高中數(shù)學(xué)中數(shù)列求和問題的探究

王小麗　王鑫

摘 要：數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，等差數(shù)列和等比數(shù)列有固定的求和公式，其余大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。

關(guān)鍵詞：學(xué)生；知識；數(shù)學(xué)思想

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的作用，在高考中不僅會(huì)通過小題考查該知識點(diǎn)，大題也常常會(huì)出現(xiàn)，數(shù)列的解法雖然復(fù)雜但并不難，往往都有相似的題型可以參考，掌握數(shù)列的題型是我們能夠正確解題的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上舉一反三才能融會(huì)貫通，遇到題目不慌不忙找出正確的解題思路。下面，我們從高考數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)競賽試題出發(fā)，來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。

一、利用等差、等比數(shù)列求和公式

這是數(shù)列求和的基礎(chǔ)所在，數(shù)列求和的主要公式可以分為三大類：等差數(shù)列求和公式、等比數(shù)列求和公式、常用的數(shù)列求和公式，為更復(fù)雜的題目打好基礎(chǔ)：

例1：已知log3x= ，求x+x2+…+xn+…的前n項(xiàng)和。

首先通過log3x= 解得x= 。

由等比數(shù)列求和公式x+x2+…+xn+…

Sn=x+x2+…+xn+…= =1-

二、錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減主要是用于等差數(shù)列等比數(shù)列相乘的一個(gè)情況an？鄢bn，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)對數(shù)列進(jìn)行變化，構(gòu)造相同項(xiàng)。

例2：求和：Sn=x+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1……1

解：由題目可知，（2n-1）xn-1是2n-1等差數(shù)列和xn-1 等比數(shù)列的通項(xiàng)之積。

設(shè)xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn……2用1-2可以得到

（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-（2n-1）xn （錯(cuò)位相減）

最后利用等比公式求和：（1-x）Sn=1+2x？鄢 -（2n-1）xn

所以得到Sn=

三、反序相加法求和

這個(gè)方法主要是將一個(gè)數(shù)列倒過來排序，將這個(gè)倒過來的數(shù)列與原數(shù)列相加，就可以得到一個(gè)n倍的（a1+an）。

例3：求證c0n+3c1n+5c2n+…+（2n+1）cnn=（n+1）2n

證明：設(shè)Sn=cn0+3cn1+5cn2+…+（2n+1）cnn……1，利用cmn= cnn-m將1式右邊調(diào)轉(zhuǎn)過來得Sn=（2n+1）c0n+（2n-1）c1n+…+3cnn-1+cnn ……2，將式1與式2相加得到2Sn=（2n+1）（c0n+c1n+…cn-1n+cnn）=2（n+1）？鄢2n，所以Sn=（n+1）2n

四、分組相加法求和

分組求和法是應(yīng)用于既不是等差也不是等比的數(shù)列，但是通過適當(dāng)?shù)牟鸱挚梢詫⒃摂?shù)列分為等差和等比數(shù)列，再利用公式分別對這些變量求和，最后加總到一起。

例4：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1， +4， +7，… +3n-2，…

解：設(shè)Sn=（1+1）+（ +4）+（ +7）+…+（ +3n-2）將每一項(xiàng)拆開重新組合可以得到Sn=（1+ + +…+ ）+（1+4+7+…+3n-2） 當(dāng)a=1時(shí)，Sn=n+ = ，當(dāng)a≠1時(shí)，Sn= + = + 。

五、裂項(xiàng)相消法求和

裂項(xiàng)相消是將每一項(xiàng)分解再重新組合，再分解的過程中可以消去部分項(xiàng)，再將最后的部分加總。

例5：求數(shù)列an中，an= + +…+ ，又bn= ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和。

解：an= + +…+ = ，得到bn= = =8（ - ）數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=8[（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]=8（1- ）=

六、分段求和法（合并法求和）

分段求和是因?yàn)閿?shù)列中部分項(xiàng)合并在一起可能會(huì)有特殊的性質(zhì)。

例6：數(shù)列an：a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an+1-an，求S2002。

解：設(shè)S2002=a1+a2+a3+…+a2002由a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an-1-an，可得a4=-1，a5=-3，a6=-2…

七、利用數(shù)列通項(xiàng)法求和

根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)找出數(shù)列的特征，再根據(jù)這些特征利用公式求解。

例7：求1+11+111+…+111…1之和

解：可以將111…1=

原式1+11+111+…111…1

以上就是數(shù)列求和的全部方法，數(shù)列求和的技巧看起來可能略多，不好理解，甚至解題之后會(huì)出現(xiàn)對應(yīng)不起來的現(xiàn)象。但只要多做，做完題目后多多思考，多與案例相聯(lián)系，就一定能夠熟練掌握，在考場上做到不慌不忙，運(yùn)籌帷幄。

參考文獻(xiàn)：

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？誗編輯 李建軍