滲透數(shù)學(xué)思想發(fā)展思維能力

古彩蓮

【摘要】本設(shè)計(jì)以學(xué)生非常熟悉的生活用品為載體，通過(guò)讓學(xué)生觀察思考、動(dòng)手操作與合作交流等學(xué)習(xí)方式，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)參與、積極探究圓柱表面積的計(jì)算方法.教師積極關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知背景和生活經(jīng)驗(yàn)，落實(shí)“促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，主動(dòng)發(fā)展”的課標(biāo)要求，滲透類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；類(lèi)比；轉(zhuǎn)化；數(shù)形結(jié)合；思維能力

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)：理解圓柱體側(cè)面積和表面積的含義.

2.能力目標(biāo)：通過(guò)操作、觀察、分析、總結(jié)，推導(dǎo)出圓柱體的側(cè)面積的計(jì)算方法，能正確計(jì)算圓柱體側(cè)面積和表面積，并初步運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

3.情感目標(biāo)；通過(guò)探索、合作學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情以及培養(yǎng)學(xué)生合作探究意識(shí)，滲透愛(ài)國(guó)、愛(ài)家的情感，滲透類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生思維能力.

二、教材分析

“圓柱的表面積”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)第十二冊(cè)第一單元的內(nèi)容.在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體的表面積時(shí)，學(xué)生已經(jīng)理解了表面積的含義，這是圓柱表面積學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).圓柱的表面是由兩個(gè)相同的底面和一個(gè)側(cè)面構(gòu)成的，計(jì)算圓柱底面的面積就是計(jì)算圓的面積，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不是新知識(shí)，所以教材把探索圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法作為重點(diǎn).在本課學(xué)習(xí)中，教材強(qiáng)調(diào)了圓柱側(cè)面展開(kāi)的探索過(guò)程，觀察展開(kāi)圖與圓柱各部分的關(guān)系，從而得出圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法，總結(jié)出圓柱表面積的計(jì)算步驟.

三、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)掌握了圓面積計(jì)算方法的推導(dǎo)過(guò)程，并會(huì)計(jì)算圓面積；還理解和掌握了長(zhǎng)方體（正方體）的表面積的含義及計(jì)算方法，同時(shí)認(rèn)識(shí)了圓柱和圓錐的特征.所以，本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生是有基礎(chǔ)的.本班學(xué)生，大部分基礎(chǔ)比較好，喜歡學(xué)數(shù)學(xué)；課堂上能專心聽(tīng)講，女學(xué)生發(fā)言積極，表達(dá)較完整；帶學(xué)具帶得較齊，動(dòng)手操作較快.但本課安排在第一周，學(xué)生過(guò)完春節(jié)剛回來(lái)，心還沒(méi)完全收回來(lái)，這給學(xué)習(xí)帶來(lái)了影響.

四、教學(xué)重點(diǎn)

探索圓柱的側(cè)面積的計(jì)算方法，正確計(jì)算圓柱的表面積.

五、教學(xué)難點(diǎn)

圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的多樣性，并能夠?qū)⒄归_(kāi)圖與圓柱體的各部分建立聯(lián)系，推導(dǎo)出圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式，總結(jié)出圓柱表面積的計(jì)算方法.

六、教學(xué)方法

啟發(fā)教學(xué)法、觀察分析法、思考討論法.

七、學(xué)習(xí)方法

觀察分析、操作探討、合作交流.

八、教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體課件，學(xué)生課前準(zhǔn)備的長(zhǎng)方體實(shí)物、易拉罐、圓柱形紙盒或其他圓柱體、剪刀等.

九、教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)舊知，引出新課，激活思維

教師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體（正方體）的表面積，現(xiàn)在，我們來(lái)復(fù)習(xí).請(qǐng)同學(xué)們摸一摸長(zhǎng)方體，摸到了什么？想到了什么？

學(xué)生：摸到了長(zhǎng)方體（正方體）的六個(gè)面，想到了長(zhǎng)方體（正方體）六個(gè)面的面積總和叫作長(zhǎng)方體（正方體）的表面積.

教師：說(shuō)得好.那我們也摸摸自己帶來(lái)的圓柱體.（學(xué)生自行操作）

教師：同學(xué)們，你們摸到了什么？想到了什么？

學(xué)生：摸到了圓柱的兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面，想到了圓柱的表面積.

教師：那，什么是圓柱的表面積呢？

學(xué)生1：圓柱表面的大小叫作圓柱的表面積.

學(xué)生2：圓柱的側(cè)面加上兩個(gè)底面的大小叫作圓柱的表面積.

