新課程改革下數學課堂如何培養學生思維的靈活性

譚杰

摘 要：新課改下新課程標準強調“知識結構”與“學習過程”，目的在于發展學生的思維能力。因此做好學生思維品質的培養工作，使學生的思維得到更好的發展勢在必行。本文討論了新課程改革下培養學生思維靈活性的必要性，常用方法以及靈活的思維對學生的學習的重要影響。

關鍵詞：新課程改革；思維的靈活性；發散思維

新課改下新課程標準強調“知識結構”與“學習過程”，目的在于發展學生的思維能力。因此做好學生思維品質的培養工作，使學生的思維得到更好的發展勢在必行。在教學實踐中如何培養學生思維具有靈活特點呢？

一、通過培養“發散思維”來提高思維靈活性

（一）引導學生對問題的解法進行發散

在教學過程中，用多種方法，用一題多解來培養學生思維過程的靈活性。<例>設α∈R，函數f（x）=2x3-3（a+2）x2+12ax+4.若f（x）在（-∞，1）上為增函數，求常數a的取值范圍；

解法一：先求f（x）當a≥2時的增區間為（-∞，2）和（a，+∞），再求出f（x）當a時的增區間為（-∞，a）和（2，+∞）.在這兩種情況下已知區間（-∞，1）都是增區間的子集，所以可得a≥1.

解法二：由f（x）在（-∞，1）上是增函數可得f′（x）=6x2-6（a-2）x+12a≥0對x∈（-∞，1）恒成立，這樣就轉化為求一元二次函數的最小值，使最小值大于或等于0可以求得a≥1.

解法三：因為f（x）在（-∞，1）上為增函數，所以只要使得f′（x）在區間（-∞，1）大于0即可，又因為f′（x）一元二次函數，所以當（1）Δ=6x2-6（a-2）x+12a≤0時得a=2，（2）當Δ>0時，即a≠2時，有a+2>1且f′（1）≥0，可得a≥1且a≠2綜合（1）、（2）得a≥1。

（二）引導學生對問題的結論進行發散

<例>已知：sinα+sinβ= （1）， cosα+cosβ= （2），由此可得到哪些結論？

讓學生進行探索，然后相互討論研究，各抒己見。

想法一：（1）2+（2）2可得cos（α-β）=﹣ （兩角差的余弦公式）。

想法二：由sin2α+cos2α=1消去α得4sinβ+3cosβ= ：消去β可得4sinα+3cosα= （消參思想）

想法三：（1）+（2）并逆用兩角和的正弦公式：

sin（α+ ）+sin（β+ ）= （1）-（2）并逆用兩角差的正弦公式。

sin（α- ）+sin（β- ）= sin（α-θ）+sin（β-θ）=0（θ=arctg ）

二、以思維靈活性的提高帶動其他思維品質的提高，以思維其他品質的提高來促進思維靈活性的培養

（一）思維的深刻性指思維過程的抽象程度，指是否善于從事物的現象中發現本質，是否善于從事物之間的關系和聯系中揭示規律

<例>方程sinx=lgx的解有（ ）個

A、1 B、2 C、3 D、4

學生習慣于通過解方程求解，而此方程無法求解常令學生手足無措。若能換一個靈活的思維角度思考：運用數形結合思想轉化為求函數圖象交點問題，尋求幾何性質與代數方程之間的內在聯系。思維靈活性才有了用武之地。

（二）思維的廣闊性是指善于抓住問題的各個方面，又不忽視其重要細節的思維品質

<例>已知二次函數在y軸上的截距為3，對稱軸為直線x=-1，在x軸上截得線段長為4，求一元二次方程。

解法一：截距為3，可選擇一般式方程：y=ax2+bx+c（a≠0）

顯然有c=3，利用其他條件可列方程組求a，b值。

解法二：由對稱軸為直線x=-1，可選擇頂點式方程：

y=a（x+1）2+k（a≠0）利用已知條件可列方程組求a，k的值。

解法三：由圖象對稱性可知x軸上交點為（l，0）和（-3，0）。由截距為3，知函數圖像過點（0，3）、（l，0）和（-3，0）， 可選擇一般式方程：y=ax2+bx+c（a≠0）代人點坐標，列方程組求a，b，c值。

解法四：由一元二次方程與二次函數關系可選擇兩根式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）（必須與x軸有交點）顯然；x1=-3，x2=1。由截距3，可求a值。

（三）思維的獨創性指思維活動的獨創程度，具有新穎善于應變的特點

<例>求值：sin210°+sin250°+sin10°sin50°

一般解法：左=1- （cos20°+cos100°）+sin10°sin50°

=1-cos60°cos40°+ （﹣cos60°+cos40°）

=

獨特靈活的解法1：令x=sin210°+sin250°+sin10°sin50， y=cos210°+cos250°+cos10°cos50°，則x+y=2+cos40°，x-y=﹣cos40°- ，即2x= ，則原式=

構造對偶式求解，思維靈活頗有獨創性。

學生對結論的可靠程度進行懷疑，在獨立分析的基礎上，靈活運用三角函數的單調性來確定三角形內角的取值范圍，嚴密論證了三角函數值取值的可能性。

隨著新課改革的進程，培養學生的思維品質已成為我們教育工作者的共同認識。我要繼續努力以求獲得更大進步。