以“數學品格”為核心的數學素養導向

邵興華

摘 要：作為一種“看不見的手”，數學品格牽引著學生的數學思維，決定著學生的數學思想方法，在數學核心素養中居于核心位置。在小學數學教學中，教師必須重視學生數學品格的涵育。只有關注學生數學品格的涵育，才能讓學生形成完整的數學核心素養。

關鍵詞：數學品格；核心素養；教學導向

福建師范大學教授、博士生導師余文森先生指出，“核心素養是最關鍵、最重要、不可缺的素養?！本蛿祵W學科而言，其核心素養應該涵涉數學核心知識、能力與品格。在相當長的時間內，知識和能力始終居于主角位置而備受關注，品格作為配角則鮮有提及。一方面固然是因為人們關注應試，如考試、考分等；另一方面，則是因為人們往往只看到顯性的、短期的實際功用，而忽略了內在、隱性、無形、長效之物。這長效之物就是數學之品格。在一個人的問題解決與學習生活過程中，數學品格猶如一只“看不見的手”，牽引著數學思維，決定著數學思想方法。在數學核心素養范疇中，品格應該居于核心位置。那么，在數學教學中，如何培養學生的數學品格呢？

一、問題解決，奠定數學品格之基礎

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中將數學從雙基拓展為四基，相對于雙基，四基更強調學生的問題解決能力，即學生運用數學知識提出問題、分析問題和解決問題的能力?？梢姡瑔栴}解決能力不是解決問題能力，更不是解題。問題解決能力是學生能夠經歷從發現問題到提出問題一直到解決問題的全過程。在問題解決過程中，學生能夠積淀豐富的數學活動經驗，形成數學的基本思想方法。問題解決的本領從何而來，從“數學化”來。數學化是荷蘭著名數學家弗賴登塔爾的觀點。弗賴登塔爾認為，數學化包括橫向數學化和縱向數學化，所謂“橫向數學化”，就是學生將生活問題轉換成數學問題，著名的七橋問題就是歐拉橫向數學化的著名例子。所謂“縱向數學化”是在數學世界里對符號進行模塑、使用。不難看出，橫向數學化依靠數學的猜想力、判斷力、抽象力等，縱向數學化依靠數學的邏輯力、推理力等。

例如教學《認識三角形》（北師大版數學教材第8冊）后，教師可以出示這樣的問題情境：A和B分別住在一條小河的兩側，現在要在河上修一座橋，橋應該修筑在小河的什么地方？這是學生生活中的問題，因此學生對于這樣的問題并不陌生。他們嘗試畫圖，并且在畫圖的過程中將小河抽象成一條直線，將A、B兩戶人家抽象成數學上的兩個點（橫向數學化）。通過直覺，即“兩點之間線段最短”（縱向數學化），連接AB，交小河于點C，C點就是修筑小橋的地方。由于學生剛剛學過“三角形任意兩條邊的和都大于第三條邊”，筆者引導學生在直線（小河）上再取兩點，并說出理由。孩子們看到，他們構造了幾個三角形，且這幾個三角形都有一條公共邊，這條公共邊小于另外兩條邊的和（縱向數學化，根據“三角形三邊關系”）。在此基礎上，筆者將這個問題情境進行變換：A和B分別住在一條小河的同側，現在要在河上修一座橋，橋應該修筑在小河的什么地方？學生依然將問題情境橫向數學化，轉化成在直線的同側有兩個點，如何在直線上找到一個點，使得直線上的點與這兩個同側點之間的連線最短。然后，學生借助剛才的問題解決經驗，通過作A點的對稱點或者作B點的對稱點，將AB兩點從同側轉化成異側，連接AB，與直線的交點就是修筑小橋的地方。在對現實問題進行數學化的過程中，學生需要借助相關的數學知識，但這里的數學知識不再是死的知識，而是一種靈活運用知識的能力。

二、數學思維，形成數學品格之關鍵

數學是一門理性的學科。在《現代漢語詞典》中，理性與感性相對，指判斷、推理等活動能力。在理性的范疇下，思維能力應該是內核。筆者認為數學教學要凸顯“數學地思維”，甚至“通過數學學習學會思維”（鄭毓信語）。數學理性注重定量、精確的思維方式，注重批判性思維，注重反思性思維等。在數學教學中，教師要“引導學生運用思維方法的分析去帶動具體知識內容的學習”。基于思維教，圍繞思維學，能夠讓學生形成良好的數學品格。數學思維的內涵極其豐富，歸納與演繹、分析與綜合、抽象與概括、特殊化與一般化等。教學中教師不應讓學生僅僅停留在這些具體的思維上，更為重要的是要引發學生的思維自覺，培養學生的思維品格。

