x+2y+1的取值范圍為34，9+22.

點評本題的解決方法比較多，但通過換元將問題轉化為一元二次函數則問題就比較容易解決.

三、利用換元將問題轉化為熟悉的函數形式

例3在直角坐標系xOy中，設定點A（a，a）是函數y=1x（x>0）圖像上一動點，若點P、A之間的最短距離為22，求滿足條件的實數a的所有值.

分析本題若用導數來求解，但是求不出極值點，而通過換元法將問題轉化為一個簡單的一元二次函數問題.

解設點Px，1x，則PA2=（x-a）2+1x-a2=x2+1x2-2ax+1x+2a2，

可令t=x+1x，則PA2=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2，由x>0，知道t≥2；

若a≤2，則當t=2時，PA2取得最小值，則有（2-a）2+a2-2=8，求得a=-1，a=3舍去；

若a>2，則當t=a時，PA2取得最小值，從而有a2-2=8，可解得a=10，a=-10舍去，則可知道滿足條件的實數a的所有值為10、-1.

點評換元法重要的作用是把一個復雜的函數轉化為熟悉的簡單函數來求解，則問題就可迎刃而解.

四、利用換元將多元函數轉化為一元函數

例4設a∈R，函數f（x）=lnx-ax，設A（x1，y1）、B（x2，y2）是函數g（x）=f（x）+ax圖像上任意不同的兩點，線段AB的中點為C（x0，y0），直線AB的斜率為k，求證：k>g′（x0）.

分析本題可將問題轉化為分式函數的單調性問題來求解.

證明k=y2-y1x2-x1-lnx2-lnx1x2-x1，而x0=x1+x22，

由于g（x）=lnx，則g′（x0）=1x0=2x1+x2，所以要證明k>g′（x0），

則只需要證明lnx2-lnx1x2-x1>x1+x22，不妨設02（x2-x1）x1+x2，

即證明lnx2x1>2x2x1-1x2x1+1，可設t=x2x1>1，則需要證明lnt>2（t-1）t+1=2-4t+1，

即證明lnt+4t+1-2>0（t>1）.

設h（x）=lnt+4t+1-2（t>1），則h′（x）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t（t+1）2>0.

所以h（x）在（1，+∞）上單調遞增，則h（x）>h（1）=0，因此lnt+4t+1-2>0成立，則k>g′（x0）成立.

點評本題是導數中常見的問題，可先將不等式轉化為一個齊次分式或齊次分式與基本初等函數的復合形式，再設t=x2x1，則可將其化為關于t的一元函數.

換元法能夠將問題簡單化，且能通過換元使問題明了化，清晰化.