構(gòu)造函數(shù)解決不等式中的恒成立問題思考

程少輝

摘 要 本文針對高考數(shù)學(xué)試題中的不等式恒成立問題進行思考分析，以構(gòu)造函數(shù)的解題思路來解決此類題目，幫助考生更好地利用函數(shù)知識解題，進一步提高考生對此類考題的解題信心，從而提高高考數(shù)學(xué)成績。

關(guān)鍵詞 高考數(shù)學(xué)題 不等式 函數(shù) 解決

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)識碼：A

不等式恒成立問題是高考及各類考試的命題熱點，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點。學(xué)生在進行此類數(shù)學(xué)題目的解答時，往往在構(gòu)造函數(shù)方面出現(xiàn)問題，受困于某一點上不能順利進行又或按照錯誤的思路方向進行解題，因此，現(xiàn)結(jié)合相關(guān)經(jīng)典考題進行講解論述，以幫助學(xué)生更好解決此類數(shù)學(xué)難題。

1參變分離原則

在含參數(shù)的不等式成立問題中，常常可將含參數(shù)的部分“分離”到一端，并且另一端的“無參”函數(shù)可求最值，這種“分離參數(shù)法”的思路簡潔通俗、直截了當(dāng)，是我們建構(gòu)目標(biāo)函數(shù)解決問題的一種典型做法。

例1：對一切x∈R+，不等式2xlnx≥x2+ax3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解析：上述不等式中含參數(shù)的部分“單一”，參數(shù)分離非常容易：a≤x++2lnx，對于不等式另一側(cè)的無參函數(shù)g（x）=x++2lnx（x>0），利用導(dǎo)數(shù)知識求其最小值也很常規(guī)。運用分離參數(shù)法必須具備兩個基本條件：一是不等式中含參數(shù)的部分容易“分離”，二是分離后的無參函數(shù)可求最值。如果將本題不等式的常數(shù)項“3”改為“3a2”，該種方法恐怕就失效了！

2通性通法原則

對于形如“f（x）>g（x）”的不等式，我們通常構(gòu)造左右兩端的“差函數(shù)”F（x）=f（x）g（x），分析該目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性研究其極值、最值情況。在實際的函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題中，所構(gòu)造的“差函數(shù)”往往蘊含著參數(shù)，這就給目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性、極值點、零點、最值等性質(zhì)的研究帶來不確定性，需要我們把握分類討論的依據(jù)，羅列所有可能情形逐一分析，方能將目標(biāo)函數(shù)的各種性態(tài)研究透徹，進而實現(xiàn)問題的化解！

例2：（2015年山東高考理科21）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中a∈R。

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍。

解析：（1）略；（2）f（x）本身即為目標(biāo)函數(shù)，關(guān)鍵是確定其在（0，+∞）上的最小值或取值范圍，對其求導(dǎo)得f′（x）=+a（2x1）=（其中x>0）：

①當(dāng)a∈[0，1]時，f′（x）>0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）>f（0）=0滿足題意；

②當(dāng)a∈（1，+∞）時，由 =a28a（1a）>0得方程2ax2+ax+1a=0存在異號兩根x1，x2（不妨設(shè)x1<0

③當(dāng)a∈（∞，0）時， =a28a（1a）>0，設(shè)方程2ax2+ax+1a=0兩根為x1，x2（其中x1<0

綜上，a的取值范圍為[0，1]。

3簡約可行原則

筆者認(rèn)為：在建構(gòu)目標(biāo)函數(shù)模型時，還應(yīng)注意所構(gòu)造的函數(shù)要進行提煉、簡化或變形，否則，若函數(shù)結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，必然造成求導(dǎo)運算繁瑣，難以確定其函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)致函數(shù)性態(tài)研究受阻、無法持續(xù)。這就需要我們先對所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)進行充分“預(yù)估、調(diào)試、簡化”，才能使所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)模型優(yōu)化有效，從而讓問題的解決路徑得以通暢順達！

例3：（2011年全國高考理科21）已知函數(shù)f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y3=0。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果當(dāng)x>0，且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍。