學(xué)生3：圓柱的側(cè)面積加上兩個(gè)底面的面積的和叫作圓柱的表面積.

教師：想一想，哪名同學(xué)講得完整？

學(xué)生：第三名同學(xué)講的好.

（教師板書(shū)圓柱表面積的概念，組織學(xué)生朗讀概念）

教師：老師的看法也和大家一樣.那么做一個(gè)圓柱形紙盒需多大的硬紙板，是算什么呢？

學(xué)生：是算圓柱的表面積.

教師：對(duì)，這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)圓柱的表面積.（板書(shū)課題）

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生復(fù)習(xí)了長(zhǎng)方體（正方體）的表面積的意義，在教師的啟發(fā)下，學(xué)生們通過(guò)摸一摸、想一想、說(shuō)一說(shuō)，悟出了圓柱體的表面積的含義.這個(gè)簡(jiǎn)短的過(guò)程，是教師引導(dǎo)學(xué)生將已學(xué)的知識(shí)、技能，從已知的對(duì)象中遷移到未知的對(duì)象中來(lái)，這樣做，既有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，又有利于溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系.這一環(huán)節(jié)很好地滲透了類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想.

（二）合作探究，學(xué)習(xí)新知

1.動(dòng)手操作，活躍思維

教師：我們理解了圓柱表面積的含義，那么圓柱表面積怎么算呢？

學(xué)生1：一個(gè)側(cè)面積加兩個(gè)底面積.

學(xué)生2：圓柱表面積等于側(cè)面積加底面積乘2.

教師：第二名同學(xué)說(shuō)得很好，老師把他說(shuō)的改成一個(gè)等式，大家看，可以嗎？

板書(shū)：圓柱表面積=側(cè)面積+底面積×2.

學(xué)生：可以.

教師：底面積會(huì)算嗎？

學(xué)生：會(huì)，就是算圓的面積，再把圓的面積乘2.

教師：說(shuō)得對(duì)，這是我們學(xué)過(guò)的.同學(xué)們，圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面，它的面積怎么算呢？同學(xué)們不用著急，想一想，圓的面積的計(jì)算方法是怎樣得來(lái)的？

學(xué)生：老師，我們把圓剪拼成近似的長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，圓的面積=πr2.

教師：把圓剪拼成長(zhǎng)方形來(lái)觀察，這一過(guò)程我們可以稱之為什么？

學(xué)生：就是把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)觀察.

教師：說(shuō)得好，轉(zhuǎn)化是一種數(shù)學(xué)思想.同學(xué)們能不能用轉(zhuǎn)化的方法找出圓柱的側(cè)面積的計(jì)算方法.

學(xué)生：老師，是不是要把圓柱的側(cè)面剪開(kāi)來(lái)觀察.

教師：說(shuō)得好，真棒！把圓柱的側(cè)面剪開(kāi)就是要把圓柱的側(cè)面展開(kāi).下面請(qǐng)大家拿出學(xué)具，四人小組合作，好好操作、好好觀察，大家一起分析討論，完成答題卡，以便找出圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法.

（伴隨著輕柔的鋼琴曲，學(xué)生開(kāi)始探索活動(dòng)）

答題卡上的題目是：

（1）圓柱體側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)怎樣的圖形呢？你能想辦法說(shuō)明嗎？

（2）如果圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬和這個(gè)圓柱有什么關(guān)系？

（3）怎樣求圓柱的側(cè)面積？

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)通過(guò)啟發(fā)學(xué)生回憶圓面積的計(jì)算方法的來(lái)由，從而想起了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，想到了用轉(zhuǎn)化來(lái)探究圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法.學(xué)生的思維被打開(kāi)，在音樂(lè)聲中進(jìn)行合作交流，學(xué)生的思維活躍了，積極性高了.

2.匯報(bào)交流，培養(yǎng)思維

教師：哪個(gè)組到講臺(tái)上說(shuō)說(shuō)本組的發(fā)現(xiàn)？

小組1：我們把圓柱的側(cè)面剪開(kāi)，展開(kāi)后發(fā)現(xiàn)是一個(gè)長(zhǎng)方形.（在教師的幫助下，把展開(kāi)圖貼在黑板上）我們觀察到這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱底面的周長(zhǎng)，這個(gè)長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高.因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以圓柱的側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高.（學(xué)生說(shuō)，教師寫(xiě)）

板書(shū)：

圓柱的側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高

教師：對(duì)于小組1的回答，同學(xué)們有什么補(bǔ)充？

學(xué)生1：要沿著圓柱的高來(lái)剪，展開(kāi)才是一個(gè)長(zhǎng)方形.

