數形結合，活躍思維

顧利群

[摘 要] 作為數學學科中最基礎且最古老的研究對象，數與形兩者之間存在一定聯系，故而可以進行相互轉化?？紤]到這一特點，教師可巧妙導入數形結合法開展具體教學，將學生帶入到探究活動中，以“數形轉換”活躍思維、發展思維，以提升學生數學思辨及運用能力。

[關鍵詞] 初中 數學教學 數形結合法 思維 策略 效果

傳統初中教學課堂中，數學教師將教學重點聚焦到提高學生應試成績上，認為提高成績就是學生進步發展的表現，并未關注到學生數學思辨能力發展、情感意志提升等高階層面發展。自新課改以來，教師對學生思維能力發展的認識及關注度有所提升，也在致力于創新教學方式，以更好地活躍及發展學生思辨能力。數形結合法是構建在“數”與“形”兩者可相互轉化的體系上[1]，以因材施教、循序漸進原則實施教學，引導學生善于找出并掌握知識之間的通法與通性，從不同維度、不同形式思考，以最終掌握知識的本質。數學教師可在授課中可引入數形結合法，以數形結合，活躍思維，提升教學成效。

一、數形結合法的基本定義及其在初中數學教學中的作用

數形結合是一種數學思想，強調在一定前提下，“數”與“形”兩者之間可互相轉換。數學家華羅庚是這樣表述，“數形結合萬般好，隔裂分家萬事非”[2]，道出兩者不可分割的關系。通過“以數解形”“以形助數”將抽象的數量關系、數學語言與形象的位置關系與幾何圖形有機整合在一起，化繁為簡、化抽象為具體，以優化數學知識理解及難題解答。具體而言，數形結合可大致上分為以下兩種情形：其一，以幾何圖形的直觀性闡明數量關系，即“以形助數”；其二，以精準的數量闡明形的屬性，即“以數解形”。一般情況下，數學中某些圖形過于簡化，通過肉眼無法觀察出規律，需引入角度、邊長等圖形賦值，以更好地了解并掌握數學知識。

初中數學教學課程內容比較抽象，尤其是幾何圖形，大部分學生很難自行在腦海中形成生動且直觀的圖形形象，自然也不能有效理解幾何知識，無法掌握一定的解題思路。換種角度進行闡述，即便是應對比較簡單的幾何平面知識，初中生也很難著手進行操作。比如在《勾股定理》一課授課中，傳統教學中，教師多一遍帶過“勾股定理”的概念及其意思，然后即刻讓學生運用相關知識進行問題解答。此時，學生尚未對“勾股定理”形成較為全面的認知，很難通過簡單圖形聯系其勾股定理。若教師在教學中引導學生在圖形中標準出賦值“邊長”，可降低思維難度，通過數形結合將抽象圖形轉變為數字化信息，隨即進行運算、判斷即可?？傊?，數形結合可將抽象思維轉變為具象且直觀形象，大大降低理解難度，便于學生進行理解、解答。

二、數形結合法在初中數學教學中的運用策略

由前文可知，數形結合是重要的數學思想，是幫助學生理解、內化以及運用數學知識的思想手段。為此，初中數學教師可在全面掌握本班學生實際學情前提下，深入探究教學內容，巧妙導入數形結合教學，以數形結合，活躍學生思維以及思辨意識，以提升其綜合能力。

1.滲透“數形結合”理念，化生為熟

經由一段時間的學習及發展，初中生的信念、興趣、動機等個體傾向性以及性格、能力以及氣質等心理特征都漸趨于成熟。然而，受知識、經驗、認知及感知能力不足的限制，初中生在階段性接受數學學習時仍無法根據個人能力進行直觀想象及思考，尤其是在應對幾何圖形時。由此可見，導入數形結合教學至關重要[3]。授課設計中，教師應考慮整個教學內容的安排對學生的意義，分清不同環節對學生的不同作用，站在學生角度進行分析，探索出學生知識習得的過程，體現其情感及數感意志，巧妙滲透數形結合理念，提升教學成效。具體實踐中，教師應就最近發展區為切入點，在數學思想與方法教學中導入數形結合理念，以培養學生數學思維，化生為熟。

以蘇教版初中數學教材為例進行說明，首先在七年級（上）《余角、補角、對頂角》一課中，教師在教學設計中應明確“余角”“補角”“對頂角”的概念及性質，讓學生深刻掌握基礎知識，然后引入具體圖形讓學生帶動原有知識進行觀察、思考、分析及推理，以加深對知識的理解。授課實踐中，教師可首先引出意大利比薩斜塔相關知識，以比薩斜塔導入教學，激發學生學習能動性及積極性，讓學生對“角”有進一步的認知及了解。

A

OA為斜塔，B表示影子，∠AOB=80°

O B

（圖一）

視頻播放后，教師可具體運用圖形、符號以及文字符號講解“余角”與“補角”的定義及性質，圖形文字如圖（一）。教師將斜塔相關特性轉化為具體、直觀的圖形及數字信息，以直觀形象刺激學生大腦神經，便于學生更好地理解并內化知識。為更好地引導學生進入學習思考狀態，教師可引出“就圖示得，比薩斜塔傾斜的角度是多少？”“邊OA與AB成的角是多少度？”等提問，自然引出本文的主題“余角”“補角”，并強化余角與補角的性質。通過直觀的圖形與數字，學生對“余角”“補角”的認知就不局限于教師以往的“照本宣科”講解，而是經由數形結合，自主投入更多時間進行探究、思考、交流，帶著“余角是什么概念，那具體表現在哪里呢？”這樣的疑問對圖形信息進行整合、分析，而最終理解知識概念。

