分類討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是離不開思維的，數(shù)學(xué)探索也同樣需要通過思維來實(shí)現(xiàn)。分類討論是中學(xué)階段很重要的一種數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生解題的重要方法。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 分類討論 數(shù)學(xué)思想

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）21-0116-02

分類討論，是一種常用的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。在解題過程中，正確、合理的分類，能達(dá)到化難為易、分而治之的目的。

一、 分類討論的定義

分類討論思想又稱“邏輯化分思想”，它是指在解決一個(gè)問題時(shí)，無法用同一種方法去解決，而需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問題，從而使問題得到解決的一類數(shù)學(xué)方法。分類討論是各地近年來中考熱點(diǎn)，相關(guān)習(xí)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點(diǎn)，幾乎貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)。它主要分布在：數(shù)與代數(shù)（ 概念分段定義； 公式、定理、法則分段表達(dá)；實(shí)施某些運(yùn)算引起分類討論；含參方程或不等式）；幾何（圖形位置不確定；圖形形狀不確定）；其他（題設(shè)本身有分類）。

二、分類討論的原理及作用

通常所說的數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將被研究的對(duì)象按特征分為若干類別，并對(duì)它們進(jìn)行討論，以此來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。分類討論需要的是，實(shí)踐運(yùn)用它來解決生活學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)問題。分類討論對(duì)學(xué)生的知識(shí)面和分析能力、分類技巧有一定的要求，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力考察也有重要的促進(jìn)作用。

三、 分類討論的原則

1.同一性原則

按照同一種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，即在分類中不能同時(shí)使用好幾個(gè)不同的分類根據(jù)。

例1：實(shí)數(shù)的分類

分析：有同學(xué)會(huì)把實(shí)數(shù)分成正數(shù)、負(fù)數(shù)、0、無理數(shù)、有理數(shù)這幾種。這樣的分類就不正確了，因?yàn)檫@樣的分類使用了按實(shí)數(shù)的定義和按正負(fù)性這兩個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)。事實(shí)上，無理數(shù)可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；而無理數(shù)可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；有理數(shù)也是。

2.互斥性原則

分類后不能有既屬于這個(gè)子項(xiàng)的，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)的項(xiàng)。上面的例1也違反了這個(gè)原則。例如3，它既是有理數(shù)，也是正數(shù)；既是負(fù)數(shù)，也是無理數(shù)。

3.多層次性原則

分類有一次分類和多次分類的區(qū)分。一次分類是指對(duì)被討論對(duì)象只進(jìn)行一次分類；而多次分類是指把分類之后得到的每一個(gè)子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類，一直分到不能再分為止。

四、分類討論的具體步驟

1.首先確定分類的對(duì)象

2.其次明確分類的標(biāo)準(zhǔn)

3.接下來逐級(jí)分類

4.注意用該級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)來對(duì)篩選結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)

5.最后進(jìn)行歸納，并得出結(jié)論

五、分類討論的幾種基本類型

1.與數(shù)或式有關(guān)的分類討論

（1）實(shí)數(shù)分類、絕對(duì)值及其算術(shù)平方根

（2）與函數(shù)及其圖象有關(guān)的分類討論 ：如變量的取值范圍、增減性

（3）含參數(shù)的不等式

（4）涉及問題中待定參數(shù)的變化范圍的分類討論。

（5）含參數(shù)的方程

例2：已知：方程有實(shí)數(shù)解，求a的取值情況。

分析： 這題要分類討論，分a=0和a≠0兩種情況 。如果題目已知說明了該方程為一元二次方程，那么只要考慮a≠0這種情況。

2.三角形中的分類討論

（1）與等腰三角形有關(guān)的分類討論：在等腰三角形中，無論邊還是頂角、底角不確定的情況下，要分情況求解，有時(shí)還要從鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形這三方面來分別討論解決（特別碰到跟三角形的高有關(guān)的題目）。

1）與角有關(guān)的分類討論

2）與邊有關(guān)的分類討論

3）與高有關(guān)的分類討論

（2）與直角三角形有關(guān)的分類討論：在直角三角形中，如果沒有指明哪條邊是直角邊、斜邊，這就需要根據(jù)實(shí)際情況來分類討論；角的情況類似。

（3）與相似三角形有關(guān)的分類討論

1） 對(duì)應(yīng)邊不確定

2）對(duì)應(yīng)角不確定

例3：已知等腰三角形的一邊長等于5，另一邊長等于6，求它的周長。

分析：此題的背景是等腰三角形，邊長分成兩類：腰與底。這題同時(shí)還要注意：分類討論完，需判斷三線能否構(gòu)成一個(gè)三角形。

變式1：已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為25°，求這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)。

變式2：已知，如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（16，0），C（0，6），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長為8的等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________________________________。

例4：等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為65°，求此等腰三角形的頂角的度數(shù)。

分析：此題涉及到三角形高的問題，需從三個(gè)方面（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）來進(jìn)行分類討論。

變式：已知三角形的兩邊長分別為10cm和15cm，第三邊上的高為7cm，求這個(gè)三角形的面積。

3.圓中的相關(guān)分類討論

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不確定

（2）弦所對(duì)弧的優(yōu)劣情況不確定

（3）兩條弦與直徑位置不確定

（4）直線與圓的位置關(guān)系不確定

例5：A、B是圓O上的兩點(diǎn)，且∠AOB=106°，C是圓O上不與A、B重合的任意一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)是_____________。

分析：點(diǎn)C與圓O的位置關(guān)系不確定而分類討論

變式：已知圓O的半徑為5cm，AB、CD是圓O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，則AB和CD之間的距離是________________。

注：用分類討論思想解決問題須保證科學(xué)分類，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，并力求最簡。

六、增強(qiáng)分類的意識(shí)

分類討論思想是中學(xué)階段很重要的數(shù)學(xué)思想方法，但是初中生的分類討論討論意識(shí)還不夠強(qiáng)。這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)中通過結(jié)合教材、創(chuàng)設(shè)情景、啟發(fā)誘導(dǎo)等方式來刺激學(xué)生，從而培養(yǎng)他們自覺應(yīng)用分類討論的意識(shí)。

總之，分類討論的數(shù)學(xué)方法，可使學(xué)生運(yùn)用已知條件進(jìn)行開放性猜想，深化對(duì)知識(shí)的理解，也培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)密性和創(chuàng)造性。在平時(shí)的教學(xué)中，特別是中考復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)對(duì)“分類討論”的數(shù)學(xué)思想要逐步滲透，從而提高解題能力。

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作者簡介：陳赟（1989-），女，漢族，福建福州人，學(xué)士，職稱（中學(xué)數(shù)學(xué)二級(jí)教師），工作單位：福建省福州第十中學(xué)。