學(xué)生2：“你能想辦法說(shuō)明嗎？”這個(gè)問(wèn)題他們沒(méi)有回答.我的回答是用一張長(zhǎng)方形的紙，可以卷成圓柱形.

教師：很好.還有哪個(gè)組到講臺(tái)上說(shuō)說(shuō)本組的發(fā)現(xiàn)？

小組2：我們組有名同學(xué)剪歪了，展開(kāi)后發(fā)現(xiàn)是個(gè)平行四邊形.（在教師的幫助下，把展開(kāi)圖貼在黑板上）這個(gè)平行四邊形的底等于圓柱底面的周長(zhǎng)，這個(gè)平行四邊形的高等于圓柱底面的高，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e等于底乘高，所以圓柱側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高.（學(xué)生說(shuō)，教師寫(xiě)）

板書(shū)：

圓柱側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高

教師：展開(kāi)后是個(gè)平行四邊形的，誰(shuí)到講臺(tái)上演示一下？（用教師的教具）

教師：還有哪個(gè)組要說(shuō)？

（現(xiàn)實(shí)生活中，圓柱側(cè)面展開(kāi)是正方形的物品比較少，考慮到這一點(diǎn)，教師事先準(zhǔn)備這樣的圓柱）

教師：如果沒(méi)有的話，老師也來(lái)剪一剪，大家看看有什么新發(fā)現(xiàn)？

（教師沿著圓柱的高來(lái)剪，展開(kāi)后把圖形沿對(duì)角線對(duì)折，然后卷成圓柱形，這樣重復(fù)兩遍）

教師：誰(shuí)有新發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)，老師沿著圓柱的高剪開(kāi)，展開(kāi)后得到的是正方形，這個(gè)正方形的一條邊長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，另一條邊長(zhǎng)等于圓柱的高.（學(xué)生說(shuō)，教師再演示，然后貼在黑板上）因?yàn)檎叫蔚拿娣e等于邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)，所以圓柱側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高.（學(xué)生說(shuō)，教師寫(xiě)）

板書(shū)：

圓柱側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高

教師：很好，掌聲鼓勵(lì).現(xiàn)在老師用課件把三種情況演示一下，大家邊看邊說(shuō).

教師：同學(xué)們，大家知道了圓柱側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高，如果用S側(cè)表示圓柱的側(cè)面積，C表示底面周長(zhǎng)，h表示高，那么S側(cè)=Ch，用字母還可以怎樣表示？

學(xué)生1：S側(cè)=2πrh.

學(xué)生2：S側(cè)=πdh.

教師：說(shuō)得好，大家可以根據(jù)題目給的條件計(jì)算圓柱的側(cè)面積.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生展示探究結(jié)果，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生說(shuō)，教師課件演示，數(shù)形結(jié)合，生動(dòng)形象，使學(xué)生一目了然.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓柱可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形、平行四邊形、正方形，雖然轉(zhuǎn)化的圖形不同，但結(jié)果一樣，都是圓柱側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高.通過(guò)滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生的思維在說(shuō)說(shuō)、看看、想想的過(guò)程中得到了很好的培養(yǎng).

3.總結(jié)方法，發(fā)展思維

教師：同學(xué)們，通過(guò)轉(zhuǎn)化，我們探究出了圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法.如果要算圓柱的表面積，先算什么？再算什么？

學(xué)生1：先算兩個(gè)底面積的和，再算側(cè)面積，最后把它們加起來(lái).

教師：轉(zhuǎn)化的方法真的很好，為什么好？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō).

學(xué)生1：轉(zhuǎn)化讓我學(xué)到了新知識(shí).

學(xué)生2：轉(zhuǎn)化讓我學(xué)到了圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法.

學(xué)生3：轉(zhuǎn)化讓我知道把不會(huì)算的圖形變成會(huì)算的圖形.

學(xué)生4：轉(zhuǎn)化讓我想到了圓柱表面積的另外一種計(jì)算方法.把圓柱的表面轉(zhuǎn)化成一個(gè)大長(zhǎng)方形，算長(zhǎng)方形的面積就可以了.