2.引導“數形結合”操作，化繁為簡

所謂“授人以魚不如授人以漁”，同樣道理運用到初中數學數形結合教學中亦如此?！皵敌谓Y合”是一種數學思想，而只有將思想投入實踐，才可真正體現其價值及意義，學生數學學習成效也自然隨之上升。具體實踐中，教師應引導學生善于調動原有知識求解新知識、利用熟知問題解決陌生問題，以真切掌握“數形結合法”，逐步養成發現真理、認識世界的科學素養。引導學生進行數形結合操作，對培養其思維能力、促進其終身發展至關重要。建構在富于創意與動感的圖形上，加上簡潔清晰的數字語言，學生可更加深切體驗到數形結合的價值所在，養成善于觀察、善于動手操作的習慣，在短時間篩選關鍵信息，并作出聯想反應。

比如在《探索三角形全等的條件》章節授課中，教師應組織學生自主進行操練、推理、總結，以數形結合深化知識。在上一下節課程學習中，學生已學習到全等圖形、全等三角形的知識，自然對圖形全等大體上有一個概念。全等三角形這一知識點密切關系到直角三角形、等腰三角形、角平分線，通過讓學生動手進行操作，可培養其邏輯思維、推理論證的能力。因而在本章教學中，教師可按照“提問——操練——思考——總結”程序進行教學，首先以“什么條件下可實現三角形全等？”為題讓學生動手進行描圖推理，以數形結合進行觀察分析。傳統教學上，教師多直接引出“邊邊邊”判定標準，然后直接拿出習題進行練習。在此，教師可引導學生描出三角形，并分別給邊或角賦值，以具體數據進行判定，讓學生在實驗中練習、在練習中犯錯、在錯誤中更正，以最終對知識形成自我思維框架。隨后，教師可根據學生情況進行評價分析，并引出“按要求作圖：三個角均為60°；以90°、60°、30°為內角”習題操作，讓學生自主完成，并在數形結合中得出全面認知?？傊?，教師與其“滔滔不絕”“苦口婆心”進行講解，倒不及讓學生自主參與到數形結合練習中，養成以數形結合進行學習及解答的意識，掌握適合自己的學習方法，才可真正提升教學成效。

3.把握“數形結合”精髓，解難答疑

數學知識邏輯性、系統性更強，數學概念及定律是經前人在大量實驗探究基礎上，運用簡練語言進行表述而來。看似簡單的一言概之，實際上數學概念蘊藏豐富的知識及內涵，僅憑字面意思是無法真正體會其價值。另外，數學習題或考試中，題干設計的語言也比較簡練，“三言兩語”下實際考查的內容比較多?！皵敌谓Y合”，顧名思義就是“數”與“形”的結合，只要找出一定的數量關系，然后就具體數量進行描圖分析，大體上就可掌握知識或題干的關鍵信息。為此，教師在教學中不可籠統性講解概念，而應讓學生運用數形結合法深入到知識理解中，透過現象抓住本質，以解難答疑。

比如在《弧長及扇形的面積》一節教學中，教師需以數形結合法進行教學，引導學生一同參與到“弧長與扇形面積公式推導及運用”學習活動中，以強化其知識認知。面積公式運算是適合數形結合法的典型問題，學生首先明確具體的圖形，然后標識出相關的參數或指標，并考量不同參數之間的關系，最后將具體數值代入分析，如此便可更好地解難答疑，準確且快速計算出答案。數學是“數”與“形”的綜合體，抓好這兩個點就可找到問題解決的突破口[4]。引出例題：已知弧長為8，弧半徑為9，求弧所對圓心角=（ ）。學生第一反應應該是“這類型題目應該使用數形結合法進行解答”，然后鎖定關鍵信息“弧長”“半徑”，確定求值是“圓心角”，描出“圓”，并一一將相關參數標識在圖形上，即可一目了然地掌握題干信息，最后引出公式進行運算即可。圓中，圓心角、弧長與半徑三者關系并非一成不變的，任一參數發生變化，其余兩者也會隨著發生改變。只有通過描圖，以數形結合更為直觀展示變量參數之間的關系，刺激學生大腦思維進行思考，將所學知識真真切切運用到問題解答中。傳統教學中，教師“苦口婆心”反復講解公式運算，反復且大量刺激可一定程度上有助于學生記憶公式，但學生一下課就忘記所學知識是普遍性存在的現象。引入數形結合法教學，可活躍學生思維，真切刺激其大腦神經進行思考、分析、推斷，如此學習狀態下，學生才是真正學習到知識。

三、結語

綜上所述，數形結合是重要的數學思想，是培養及發展學生創新思維的有力途徑。為此，初中數學教師在教學中應堅持因材施教、循序漸進原則，善于實施數形結合教學的同時，引導學生進行數形結合的練習，讓其進行自主探究學習，把握住精髓，抓住題干關鍵信息，以數形結合明確變量間的關系，發展思維能力，提升綜合素養。

參考文獻：

[1]陳遵志.數學核心素養理念下的初中數學課堂教學實踐探索[J].福建教育學院學報，2017（02）：63.

[2]周翠萍.讓創新成為學習的不竭動力——初中數學創新思維培養途徑思考[J].讀與寫雜志，2017，14（04）：100.

[3]常勝彪.淺議初中數學教學中學生創新精神與實踐能力的培養[J].學周刊，2017（15）：115.

[4]李國和.淺談數形結合方法在初中數學教學中的應用[J].中國校外教育（中旬刊），2015（03）：101.