高考數學幾個基本問題的再認識

【摘 要】要想輕松應對高考數學，需要反思幾個基本問題。教師應當對高考的屬性有所認識，仔細研讀考試說明，指導學生熟練掌握教材內容，從“四識”的角度研讀經典題型，對基本知識與技能達到“熟與細”的境界。

【關鍵詞】高考數學；應考分析；教學反思

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）35-0020-02

【作者簡介】葛軍，南京師范大學附屬中學（南京，210003）校長，教育學博士，南京師范大學兼職教授，碩士生導師。

縱觀現今高考數學的教與學，我們看到高中生學習數學的負擔并未減輕，而且近年來總有“好心人”借用我的名義談論如何應對高考，因此，我覺得有必要再與大家共同探討高考數學的幾個基本問題：高考考什么？我們當前在高考數學教與學中缺失的是什么？學生雖然做了大量的習題但見效不大的根源在哪兒？能否做到輕松迎考？

一、高考數學考試是屬于選拔性的考試還是結業考試？

要回答上面的諸多問題，首先需認識清楚高考數學考試是屬于選拔性的考試還是結業考試。若是后者，僅需設定一個達標分數線，至多再設一個“A”等第。當然也可以不設“A”等第，因為測試的是每個學生是否符合高中三年數學學習的基本要求，這樣的測試不需要在意區分度。若是選拔性考試，則需要側重于區分度，且要設計相對合理的階梯式區分要求。倘若既是結業考試又是選拔性考試，即兩者兼顧，則首先需要貫徹區分度。因為，如果不將區分度放在首位，會出現學生的數學成績可能都較高，但因平時數學學習水平不太高，導致學生不適應高要求的大學學習的狀況，這樣反而損傷了此類學生向上發展的趨向。因此，我希望大家對這個問題必須要有一個清醒而明確的認識。

二、高考數學考什么？怎樣考？

當有人說在“擼袖”搞高考數學應試時，我總以為大家懂得應試，即應對考試。所謂應對考試就是針對高考必考的知識點與方法進行有針對性和有效性的訓練。但在多次的交流中 我發現，不少人將“應試”一詞曲解了，曲解為反復地、大量地做練習（不需要考慮練習題質量的），曲解為搞“猜題押寶”等不恰當活動。

其實，對照江蘇省高中數學的教學要求以及考試說明，是容易知道相關考試內容的難度要求的。例如，填空題前6題，大概覆蓋了集合基本運算、簡單概率計算、統計知識（樣本關系、直方圖）、復數運算、流程圖、函數基本性質（單一性質的理解）、立體幾何中的體積計算等知識點。再如，解答題的第15題、第16題一定是簡單的基本題，且依據考試要求，其中的立體幾何題也是容易題，是期望所有的考生可以準確解答的問題。

如果仔細分析近年來考卷的問題設定特點，容易發現文理合卷160分的試題難度可以分為五級，第一級難度題是填空題的第1至第6題；第二級難度題是填空題的第7至第9題，解答題的第15題、第16題；第三級難度題是第10和11題，解答題的第17題；第四級難度題是第12、13題，第18題；第五級難度題是第14題，第19和20題，這里是從題目的整體性來說的。需要特別指出的是：第18題的前一半的問題、第19題與第20題中第一問的難度僅是第三級難度，一般僅需認真讀題，將題干中的基本數據代入便可得到解答。我在這里列出這樣的粗淺認識，只是想引發大家分析理解近年來的考卷，做到心中有數，有的放矢，我的認識并非完全合理，但可以作為參考，去指導不同的學生形成各自的答卷策略，以利于有效的高考應試（如：“先做會做的”“會做的一定要做對”），并取得最優的結果。

三、高考數學教學中存在著三大問題

首先，教材不知在何處。因近年來“學案”的大力推行，有些學生高中三年未將教材完整讀過一遍，書上定理公式未親自證過一遍，例題未做過一遍并對照規范解答驗視一遍，書上練習、習題未做過一遍；到了高三本應將上述“四個一遍”再做一遍的，可事實上這些學生卻將教材束之高閣，而做起了所謂的高考復習題。有的學生對教材不熟悉，一旦考不好，不是反思自己的學習方式，而是將怨氣撒到教材上，因此就有了燒教材的壞現象。

其次，心中無“經典”。若去問學生，請他回憶一道必考型的立體幾何證明題，不少學生未必可以順暢地說出。但愿高三數學教師是能夠順暢地說出一些題的。有的學生對經典題型的漠視已經到了麻木無知的地步，但同時又陷入了大量的“新題”題海之中，陷入了在一些“專家”的誤導之下追覓語義不詳、邏輯錯誤、人為拼湊的“創新”題中。若問學生，是否做過以往的高考題？一部分學生回答是做了，一部分回答是考過的題不是不考嗎，這還要做？若問：這樣的題做了幾遍？回答是一遍。還能回憶這些題是什么樣子嗎？得到的答案是記不得了。于是，我再無勇氣追問諸如“有幾種解法？”“涉及到哪些知識點？”“每個解法是如何想到的？”“是書上哪兩三道基本題整合而成的？”等等問題了。古人云，一事習得三遍熟！可懂得這樣道理的教師和學生卻不見得有很多。