教師：這很好，你能邊說(shuō)邊畫(huà)嗎？

學(xué)生：大家看好了，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)是2πr，寬是h.圓柱的上、下兩個(gè)底面等分成若干份后也拼成兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是πr，寬是r.再把這兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼在一起得到一個(gè)新的長(zhǎng)方形，新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是2πr，寬是r，然后把這個(gè)新長(zhǎng)方形與側(cè)面展開(kāi)所形成的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，則這個(gè)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為2πr和（h+r）.這樣，圓柱的表面積就轉(zhuǎn)化成求長(zhǎng)方形的面積了.可以用公式表示為S=2πr（h+r）.

教師：非常好，這名同學(xué)積極開(kāi)動(dòng)腦筋，想出了另外一種方法.掌聲鼓勵(lì)這名同學(xué).看來(lái)計(jì)算圓柱表面積有兩種方法，大家可選擇自己喜歡的方法來(lái)解題.

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生明白圓柱體的表面積的計(jì)算方法及步驟.但教師的“轉(zhuǎn)化的方法真的很好，為什么好”這個(gè)問(wèn)題，刺激了學(xué)生思維的深處，讓學(xué)生想出圓柱表面積的另外一種計(jì)算方法.這個(gè)過(guò)程再次滲透了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下，學(xué)生的思維得到了很好的發(fā)展.轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分.它是從未知領(lǐng)域發(fā)展，通過(guò)數(shù)學(xué)元素之間的因果聯(lián)系向已知領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，從中找出它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，解決問(wèn)題的一種思想方法.讓學(xué)生了解、掌握和運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想與方法，不僅有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)和未來(lái)發(fā)展乃至終身發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

4.運(yùn)用新知，培養(yǎng)能力

教師：現(xiàn)有一個(gè)圓柱紙盒，底面半徑是10 cm，高是30 cm，做這樣的紙盒至少需要多大的紙板？（板書(shū)題目）大家會(huì)做嗎？請(qǐng)大家試一試.

（教師巡堂，指名板演）板演的學(xué)生的情況是這樣的：

學(xué)生1：側(cè)面積：

2×3.14×10×30

=3.14×600

=1884（cm2）

底面積：3.14×102=314（cm2）

表面積：1884+314×2=1884+628=2512（cm2）

學(xué)生2：

2×3.14×10×（30+10）

=3.14×20×40

=3.14×800

=2512（cm2）

答：做這樣的紙盒至少需2512 cm2的紙板.

（三）靈活運(yùn)用，發(fā)展能力

（電腦課件出示）

1.填空：（口答）

（1）圓柱的側(cè)面沿著高展開(kāi)可能是（）形，也可能是（）形.當(dāng)展開(kāi)圖是正方形時(shí)底面周長(zhǎng)和高（）.

（2）要求一個(gè)圓柱的表面積，一般需要知道哪些條件（）.

2.用你喜歡的方法計(jì)算下列圓柱的表面積.（學(xué)生獨(dú)立完成，利用實(shí)物投影講評(píng)）

（1）d=4 cmh=6 cm

（2）r=3 cmh=10 cm

（3）C=31.4 cmh=8 cm

3.實(shí)際運(yùn)用.

（1）制作一個(gè)底面直徑20厘米、長(zhǎng)50厘米的圓柱形通風(fēng)管，至少要用多少平方厘米的鐵皮？（學(xué)生獨(dú)立完成，利用實(shí)物投影講評(píng)）

（2）看下面的圖片，誰(shuí)能認(rèn)識(shí)圖片上的古樓？韶關(guān)森林公園有座什么樓？看到這些樓你有什么想法？（課件出示彩圖：天安門(mén)城樓、西安的鐘樓、湖南岳陽(yáng)的岳陽(yáng)樓、韶關(guān)的韶陽(yáng)樓）

天安門(mén)城樓有很多根柱子，最小的直徑也有0.6米，每根12米長(zhǎng)，油漆60根這樣的柱子，油漆的面積有多大？

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的練習(xí)，從易到難，從抽象到形象，從書(shū)本到生活，幫助學(xué)生很好地鞏固了所學(xué)知識(shí).在圓柱表面積實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通風(fēng)管鐵皮的大小、油漆柱子的面積，這些計(jì)算讓學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，明確計(jì)算的部分，準(zhǔn)確選擇計(jì)算方法，培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生靈活的思維.圖片的展示，活躍了課堂，調(diào)動(dòng)了積極性，滲透了愛(ài)國(guó)、愛(ài)家的思想教育，符合新課標(biāo)、新理念.

（四）回顧全課，談?wù)勈斋@

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生談收獲的過(guò)程，就是讓學(xué)生自我評(píng)價(jià)的過(guò)程.學(xué)生的歸納、總結(jié)、表述能力都得到了訓(xùn)練.