小學生數學學習中感性思考的理性分析和應對

周育儉

摘要：小學生受認知心理水平的限制，在數學學習中經常會先以感性思考的方式來面對學習內容和學習情境，而教師應對這樣的感性思考往往比較消極，這不利于學生數學學習的發展。小學生數學學習中感性思考的發生存在著必然性，它能體現學生的學習自主性和經驗積累、運用的情況。運用等候、傾聽、激發等智慧，積極應對學生的感性思考有助于教師真實把握學生的學習狀態，改進自己的教學，實現教學的優化。

關鍵詞：小學數學；感性思考；理性應對

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）02A-0100-06

抽象是數學最主要的特征，數學知識又多是抽象思維的產物，因此教師總是希望學生在數學學習中的思考更具邏輯性，也就是思考多一點合理性與嚴密性，多一點清晰性與條理性，這就是所謂理性地思考。這樣的要求與希望無可厚非，理性思考也是學生最終達成數學知識理解與掌握的必由之路。但當我們置身于小學生數學學習的現場，不難發現最初左右學生數學學習的卻是那些非理性的思考，是學生面對學習對象時大腦的直覺化加工，這樣的加工受小學生心智水平的限制，體現在表達上就是淺顯和片面的認知和比較快速的直接反應，其內容也主要集中于形象地再現，我們可以把這樣的思考叫做感性思考。

小學生在數學學習中的感性思考往往得不到教師的足夠尊重和重視，教師或在教學設計時就試圖避免學生感性思考的產生，或在感性思考實際發生時視而不見，讓學生重新思考……如此消極的教學應對不能有效促進學生的自主學習和有效發展。本文基于對學生真實學習現場的分析研究，整理小學生數學學習中感性思考產生的原因以及內在的教學意義，以期探尋正確的應對措施，讓感性思考幫助教師改進教學，更好地促進小學生數學學習素質的發展。

一、感性思考的自然發生

（一）形象的直接感知——感性思考發生的外在條件

數學知識來源于生活又高于生活，是對現實世界的抽象概括和無限遐想的結果。數學知識在產生與發展之初就被人們用來理解和解釋大千世界的實際問題，因此數學學習的起步階段，離不開對事物“形象”的感知。

例1，五年級《分數與除法的關系》的學習現場：（教師出示圖片）4個小朋友圍在桌前，桌上有3塊餅。旁邊配題“把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分到多少塊餅？”

教師：“看完這個問題，你有什么想說的？”

生1：“3塊餅好像不夠分。”

生2：“平均分的話，每人一塊餅都不到?！?/p>

生3：“平均分應該是4÷3，每人多少塊我還不知道？”

生4：“應該是3÷4，每人分到0.75塊餅?！?/p>

1.具體的形象促發感性思考

小學生數學學習的起點是生活：把生活中的具體事物作為學習材料開始認數，形成對數字形象的感知和記憶（比如像水中鴨子的“2”），同時感知了數字的基本意義——計數；又通過感知事物的外形開始認形，了解事物的外在特征（比如圓形是沒有尖尖的角，可以滾動），感知了外形與構造之間的聯系；還通過感知相關聯的事物形象，感知事物之間的關系（比如剩下的鳥兒是原有的鳥兒減去飛走的鳥兒），體驗分析和解決實際問題的方法。這些感知的基礎都依賴于具體的形象。

具體形象的感知活動是小學生數學學習的主要內容，也符合小學生形象思維的特點。面對這些具體的形象材料，小學生主要運用自己的感覺器官去感知，經歷的思考比較快速、簡單、直接，思考的結果也以感性呈現為主。例1中生1主要就是圖片形象的感知，他把3塊餅的形象和4個小朋友的形象聯系在一起，結合自己平時的經驗，馬上得到“不夠分”這一結論。

