善用錯(cuò)誤效應(yīng) 提高思維能力

王利亞

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、空間想象能力上有著突出的作用. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生往往會(huì)對(duì)某些問題難以理解、掌握，常常出現(xiàn)邏輯、理解、運(yùn)算等錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)過程中的錯(cuò)誤常常影響著學(xué)生對(duì)知識(shí)的了解和知識(shí)更深層次的運(yùn)用、理解，這無疑對(duì)學(xué)生形成扎實(shí)的雙基和更進(jìn)一步的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了副作用. 本文將從獨(dú)特的視角去闡述，如何正確面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并以這些錯(cuò)誤為載體更好地提高學(xué)生的思維能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；錯(cuò)誤；思考；思維能力

在教學(xué)中，筆者常常遇到學(xué)生這樣的問題：“老師，我能聽懂你上課的內(nèi)容，但是當(dāng)遇到自己做題時(shí)卻往往有各種各樣的錯(cuò)誤，有些是計(jì)算上的、有些是知識(shí)理解上的、有些是方法選擇上的，最難的是有無從下手的！這該怎么辦呢？”這一現(xiàn)象，我們稱之為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“懂而不會(huì)”，在高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中普遍存在，久而久之有些學(xué)生因此而喪失了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，甚至致使少數(shù)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的佼佼者淪為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的失敗者.

分析學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，筆者認(rèn)為有利于改善我們的教學(xué). 從這些錯(cuò)誤的原因來看，諸如高中數(shù)學(xué)知識(shí)的難度上升、學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的差異、學(xué)習(xí)心態(tài)穩(wěn)定與否、家庭教育的全面性等等都有一定的關(guān)系. 本文將從數(shù)學(xué)知識(shí)角度來進(jìn)行分析，筆者認(rèn)為學(xué)生在進(jìn)入高中之后，隨著高中數(shù)學(xué)更具形式化、更抽象，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解遇到了困難，久而久之的困難堆積形成思維障礙，這些障礙形成學(xué)生學(xué)習(xí)過程中大量錯(cuò)誤的積累，在得不到及時(shí)解決時(shí)便會(huì)造成大量困難. 因此，筆者在想將這些錯(cuò)誤成因進(jìn)行歸類，并利用這些常見的錯(cuò)誤引導(dǎo)學(xué)生分析、理解，進(jìn)而減少其學(xué)習(xí)過程的類似錯(cuò)誤，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性和其思維能力，這對(duì)于教師而言是具有重要意義的工作.

[?] 從雙基錯(cuò)誤提高思維辨別

雙基教學(xué)一直是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，也是課程改革中堅(jiān)持下來的東西. 從高一到高二，學(xué)生一直致力于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的新知，在此過程中打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)顯得尤為重要. 相比初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)發(fā)生了巨大的變化：新知的進(jìn)度完全超乎學(xué)生的想象，使得高一新生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常疲憊；數(shù)學(xué)的題型變化多端，即使能理解教材中的數(shù)學(xué)基本知識(shí)也難以完全應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的試題；高中數(shù)學(xué)的運(yùn)算水平陡然上升了層次，在計(jì)算上使一般計(jì)算水平的學(xué)生止步不前等等. 這些都是雙基的具體表象，在這些困難的背后，造成學(xué)生不斷在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤. 如何解決和利用這些錯(cuò)誤使得學(xué)生學(xué)習(xí)更堅(jiān)實(shí)？進(jìn)而提升學(xué)生的思維能力呢？來看一個(gè)案例：

案例1（高一抽象函數(shù)）函數(shù)f（x）對(duì)任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x>0時(shí)，恒有f（x）>1.

（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)；（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）<2.

學(xué)生錯(cuò)誤成因：（1）對(duì)抽象函數(shù)，在教師的角度而言都是一類問題，學(xué)生卻難以理解：明明沒有表達(dá)式卻要分析其單調(diào)性、奇偶性，怎么使用條件中的抽象式是難點(diǎn)；（2）在解決抽象不等式的時(shí)候，學(xué)生沒有利用單調(diào)性脫去“f”的思想，致使問題停留在表層.

