以《組合與組合數公式》的教學實例談課堂問題設置對學生數學核心素養的培養

王曉華

【摘要】隨著科學技術迅猛發展，21世紀對人才基本能力的要求，教育部《普通高中數學課程標準》，提出中國學生在數學學習中應培養好數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養。以前有的老師為了趕進度，在平時教學中滿堂灌，直接告訴學生知道公式，會套公式做題。有經驗的教師在教學過程中常常以精心設計的提問啟迪學生的思維，激發他們的求知欲，促使他們參與學習，幫助他們理解和應用知識。下面以我所上的《組合與組合數》一課為例談一下我的問題設置。

【關鍵詞】數學核心素養 數學課堂 提問

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）20-0121-01

《組合與組合數公式》的教學目的是：1.理解組合的定義以及組合與排列的不同。2.掌握組合數公式以及組合數性質，能利用組合數進行熟練的計算。

一、問題的提出考慮學生的認知基礎

學生已經學了排列的內容，在這個基礎上設計：

1.復習提問：排列的定義以及排列數的計算公式和化簡公式。為組合的定義和組合數公式打基礎。

2.引入對比提問：（置境階段）

問題1：（1）從甲、乙、丙三名同學中選出兩名參加一項活動，有多少種選法？生：有3種。甲乙，甲丙，乙丙。

問題2：（2）從甲、乙、丙三名同學中選出兩名，參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名參加下午的活動，有多少種選法？

生：有6種，A32=6.分別是甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙。

問題3：這兩個問題有什么區別？

生：一個無序一個有序。

從而引出組合的定義，以及排列和組合不同。

問題4：并通過下面問題鞏固：下列問題哪些是排列問題？哪些是組合問題？

（1）10個人互相寫一封信，共寫多少封信？

（2）10個人互相通一電話，共通了多少次電話？

（3）10個人中選三個人去開會，共有多少種選法？

（4）10個人中選三個選語數外三個科的課代表，共有多少種選法？

二、通過巧妙的提問方式使學生進入問題情境：推導組合數公式及性質

問題5：設計思考：你能說說排列與組合的聯系與區別嗎？

生：共同點： 都要“從n個不同元素中任取m個元素”

不同點：排列與元素的順序有關， 而組合則與元素的順序無關。

聯系：排列可看作“選先后排”兩個步驟，也就是說組合可以看作是排列的一個步驟。

問題6：從n個不同的元素中任意選出m個元素，并把m個元素排成一排，共可得到多少排法？

生：第1步，先求出從這n 個不同元素中取出m 個元素，有C 種。

第2步，求每一個組合中m 個元素的全排列數A 。 根據分步計數原理，得到：A =C ·A

C = =

三、引導提出要有助于培養學生的自學能力的問題

問題7：計算下列各式，并發現其中的規律：（誘發階段）

（1）C = C =

（2）C = C =

（3）C + C C =

（4）C + C C =

生：從1，2可以歸納出規律一：C =C ，并能解釋。

規律二：學生能猜出C +C =C ，但不確定也不知道該怎么解釋？

置疑階段：布魯巴克是這樣說的“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則是讓學生自己提出問題。

問題8：規律二對所有的n，m是否都成立，能否給出證明？

學生討論后給出結果：能證明。并讓學生上黑板板書證明過程。

問題9：這條性質怎么解釋呢？有什么意義呢？解決這個問題之前。

先請同學們回答下面的三個問題：

從n+1個元素中任選m個元素

（1）有多少種不同的選法？

（2）若甲一定被選中，有多少種不同的選法？

（3）若甲不被選中，有多少種不同的選法？

生：（1）C （2）C （3）C

生：恍然大悟：C =C +C

通過對一連串的問題的回答，學生在不知不覺中自己就推導出了組合數公式及其性質。

問題10：（評核階段）通過以下練習鞏固這兩條性質：

（1）解方程：C =C

（2）已知C -C =C ，求x的值。

（3）C +C +C = C +C +C +…+C =

（4）計算（C +C ）÷A

規律總結：利用組合數公式求和時，注意C =C +C 的應用，特別留意兩個式子上標差1，下標相同時。

問題11：在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產品中任意抽出3件，

（1）有多少種不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

本節課通過問題的引導，層層推進，將問題的分析與解決都歸結為學生已有的知識上。整個過程水到渠成， 課堂教學提問的設計技巧，課上看似隨機應變，實際上功夫的“課堂”外。它要求教師既備教材、教法，又要備學生，是教師認真學習教育科學理論，按照教學規律不斷改進課堂教學的結果。

參考文獻：

[1]王德勛.教師怎樣把握“課堂提問”的時機[J].人民教育 2007