2.“抽象”的形象左右感性思考

隨著數學學習的深入，各種抽象的概念和符號開始充塞在學生數學學習的過程中，并作為數學學習又一種材料展現在學生的眼前。這些數學學習材料雖然是抽象存在的，但在小學生的記憶中卻還是以具體的“形象”存在，只不過這里的“形象”不像具體事物那樣憑感覺器官來感知并保存，而是以比較固定的“印象”在學生的大腦中留存。當它們沒有被打破或者沒有得到有效深化的時候，就會直接左右學生的感性思考。

比如一個初級的抽象概念“一共”，在學生的大腦中就是以“+”或“數量合并”的形象存在的；再比如“÷”在學生的大腦中經過不斷的演算強化，最終形成較為固定的形象，那就是除法的基本運算方法以及較大數除以較小數的外在形式。例1中生2在掌握“平均分就是大家相等”這一形象的基礎上思考得到“每人一塊都不到”這樣的結論。

（二）經驗的快速作用——感性思考發生的內在因素

大腦依據人經歷過的事所留下的各類印象（即經驗）對信息進行加工，從而產生思考。數學學習的經驗包括直觀感知的經驗、知識理解的經驗、操作活動的經驗、抽象概括的經驗、知識遷移和運用的經驗以及模型建構的經驗等。學生已有的這些經驗都是來自各種數學活動，附著于特定的數學活動情境之中，當新的數學學習情境與建立經驗之時的情境相似的時候，這些經驗隨即容易產生同化遷移。

例2，四年級《認識億以內的數》學習現場：教師出示圖片和數字“月球與地球之間的距離是三十萬千米，2014年茶葉產量七十七萬噸……”學生讀了這些數量后，教師問：“你們知道三十萬、七十七萬……這些數有多大嗎？”

生1：三十萬就是三十個一萬，七十七萬就是七十七個一萬。

生2：我知道，三十萬就是在30后面再加4個0，同樣七十七萬就是77后面加4個0。

生3：三十萬就是大正方體要300個，也就是300個1000。

1.直接經驗的遷移讓感性思考快速發生

小學生數學學習中積累的多是基于“形象”感知的直接經驗。這些經過真實的操作、觀察等方式獲得的經驗，在學生的記憶中最深刻。當相似的情境和形象呈現在學生面前時，這些經驗會搶先自動遷移到新的情境中，不經歷變化，不需要外加條件直接作用于學生的思考，使學生的思考不再需要更多的加工，就得到了結果，這就是感性思考。而類似于猜想、推理、概括等間接經驗的發生一般都需要一定的外加條件或者經驗的重組等次生環節，作用形式和條件的不同使得直接經驗的作用往往發生在間接經驗之前。

例2中生1就是在認識萬以內的數的時候獲得了數組成的直接經驗，將三百就是三個一百這樣的經驗，直接遷移到三十萬就是三十個一萬。同樣生2原先獲得的直接經驗是一萬的寫數特征，于是將一萬末尾的4個0直接遷移到了三十萬、七十七萬等較大的整萬數中。生3是依據原有的形象化認數的直接經驗，將1000個小方塊拼成大正方體遷移到對幾十萬的感知中，產生了三十萬就是300個1000的感性思考。

2.經驗的點狀呈現讓感性思考簡單發生

經驗本身是復雜多樣的，不同的學生受不同認知特點的影響，在數學學習中會產生不同的經驗積累。同時，小學生在這些經驗的獲取和記憶過程中還不能形成一定的結構，而是散亂地將經驗儲存在大腦記憶之中，不同的經驗之間很少產生內在的聯系，這就使得每次面對新的學習情境時，已有的經驗也是點狀呈現的。這勢必只能促發簡單和片面的感性思考。

例2中三位學生的思考依賴的是不同類型的直接經驗，它們各自獨立存在于不同學生的記憶中，沒有一定的系統性，呈現時間很快，觸發的僅僅是學生片面的感性思考。而完整的億以內整萬數的認知需要這些經驗之間相互協同才能達成。