最后，教師教學偏重題量而忽視“四識”。有的教師熱衷于讓學生大量地“認”題目，而缺乏熱情引導學生去“識”題目。教師的教學本應引導學生至少達成“四識”：一識規范解答；二識求解解法，這里所說的解法一定是基本的解法，不是人為刻意牽強的解法，這樣學生可以從中選擇適合自己的解法加以鞏固；三識解題關鍵、知識與方法；四識題是從哪里來的，或者說這道題是怎樣生成的，即要知道這一道題的變化，并進一步思考一般化的問題又該如何解決。雖然“讓學生多認些題”的初衷是好的，但是凡不在“識”的層面上的“認”，都只是暫時記憶的（甚至是瞬時的），是靠不住的，會讓學生吃盡題海的苦頭。更為可怕的是，學生在經歷了“怪題”（乃至“錯題”）的不良刺激后，難以分得清“怎樣的題才是高考題”，久而久之，出現了猜題押寶的消極心態，也就不足為怪了。

四、時下復習在乎“熟與細”

我們都知道一個道理：一道題做“透”了，要遠勝于做一百道題；判斷一個數學題是否是優質題，其標準是看它能否衍化出新類型的題來。但是，道理雖懂，我們卻未能落實到位。所謂落實到位就是努力精進，做到“熟與細”的地步。這里的“熟”，是指能用多種方式表述基本知識，能夠舉出若干容易的例子來說明基本方法的運用；對多種基本思路、基本解法都能明了于心。所謂的“細”，是指對于“簡單的性質、定理、例題、問題”的基本思路、基本環節需明晰，對基本過程的每一步表達都清楚、明白。要達到“熟、細”，需要不忘初心，回歸到關注經典題，做到題題有“四識”，步步有細節。

例如，一道經典的解析幾何題：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過橢圓左頂點A（-a，0）的直線l與橢圓交于Q，與y軸交于R，過原點與l平行的直線與橢圓交于點P，求證：AQ，■OP，AR成等比數列。

對于這道題目，一識正確解答，每個計算環節都應準確無誤。二識三種基本解法，解法一是代數解法、運算較繁；解法二可以利用平行性質將問題轉化為橫坐標之間的代數關系，運算簡捷；解法三可以利用橢圓的參數方程進行三角運算。三識基本知識與方法，本題包含的基本知識與方法有二次方程根與系數的關系、兩根之差與系數的關系、整體運算、參數方程、三角運算、平行線性質等。四識習題的本質，此題本質是直線與二次曲線的關系，解題中需要兩次思考這樣的關系，學生需要有“同理”的思維意識（“同理”的思維意識是必考的）。關于此題的一般性思考有：是否在其他頂點都有類似的結論？若是不過頂點，而是經過x軸上一點的直線，結論如何呢？反過來呢，即滿足結論的直線有幾條？等等。在此思考的過程中，就可以產生新的有意義的試題了。上述的解析幾何題，可以認為是高考解析幾何中中檔偏上難度的問題。

再如，一道經典的函數題：設函數f（x）=ex-1-x-ax2，（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調區間；（Ⅱ）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍。

對于這道題目，一識此題的解答：（Ⅰ）a=0時，f（x）=ex-1-x， f′（x）=ex-1。當x∈（-∞，0）時， f′（x）<0；當x∈（0，+∞）時， f′（x）>0。故f（x）在（-∞，0）單調減少，在（0，+∞）單調增加。（Ⅱ）f′（x）=ex-1-2ax，由（Ⅰ）知ex≥1+x，當且僅當x=0時等號成立，故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而當1-2a≥0，即a≤■時，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0。于是當x≥0時，f（x）≥0。由ex>1+x（x≠0）可得，當a>■時， f′（x）

二識此題的第二種基本解法，即對函數g（x）=f′（x）=ex-1-2ax求導，即g′（x）=ex-2a（x≥0），這里g（0）=0，接著通過g′（x）的正負性推得g（x）的單調性，進而得到g（x）的正負性，從而推得f（x）的正負性（讀者可以嘗試寫出此解法的完整解答）。

三識基本知識與方法。在此題解答的過程中，利用了基本不等式ex≥1+x，這是高考必考的知識點，在解法一中運用此不等式進行了估算，將-x用e-x-1來放縮，這是一個基本的代換手法。在解法二中，認識到導函數依然是一個新的函數，可以繼續求導數，從而逐步逆推得到答案。連續求兩次導數，這也是高考函數解答題中要求的，熟悉這兩個解法，就可以把握高考中此類問題了。

四識此類題的變化，如在2017年的江蘇考試說明中類似的問題，除了復雜性以外，其基本思路是相同的。

限于篇幅，僅給出上述兩例，權當拋磚引玉。教師和學生只要“熟、細”解答與題根，掌握變化的道理和思路，就可以堅定信心，坦然面對各類變化，展現所學，輕松迎考。