“導演”激發“演員”的“表演”熱情，探究式教學案例

王玉秀

學生是學習的主體，只有讓主體發揮能動性，學習才能精彩。如何發揮學生的能動性？老師要從演員退居到幕后，而作為導演的我們如何讓演員演好戲，那就要適時地對演員予以肯定并加以指導。

一、教學案例描述

問題1.數列的前4項為： ， ， ， 。求數列的通項

公式。

學生：易知此數列中的項是分數，且分子都是2，分母依次組成等差數列，從而得an= 。

老師：這位同學非常好地運用了“通過前幾項排列的規律，獲知第n項結果”這種從具體到一般的數學思想方法，完成得很

精彩。

（話鋒一轉）但我總有這么一種擔心，a5是不是仍符合前四項的這個規律？

學生：我算過a5= 老師：那a6呢？（靜觀學生中的反應）然后a7呢？

應該承認，以后的項是否仍有這樣的排列規律，的確不知，在沒有找到這樣的保證之前，這位同學的結果，只能算是對an的一個猜測。

老師：你們都確信an= 是正確的嗎？

學生：是。

老師：這只是我們通過數列的前四項得到的數列通項的猜想，正確與否，必須要給出證明。

老師小結：在數列問題中，算前幾項，猜后面的項是行之有效的解決方法。請大家看下面一道題。

問題2.數列{an}中，a1=4an=2an-1-1（n∈N*，n>1），求an。

老師：能不能先求出幾項，找找規律？

學生興奮地求解：a1=4，a2=7，a3=13，a4=25，a5=49。有規律嗎？

突然一個學生大叫：老師，我找到規律了！前四項的每一項減1后分別為3，6，12，24，48它們成等比數列。

老師：這位同學回答得很好，規律找得很準確。但是是不是所有的項都符合這個規律呢？

學生思考了兩分鐘，又一學生高呼：老師，我能證明。

學生在黑板板書：an=2an-1-1∴an-1=2an-1-2∴an-1=2（an-1-1）。

老師：以上公式說明了什么？

學生：{an-1}是以3為首項，2為公比的等比數列。

老師：讓我們為自己的努力和發現鼓掌吧。

老師小結：對于符合an=kan-1+b的數列{an}，我們可以通過構造等比數列求解。問題3.已知數列{an}的前n項之和Sn=2n-2n，

求an。

給予學生適當的思考時間后，開始交流和討論，匯報他們的所做所得。

老師：是不是與上題一樣，也通過算幾項，猜一猜？

學生：是。

老師：好！那么a1=？a2=？a3=？a4=？

學生：a1=0，a2=0，a3=-2，a4=-8

（老師在算法上有意識地征求大家的意見，并在a1、a2、a3、a4的值旁注上所獲得的最佳探求過程：a1=S1，a2=S2-S1，a3=S3-S2，a4=S4-S3。）

老師：根據前四項的數值，很難找出其中排列的明顯規律（上一題的方法）。請大家開拓思路，擴大觀察的視野。

學生：從算的式子看，可以得到規律：an=Sn-Sn-1，進而得an=2-2n-1。

老師：太好了！先猜測列出的會是什么樣的式子，進而推測出會有的結果，學會分步完成非常好！對這個猜測的結果，大家有沒有異議？

學生：n=1時，不是這個形式，而是a1=S1，因而要分類寫。

老師：也就是an=2-2n-1（n≥2，a1=0）

學生：對。

老師：這個結果當然仍是猜測，想想怎么證明？（一會兒后）其實也非常容易證明：Sn=a1+a2+…+an-1+an，Sn=a1+a2+…+an-1（n>1），就可以推出Sn-Sn-1=an（兩式相減），而n=1時，a1=S1顯然不適合！

老師小結：本例獲得了數列前n項和與通項之間的關系an=2-2n-1，這很重要，希望同學們重視，并學會應用。也留一個題，供大家課后練習：

已知數列{an}滿足下列條件a1+2a2+3a3+…+nan=5-2n求an。

問題4.求數列1，3，7，13，21，…的一個通項公式。

老師提示：相鄰兩項的差有沒有規律？

學生運算后回答：有。

學生黑板板書：a2-a1=3-1=2，a3-a2=7-3=4，a4-a3=13-7=6，

……

an-an-1=2（n-1）

老師：我們由上面的n-1個式子如何求通項公式？

學生：以上n-1個等式左右兩邊分別相加。

學生板書：an-a1=2[1+2+3+…+（n-1）]=（n-1）n，

∴an=n2-n+1。

老師：我們的解答有什么問題嗎？學生思考：n=1時，要檢驗a1=1是否適合上式。

老師小結：若數列{an}滿足an+1-an=f（n）（n∈N*），其中{f（n）}是易求和數列，那么可用累差法求an。我們應驗證n=1時a1=1適合an=n2-n+1式。

二、案例反思

在本案例實施過程中有的學生活動積極性不高，這些學生多為成績較差者，他們長期形成了悲觀的學習態度，針對這些學生，可建立一個小檔案，把他們每一天的進步都記錄下來，讓他們看到自己的進步，體會到學習的樂趣，重新樹立學習的自信；在活動中多開展分組討論的環節，通過交流加深自己對問題的理解和印象，同時鍛煉自己的表達能力和掌控能力。

教師從演員變為導演對學生的發展至關重要，學生能力的提升，靈魂的升華，對數學的理解，學習數學興趣的提高都在這一轉變中得到實現。同時教師本身對數學藝術的理解也會加深，何樂而不為呢？

編輯 李建軍