二、感性思考的實際意義

（一）體現學生自主參與的意識

教師進入課堂就成為數學學習的組織者，他們為學生提供盡可能有用的數學學習材料，學生因學習材料的出現，自愿、自主、有意識地去加工他們，從而產生感性的思考。

例3，三年級《認識長方形和正方形》學習現場：教師給學生提供了彩色卡紙做成的正方形和長方形，讓學生通過折一折、量一量等方法找一找正方形和長方形有什么特征。學生紛紛開始端詳和動手操作，有學生還沒有開始動手就急著發言“老師，我知道正方形和長方形四個角都是方方的，長方形扁一點”，“我知道正方形四面都是一樣的，長方形不一樣”，有學生才動手一會就說“我的長方形比正方形大”（教師提供的長方形的寬和正方形的邊長一樣長），“長方形和正方形都是可以對折的”……

這些學生的表達都是來自他們的感性思考，他們對正方形和長方形簡單的感知在一年級就發生了，生活中對這兩個圖形也有比較多的接觸機會，因此對于本課的學習和參與的活動都有較高的興趣，更有表達的愿望。

1.在參與中獲得自我的滿足

無論怎樣的思考都是一種大腦的加工，都體現了主體的自我投入。感性思考的產生來自小學生對于具體事物形象的興趣，他們運用自己的感覺器官對形象進行感知和加工。此時學生的自我欲望是強烈和主動的，它不包含對他人認可的期待，是一種主觀的表現。不管這樣的思考是否伴隨著語言被表達出來，呈現的都是一種積極學習的態度，獲得的是學習的自我滿足，這對于身心剛剛開始走向自我的學生來說是一種寶貴的經歷。

2.在思考中展開自由的想象

學生在產生感性思考的時候，主要依賴于對“形象”的感知，這里的“形象”不僅僅指具體事物的外在形象，還包括數學的文字、符號等對于學生來說具有的“形象”。這些形象給予了學生思考的自由。

數學家康托爾說過：“數學的本質在于思考的充分自由。”學生的感性思考就是自然地擺脫了抽象概念的束縛而激發的想象力，想象力是憑借感性思考的多樣性而產生的一種感知能力。在例3《認識長方形和正方形》學習現場，學生表達的“正方形四面都是一樣的”并沒有用長度相等的概念，但是卻體現一種對空間的直覺判斷和想象，這樣的感性思考不僅僅是基于經驗，更是自我經驗的一種創造性發展。

（二）讓經驗從無形變為有形

任何思考都來自于個體已有的經驗對信息的加工，學生就是帶著經驗參與到學習的活動中，從而產生思考。因此，學生的數學學習經驗是教師在教學中需要把握的學情之一，但是相對于具體的數學知識和技能來說，很多的數學學習經驗在數學學習中無法用語言明確地描述出來，而只能反映在學習者的活動和行為過程之中。學生通過感性思考而表達出的思考結果，真實地反映了他們所具有的數學學習經驗，為教師有效組織和開展教學提供了現實的學情資源。

例4，四年級《商不變規律》學習現場：教師讓學生完成表格

然后讓學生觀察表格，說一說你發現了什么？

學生馬上就有這樣的回答：“商都是5”“被除數上面乘2或4，下面除以2或4，除數也是這樣”“被除數乘2的時候，除數也乘2，被除數乘4的時候，除數也乘4……”

教師追問：“那如果被除數乘3，除數也乘3，你們猜一猜商會是多少？”

學生有的直接猜“商是5”，大部分學生在觀察猶豫片刻后也猜商是5。

教師讓學生說一說現在的除法算式，口算出商，然后讓學生繼續做幾次類似的猜想和驗證。

教師接著引導，“通過這幾次猜想和驗證，你又有什么發現？”