解析：（Ⅰ）a=1，b=1（解略）；

（Ⅱ）不等式+>+有多種轉(zhuǎn)化方式。

思路一（分離參數(shù)法）：k<+，但右端無參函數(shù)求導(dǎo)研究非常棘手；

思路二（構(gòu)造差函數(shù)）：分析h（x）=+的單調(diào)性、最值情況，仍然繁瑣；

思路三（優(yōu)化差函數(shù)）：h（x）=+=[+（1）（）]，從而問題轉(zhuǎn)為為2lnx+（1k）（x）<0在（1，+∞）上恒成立，且2lnx+（1k）（x）>0在（0，1）上恒成立。于是構(gòu)造函數(shù) （x）=2lnx+（1k）（x），倘若再令m=1k，則目標(biāo)函數(shù)又可簡化為 （x）=2lnx+m（x）， ′（x）=，討論如下：

（1）當(dāng)m≤0時， ′（x）>0， （x）在（0，1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，且 （1）=0。故在（0，1）上， （x）<0；在（1，+∞）上， （x）>0，不合題意；

（2）當(dāng)m>0時，由 =44m2得：

①若 ≤0即m≥1時， ′（x）<0， （x）在（0，1）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，且 （1）=0。故在（0，1）上， （x）>0；在（1，+∞）上 （x）<0，滿足題意；

②若 >0即0

綜上，m≥1，即1k≥1，k≤0。

4一元歸化原則

遇到求解有關(guān)二元不等式成立的綜合問題時，需要認(rèn)真分析不等式結(jié)構(gòu)，從中提煉二元函數(shù)模型：y=f（x1，x2），但如何研究二元函數(shù)又是一個挑戰(zhàn)，可以考慮轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)去解決。事實上，很多二元函數(shù)y=f（x1，x2）可圍繞或x1x2等進行適當(dāng)?shù)呐錅愖冃危倭钇渲衪=或t=x1x2等，即可轉(zhuǎn)換成關(guān)于t的一元函數(shù)y= （t）來解決，這是一種常見的化歸策略。

于是問題轉(zhuǎn)化為判斷g（x1，x2）=ln的符號，只要令=t，t∈（0，1），利用導(dǎo)數(shù)考察 （t）=lnt（t∈（0，1））的符號即可。

5執(zhí)果索因原則

某些不等式（如二元不等式）的證明，并不能象上面那樣直接輕易地構(gòu)建出目標(biāo)函數(shù)，而是從所要證明的目標(biāo)開始分析，逐步探求使結(jié)論成立的充分條件，在追溯解決問題線索中自然產(chǎn)生構(gòu)造函數(shù)、研究函數(shù)的需要，這種函數(shù)建構(gòu)針對性強、目標(biāo)清晰、規(guī)避模式，有利于提升分析問題和解決問題的綜合能力。

例5：（2016年全國新課標(biāo)Ⅰ理21改編）已知函數(shù)f（x）=（x2）ex+a（x1）2（a>0）。

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個零點，證明：x1+x2<2。

解析由f′（x）=（x1）（ex+2a）可得：f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），遞減區(qū)間為（∞，1），故其在x=1處取得極小值f（1）=e。第（Ⅰ）小題的設(shè)置讓我們獲得了函數(shù)f（x）的大致輪廓；第（Ⅱ）小題可由第（Ⅰ）小題的結(jié)果以及函數(shù)值的符號、趨勢，勾勒出函數(shù)f（x）的示意圖，容易發(fā)現(xiàn)直線x=1是函數(shù)f（x）的“類對稱軸”，由于“類對稱軸”兩邊增減幅度不同，當(dāng)f（x1）=f（x2）時，可直觀發(fā)現(xiàn)：x1+x2<2，這就是第（Ⅱ）小題的問題產(chǎn)生的原始背景。

下面我們結(jié)合圖像尋找證明思路：（不妨預(yù)設(shè)x1<1

x1+x2<2 x2<2x1（注意到x2>1，2x1>1）

←f（x2）

←f（x1）

←（f（x）

←g（x）=f（x）f（2x）<0在（∞，1）上成立。

于是解決問題的切入點轉(zhuǎn)為常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式恒成立問題。

6結(jié)語

上述不等式問題的解決，關(guān)鍵一點是借助構(gòu)造函數(shù)的方法，從題目的不等關(guān)系中挖掘出我們熟悉的函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識達到解決問題的目的。同時，在我們的平時學(xué)習(xí)中，要加強重視函數(shù)的學(xué)習(xí)，將函數(shù)的圖象、的性質(zhì)學(xué)習(xí)熟悉，對于解決不等式問題有著極大的促進作用。

參考文獻

[1] 趙忠平.例談構(gòu)造函數(shù)的常用技巧[J].理科考試研究，2012（01）.

[2] 馬進.“恒等式”在解題中的應(yīng)用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2013（24）.