例如教學《認識千米》（北師大版數學教材第4冊），在學生通過各種方式建立了“千米”的表象，認識了“千米與米”的進率后，具有良好數學意識和數學批判性思維的學生會主動問學，“老師，在我們已經學習的長度單位中，毫米、厘米、分米、米之間的進率都是10，米和千米之間的進率是1000，米和千米之間有沒有其他的長度單位了？”是啊，這里確實有一個明顯的跨越，對學生來說是一個明顯的疑點。我們通常說相鄰兩個長度單位之間的進率是十，言外之意也就是這里的米和千米并不是相鄰的單位，那么在米和千米之間還有哪些長度單位呢？筆者借助互聯網，認識到在米和千米之間確實存在著“十米”和“百米”這兩個單位，由于這兩個單位在生活中很少運用，因此教材中并沒有收錄、介紹。教學這兩個單位時，如果我們將這兩個單位放進去，學生就能感受到數學的嚴謹，感受到數學知識是如此的規律，如此的嚴密。從毫米到千米，甚至學生還會在課后繼續探究下去，認識到微觀世界的長度單位如絲米、忽米、微米、納米等，認識宇觀世界的長度單位如光年等。這樣的認識和理解是超越經驗的，學生借助理性的思考能夠領悟到知識的本質。在教學中教師要導引學生學會發問，如“是什么？”“為什么？”“怎么樣？”等。如此，理性的種子必將在學生的心中生根發芽開花，學生的數學品格才能逐漸形成。

三、數學思想，賦予數學品格以質感

數學思想是學生的精神實體。什么是數學思想？數學思想的內涵很豐富，假設思想、轉化思想、類比思想、數形結合思想、整體思想、建模思想等。數學思想具有內隱性、統攝性的特質，豐富的數學思想能夠賦予數學品格以厚重的質感。美國著名數學教育家柯朗？羅賓曾經這樣說，“數學作為人類智慧的一種表達方式，反映生動活潑的意念、深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎是邏輯和知覺，分析和推進，共性與個性?！倍毡局麑W者米山國藏曾經這樣說，“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究方法和著眼點等，隨時隨地地發生作用，使人終身受益?！?

例如教學《圓錐的體積》（北師大版數學教材第12冊），一般教師是直接出示等底等高的圓柱和圓錐讓學生展開實驗，更有甚者運用多媒體演示實驗過程。試問，為什么要選用等底等高的圓柱和圓錐呢？多媒體演示的實驗可信嗎？是不是教師的精心預設呢？是不是忽悠人的呢？學生會產生一系列疑問。筆者在教學時充分發揮學生的主體性，激活學生的數學思維，讓學生運用數學的思想方法解決問題，使得教學富有深度，讓教學真正發生。

師：我們已經學習了圓柱的體積，這兒有一個圓錐，用怎樣的辦法可以得到圓錐的體積呢？

生1：可以將圓錐形的容器裝滿水，將水倒進量筒里，就能測量出圓錐的體積。（轉化思想）

生2：我反對，這樣測量的不是圓錐的體積，而是圓錐的容積。

生1：那么，我就將整個的圓錐形物體浸入水中，溢出來的水的體積就是圓錐的體積。（轉化思想）

生3：如果圓錐很大怎么辦呢？

生4：和圓柱的體積一樣，我們推導出圓錐的體積公式，只要運用公式就可以了。（模型思想）

師：猜想一下，圓錐的體積和圓錐的什么因素有關？

生5：圓柱的體積與底面積、高有關，我想圓錐的體積也應該與底面積、高有關。（類比思想）

生6：我們在學習三角形、梯形面積時是轉化成平行四邊形的面積的，我想圓錐的體積是否也可以轉化成圓柱的體積？（類比思想）

生7：我們可以將圓錐裝滿水，倒入圓柱中，看看倒幾次？（實驗思想）

……

學生在數學思想的激蕩下，選擇了等底等高的圓錐和圓柱，這是因為他們認識到，只有等底等高的圓柱和圓錐才便于轉化、便于比較。數學思想在這里成為學生主體能動的認知，他們在相互啟發中探究數學知識。

四、文化精神，閃爍數學品格之光輝

在深層次的數學素養意義上，數學是一種文化。數學教育必須以數學獨有的品格來濡染學生的身心，讓學生練就一種數學的眼光和頭腦。數學的文化品格不僅包括數學的思想方法，更包括數學情感、對數學的態度以及數學價值觀、數學人格修養等。文化來自于學生對數學內在美的追尋，來自數學本身的精神映射。

例如教學《年、月、日》（北師大數學教材第5冊），一位教師在學生通過“地球自轉”“地球公轉”“月球公轉”等天文知識推算出“四年一閏，百年不閏，四百年又閏”的閏年規律后，為了讓學生更加深刻地體驗“年月日”的分布規律，便讓學生在課后用自己喜歡的方式“造日歷”，充分發揮學生獨特的創造性智慧、情趣。學生創造性的智慧表達、靈性表達讓教師始料未及。有學生突破了日常生活中日歷平面化、單一化的特質，呈現出了多元化、立體化的日歷模型。如有學生用正12面體，將一年的12個月分別在每個面上顯示出來，旋轉正12面體，一年的時間便得到生動展現；有學生將一年分成了四個季度，每個季度三個月，用四個三棱錐進行展示，每個三棱錐的豎著的三個面分別展示每個季度中的一個月，這樣，一年的時間也得到生動展現；有學生將一年分成上半年和下半年，用兩個正方體分別進行展示，每個正方體的六個面分別展示半年中的每個月的時間，這樣，一年的時間同樣得到生動展現。在這個過程中，學生的數學意趣得到了最佳的凸顯和弘揚。

愛因斯坦說，“什么是素質？素質就是一個人遺忘了在學校所學的所有知識后剩下的東西”。這剩下的東西是什么？毫無疑問，應該是一種數學品格。數學品格是包括數學思想方法在內的一切數學文化、數學精神實體。在數學教育中，只有關注學生數學品格的涵育，才能讓學生形成完整的數學核心素養。