在這個數學學習的現場，我們可以感受到學生一開始的觀察和發現是基于簡單直覺的感性思考。這些表達體現了四年級學生的觀察經驗還只是關注事物（這里的算式）外在的形象特點。觀察的方式有橫向的，也有縱向的。在感知對象之間聯系的經驗上，主要還只是“相同”與“不相同”的判斷，并沒有形成內在聯系的經驗。教師在獲得這些學生感性思考的反饋信息后沒有繼續等待學生“再去發現”，而是組織了一系列的猜想和驗證，有效引導學生慢慢體驗到被除數、除數的同時變化與商不變之間的聯系，達到了教學的目的。

1.看得見的經驗特點

小學生數學學習時產生的感性思考主要是將自己已經具有的經驗直接作用于各類形象。這個過程中學生的學習經驗不經修飾與變化以直接快速的方式轉化為思考的依據，無目的無隱藏。

學生憑著直覺將自己的經驗遷移到新的數學學習中，經驗本身不發生明顯的變化，這樣的同化性遷移體現了學生最原生態的經驗加工方式，不僅直接反映出學生個體和群體有怎樣的經驗積累，更顯現出這些經驗的建構特點，即怎樣的學習情境會激活這些學習經驗。這對于教師來說無疑是教學最基本需要把握的學前資源。感性思考讓學生的學習經驗從內隱轉化為了外顯。例4《商不變規律》的學習現場，學生觀察數據的經驗就是被圖表中算式的特點激發產生了感性思考。

2.明晰的經驗發展趨勢

學生的數學學習經驗不是固定不變的，它會隨著數學活動以及活動的特點不斷變化。也只有經歷更多的數學活動，學習經驗才會越來越豐富，才會不斷被更新和提升，有些學習經驗會發展成為數學知識或數學的思維習慣。這就需要教師看清學生學習經驗的發展路徑和趨勢，創造和開展與之適應的學習活動。

當學生由經驗而產生感性思考的時候，會因情境的變化產生思考的困境，這些困境可以反襯出經驗需要發展提升的方向和必要性。有的學生會在感性思考時自我感知這種體驗，有時更需要教師抓住契機為學生學習經驗的發展創設相應的數學活動。

例4《商不變規律》的學習現場，橫向與縱向觀察經驗是學生原有的學習經驗，但是這樣的經驗顯然不能完成這一次數學活動需要探索的任務，這就需要學生體驗“相同”與“不相同”之間本質的聯系，獲得相應的感知經驗。有了這樣的經驗學生才能實現對規律探索的整體把握，這就是本次數學活動需要讓學生獲得的經驗發展。

（三）讓學習的持續推進成為需要

大多數時候學習材料或學習內容呈現的目的是為了讓學生學習新的知識和技能，同時獲得新的經驗。此時，學生生成的感性思考就是促發繼續學習的催化劑。

例5，五年級《小數加減法》學習現場：問題情境中的條件是每個文件夾7.5元，每支圓珠筆4.25元，問題是求買一個文件夾和一支圓珠筆共需要多少元？學生列式7.5+4.25，教師讓學生列豎式進行計算，許多學生列成了這樣的豎式：

這是學生基于整數加法和三年級的一位小數加法列豎式的經驗，通過感性的思考列出的豎式。但是馬上有學生提出這是錯誤的豎式，而錯誤的原因學生只能通過價格估算來感知是11元多，不可能是4.95元或者49.5元，應該小數點對齊相加。至于為什么要小數點對齊相加，多數學生再次陷入困惑之中。

1.亟待走出被“欺騙”的現場

當學生的思考與陌生或未知的“形象”相遇的時候就會發生已有經驗“無效”的現象。經驗被固定在以往的情境中，對“形象”感知的信息無法獲得有效、快速的加工，學生的意識就會處在一種無所適從的狀態。此時，學生個體的心理就會產生一種被經驗“欺騙”的感覺。對于小學生來說這是一個自己無法獨自面對的時刻，亟待獲得他人的幫助獲得新的經驗，從而走出感知與思考的現場，擺脫心理的壓力。