善用錯(cuò)誤效應(yīng)：抓住這樣的抽象函數(shù)問題，筆者對(duì)其進(jìn)行舉一反三的分析：（1）對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義，應(yīng)該構(gòu)造出f（x2）-f（x1），并與0比較大小. （2）將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”是本小題的切入點(diǎn).要構(gòu)造出f（M）

解析：（1）設(shè)x10. 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，所以f（x2-x1）>1，f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1，所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1>0·f（x1）

（2）因?yàn)閙，n∈R，不妨設(shè)m=n=1，所以f（1+1）=f（1）+f（1）-1?f（2）=2f（1）-1，f（3）=4?f（2+1）=4?f（2）+f（1）-1=4?3f（1）-2=4，所以f（1）=2，所以f（a2+a-5）<2=f（1），因?yàn)閒（x）在R上為增函數(shù)，所以a2+a-5<1?-3

思維辨別：本題對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的判斷是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn). 不會(huì)運(yùn)用條件x>0時(shí)，f（x）>1. 構(gòu)造不出f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1的形式，找不到問題的突破口. 第二個(gè)關(guān)鍵應(yīng)該是將不等式化為f（M）

[?] 從綜合問題提高思維整合

立足雙基之后的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)要提高到整合性教學(xué)的層面來面對(duì)錯(cuò)誤效應(yīng)，進(jìn)而提高思維的整體性和整合能力. 本人認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)中立體幾何是思維整合性和整體性較好體現(xiàn)的知識(shí)板塊，近年的高考立體幾何題多選擇的是可以用傳統(tǒng)法和向量法均能解決的幾何體編制的試題，既關(guān)注了傳統(tǒng)法，也留意向量法. 傳統(tǒng)法的優(yōu)點(diǎn)是少運(yùn)算多思考，向量法則恰恰相反，我們的教學(xué)中不能過于依賴某種方法，既學(xué)好傳統(tǒng)法有利于解決簡(jiǎn)單的證明和培養(yǎng)空間想象能力，也能利用向量法解決角和距離，這里的一個(gè)“度”的把握，提高了綜合問題解決的思維整合.

（2）設(shè)D是BB1的中點(diǎn)，DC1與平面A1BC1所成的角為θ，當(dāng)棱柱的高h(yuǎn)變化時(shí)，求sinθ的最大值.

學(xué)生錯(cuò)誤成因：（1）傳統(tǒng)法中線面角概念的缺失及傳統(tǒng)方法中線面角的尋找；（2）空間向量法中運(yùn)算能力的缺失.

善用錯(cuò)誤效應(yīng)：第（2）問求解線面角時(shí)，主要抓住傳統(tǒng)法中的線面角定義，怎么不斷通過線面垂（射影）去找尋線面角對(duì)學(xué)生來說是難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)；另外一種方法是利用空間向量法，本題的直角坐標(biāo)系建立比較容易，要解決線面角最大的易錯(cuò)之處就是空間向量的運(yùn)算.

思維整合：線面角一直是立體幾何的難點(diǎn)，傳統(tǒng)法最大的困難在于如何找到其所在；向量法的易錯(cuò)點(diǎn)很明顯在兩個(gè)方面，其一是代數(shù)的運(yùn)算，其二是傾斜的幾何體或組合體如何解決.

總之，本文在數(shù)學(xué)基本和整合的角度談了問題的錯(cuò)誤效應(yīng)，以及利用錯(cuò)誤提升思維的兩個(gè)方面. 限于時(shí)間和篇幅，著重以“雙基的錯(cuò)誤效應(yīng)、整合的錯(cuò)誤效應(yīng)”視角出發(fā)，以錯(cuò)誤為載體尋求應(yīng)對(duì)這些錯(cuò)誤的方法展開敘述，期間還有很多問題沒有涉及，還有一些方面本人未能從自身的教學(xué)實(shí)踐中提煉、總結(jié)出來，期待補(bǔ)充. 以上是筆者的管窺之見，希望大家能夠不吝賜教.