分類討論在數學教學中的應用

【摘要】數學學習是離不開思維的，數學探索也同樣需要通過思維來實現。分類討論是中學階段很重要的一種數學思想，是學生解題的重要方法。

【關鍵詞】初中數學 分類討論 數學思想

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）21-0116-02

分類討論，是一種常用的數學思想，也是一種重要的數學邏輯方法。在解題過程中，正確、合理的分類，能達到化難為易、分而治之的目的。

一、 分類討論的定義

分類討論思想又稱“邏輯化分思想”，它是指在解決一個問題時，無法用同一種方法去解決，而需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，從而使問題得到解決的一類數學方法。分類討論是各地近年來中考熱點，相關習題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點，幾乎貫穿于整個中學數學。它主要分布在：數與代數（ 概念分段定義； 公式、定理、法則分段表達；實施某些運算引起分類討論；含參方程或不等式）；幾何（圖形位置不確定；圖形形狀不確定）；其他（題設本身有分類）。

二、分類討論的原理及作用

通常所說的數學分類討論方法，就是將被研究的對象按特征分為若干類別，并對它們進行討論，以此來解決問題的一種數學方法。分類討論需要的是，實踐運用它來解決生活學習中的數學問題。分類討論對學生的知識面和分析能力、分類技巧有一定的要求，對學生的學習能力考察也有重要的促進作用。

三、 分類討論的原則

1.同一性原則

按照同一種標準進行分類，即在分類中不能同時使用好幾個不同的分類根據。

例1：實數的分類

分析：有同學會把實數分成正數、負數、0、無理數、有理數這幾種。這樣的分類就不正確了，因為這樣的分類使用了按實數的定義和按正負性這兩個分類標準。事實上，無理數可以是正數，也可以是負數；而無理數可以是正數，也可以是負數；有理數也是。

2.互斥性原則

分類后不能有既屬于這個子項的，又屬于另一個子項的項。上面的例1也違反了這個原則。例如3，它既是有理數，也是正數；既是負數，也是無理數。

3.多層次性原則

分類有一次分類和多次分類的區分。一次分類是指對被討論對象只進行一次分類；而多次分類是指把分類之后得到的每一個子項作為母項，再進行分類，一直分到不能再分為止。

四、分類討論的具體步驟

1.首先確定分類的對象

2.其次明確分類的標準

3.接下來逐級分類

4.注意用該級的標準來對篩選結果進行檢驗

5.最后進行歸納，并得出結論

五、分類討論的幾種基本類型

1.與數或式有關的分類討論

（1）實數分類、絕對值及其算術平方根

（2）與函數及其圖象有關的分類討論 ：如變量的取值范圍、增減性

（3）含參數的不等式

（4）涉及問題中待定參數的變化范圍的分類討論。

（5）含參數的方程

例2：已知：方程有實數解，求a的取值情況。

分析： 這題要分類討論，分a=0和a≠0兩種情況 。如果題目已知說明了該方程為一元二次方程，那么只要考慮a≠0這種情況。

2.三角形中的分類討論

（1）與等腰三角形有關的分類討論：在等腰三角形中，無論邊還是頂角、底角不確定的情況下，要分情況求解，有時還要從鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形這三方面來分別討論解決（特別碰到跟三角形的高有關的題目）。

1）與角有關的分類討論

2）與邊有關的分類討論

3）與高有關的分類討論

（2）與直角三角形有關的分類討論：在直角三角形中，如果沒有指明哪條邊是直角邊、斜邊，這就需要根據實際情況來分類討論；角的情況類似。

（3）與相似三角形有關的分類討論

1） 對應邊不確定

2）對應角不確定

例3：已知等腰三角形的一邊長等于5，另一邊長等于6，求它的周長。

分析：此題的背景是等腰三角形，邊長分成兩類：腰與底。這題同時還要注意：分類討論完，需判斷三線能否構成一個三角形。

變式1：已知等腰三角形的一個內角為25°，求這個等腰三角形的頂角度數。

變式2：已知，如圖所示，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（16，0），C（0，6），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為8的等腰三角形時，則點P的坐標為___________________________________。

例4：等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為65°，求此等腰三角形的頂角的度數。

分析：此題涉及到三角形高的問題，需從三個方面（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）來進行分類討論。

變式：已知三角形的兩邊長分別為10cm和15cm，第三邊上的高為7cm，求這個三角形的面積。

3.圓中的相關分類討論

（1）點與圓的位置關系不確定

（2）弦所對弧的優劣情況不確定

（3）兩條弦與直徑位置不確定

（4）直線與圓的位置關系不確定

例5：A、B是圓O上的兩點，且∠AOB=106°，C是圓O上不與A、B重合的任意一點，則∠ACB的度數是_____________。

分析：點C與圓O的位置關系不確定而分類討論

變式：已知圓O的半徑為5cm，AB、CD是圓O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，則AB和CD之間的距離是________________。

注：用分類討論思想解決問題須保證科學分類，標準統一，并力求最簡。

六、增強分類的意識

分類討論思想是中學階段很重要的數學思想方法，但是初中生的分類討論討論意識還不夠強。這就需要教師在平時的教學中通過結合教材、創設情景、啟發誘導等方式來刺激學生，從而培養他們自覺應用分類討論的意識。

總之，分類討論的數學方法，可使學生運用已知條件進行開放性猜想，深化對知識的理解，也培養了學生思維的靈活性、嚴密性和創造性。在平時的教學中，特別是中考復習時，應對“分類討論”的數學思想要逐步滲透，從而提高解題能力。

參考文獻：

[1]全日制義務教育課程標準（實驗稿），北京師范大學出版社.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2012-01.

[3]彭林，刁衛東.中考數學命題熱點與規律探折，中小學數學，2001專刊.

[4]王燕春.學會分類方法，提高分類意識，中學生數學， 1998.5.

[5]李彩芬.精心設計數學思想實驗，中學數學教學參考，2003.5.

作者簡介：陳赟（1989-），女，漢族，福建福州人，學士，職稱（中學數學二級教師），工作單位：福建省福州第十中學。