此時新的學習是一種迫切的自我需要，如果任由學生在“欺騙”中迷茫，學生的學習興趣、動力和信心就會被“反正我不懂”的心態所淹沒，繼續學習也就喪失了主動性，成為機械被動地接受。

例5《小數加減法》學習現場中，學生在感性思考中陷入被“欺騙”的境地，原本學過的整數加法以及一位小數加法的豎式都是末尾對齊相加，并且這一經驗也一直被訓練強化，如今卻“錯誤”了。雖然可以說，這是學生對于加法末尾對齊的本質算理沒有形成有效的建構，但被“欺騙”的感覺是真實的。怎么辦？需要學習！

2.亟待走出表達的困境

學生在經歷感性思考之后，需要將思考所得表達出來從而獲得自我的肯定。而數學的表達需要特定的語言和符號，當學生經歷感性思考并獲得結論性的感知后，卻發現已有的語言經驗無法表達時，學生內心是著急的，他們希望馬上學習新的數學語言和符號，以此實現自我的肯定。

數學表達的語言和符號本身就蘊含在數學知識和數學思想之中，學生需要學習新的數學表達語言時，也就是要學習新的數學知識或技能。在例5《小數加減法》學習現場中，有的學生提出了小數點對齊列豎式的想法，但是卻無法用語言表達其中的道理。

3.因“謎”而生的學習需要

形象感知的不可表達，感性思考的停頓不前，都讓學生對原有的經驗產生距離。需要感知的形象變成了不可思議的對象，對于小學生來說就會產生一個問題：這個是什么？這就是“謎”的產生。學生通過和“謎”的對峙，才會感受到只有學習老師的語言和新的數學知識，才能重回自己的認知世界，才能重新將自己的世界整理得有條不紊，這就是自我學習的動力。

“著迷”反映兒童與生俱來的一種對未知探索的興趣。人們從小到大就有對“謎”的一種好奇心，往往“謎”就產生在感性思考的困頓之中。在例5《小數加減法》學習現場中，7.5+4.25這樣的一位小數加兩位小數對于許多學生來說就是一個暫時無法破解的“謎”，這個“謎”的價值就在于可以啟迪學生實現完整的加法算理的建構——相同數位的數字（計數單位相同）才能相加。

三、感性思考的理性應對

當我們站在小學生數學學習的現場，看清感性思考的產生和意義，我們就不會再抱怨學生會有這樣顯得“粗糙”的感性思考，會以更加理性的方式去應對學生的感性思考。

（一）等候的智慧

小學生的數學學習需要教師有“等候”的心態，等待學生的感知、等待學生的思考、等待學生的知識生成、等待學生思想的提升。而“等候”更是一種積極面對的智慧，是對學生學習的尊重。

1.因其必然性而等候

小學生數學學習從基礎開始，從形象感知開始，依賴那不太豐富的數學學習經驗，因此感性思考是必然發生的。我們不能因為那些感性思考的淺薄而放棄形象的學習材料，讓學生跳躍到理性的思考，反而要等候感性思考的發生，這樣既符合數學學習的規律，也符合學生身心發展的需要。

2.因其自主性而等候

感性思考因興趣而發生，體現了小學生主動的學習愿望，這是保持學生數學學習長久動力的前提。同時，數學學習必定要從生活實際向抽象世界發展，對于小學生的心理和能力要求會越來越高，感性思考可以說是數學學習有效的學習鋪墊，讓學生在形象與抽象之間達到認知的緩沖。主動思考中獲得的成功體驗比之在教師指導下完成的學習體驗更容易滿足學生自我肯定的心理需要。此時的等候，不僅讓學生在非壓力的環境下實現學習自主性的延伸，更是打開了學生數學學習想象的空間。

就像在例3《認識長方形和正方形》的教學中，教師并沒有因為學生感性思考后的回答不夠標準而打斷學生，反而耐心等候學生表達出自己的觀點，不僅保護了學生學習的興趣，而且很好調動了學生自主學習的積極性，也為后面抽象化概括長方形和正方形的特點打下了基礎。

（二）傾聽的智慧

如今我們倡導“以學定教”，就是要充分了解學生，根據學生的學習實際開展教學。學生的學習能力和學習經驗等很多需要教師把握的信息，在課前是無法做到完整和正確把握的，學生學習之初的感性思考是教師了解學生最直接的途徑。這里的“傾聽”不僅僅是聽，更是一種關注、理解和把握。

1.傾聽個性的表達

學習最終是學生個體的行為，感性思考同樣體現的是學生個體的知識基礎和經驗積累。教師認真傾聽每個學生的感性思考表達，就能掌握這一學生數學學習的基本現狀和特點?；谶@樣的了解，教師可以通過個性化的輔導，幫助每一位學生在數學學習上獲得更均衡的發展。

2.傾聽群體的反饋

感性思考不會只發生在個別學生身上，當學生們一起面對同一情境，直面相同的“形象”時，因個體差異會產生不同的感性思考，但這些個性思考中必然存在一致的因素，掌握和理解這些感性思考所包含的共同特點，有利于教師在課堂中及時地改進教學。

就如例4《商不變規律》的教學中，教師傾聽學生群體的感性思考，掌握了學生原有的觀察經驗，理解了學生缺乏感知變化之間的聯系的能力。于是組織開展了后續的猜想和驗證，讓學生通過猜想感受“變”與“不變”之間的聯系，為學生創造獲取新的學習經驗的機會。

（三）激發的智慧

教師要引導學生學習新的數學知識，就要善于激發學生主動探索學習的熱情。只有當學生有強烈的學習愿望的時候，學習才是最有效的。從上述分析中我們可以看到，學生的感性思考往往會讓學生達到“不憤不啟，不悱不發”的境地，這也正是激發他們自主學習的最佳契機之一。

1.在“憤悱”時激發

當學生因有限的學習經驗與現實的學習情境無法融合的時候，被“欺騙”的感覺讓學生處于“憤”（想不通）而待“啟”的困境，學生學習的強烈愿望是為了讓自己能認識、會學習，以實現自我的發展。同時學生在感性思考需要表達，但遇到表達困境時，學生處于“悱”（不會說）而待“發”的困境，學生也想馬上得到教師的幫助。此時，教師不能再觀望，要善于通過分析學生的感性思考發現和把握時機，及時引導學生展開正確的學習活動。

2.在“謎”戀中激發

不是所有需要學習的新知識對于學生來說都有“謎”一樣感覺。但當學生根本無法將舊知和經驗作用到新知識的學習中，新知識對于學生來說就是一個“謎”。謎需要全新的知識和技能去解決，這種既感覺新鮮又充滿神秘色彩的“形象”最容易讓學生有沖動去探索和學習。抓住這樣的契機，開展新知識的教學，可以讓學生充分感受數學知識的魅力。

比如在例5《小數加減法》的教學中，當學生憑原有整數加法的經驗無法解釋7.5+4.25的計算方法時，會產生強烈的學習愿望。教師讓學生先根據兩個具體的錢數進行計算得到11.75元，引導學生說出是怎樣算的，再讓學生探索如果7.5+4.25不是計算錢數可以怎樣想。這樣抓住了激發學生探索學習的契機，讓學生在兩種計算方法的比較中得到相同計數單位的數字相加這一加法計算根本算理。

當然感性思考不是學生數學學習的終點，而是起點。數學抽象的本質決定了數學學習的目標最終要通過理性的思考去實現。教師應正確對待學生的感性思考，以此激發學生深入學習，啟迪學生走向理性的思考，從而形成更具生命力的課堂。

責任編輯：石萍