初中數學復習中習題變式中條件的弱化和強化

張英杰

摘 要：中考數學復習中，教師要加強對課本例、習題和中考數學試題的研究，立足基礎，力求變化，形成問題鏈，以達到“做一題，通一類，會一片”的教學效果，真正提高45分鐘的課堂復習效益，切實減輕學生的學習負擔。

關鍵詞：復習 變式 題組

新課程下的數學教學，我們強調的是教師的“變通”。現在處于緊要關頭的中考數學復習教學，更能體現教師的付出和實效，目的是在兩三個月的時間內達成中考復習的各項目標，這里包括數學知識的全面掌握、解題的技能和各種能力的強化提高、數學思想方法的靈活應用等。

我以一道極其常見而又簡單的習題為例，看看中考數學復習教學中幾何問題所常用的變式策略，并選某地的中考數學試題具體說明對問題的變式及應用，給中考數學復習以啟示。

題目 已知：在 和 中，AC=CE，點D在邊BC的延長線上，且 。求證： 。

一、分析思考拓展

從學生熟悉又簡單的問題出發，通過不斷演變，逐漸深入研究，不但有利于學生學習的畏難心里，讓學生積極、主動地投入到中考數學復習中，而且還有利于幫助學生全面又系統地掌握數學知識、數學思想和數學方法，大大的提高學生綜合應用知識解決問題的能力。

我們知道，幾何問題的演變策略通常有五種：

（1）條件的弱化或強化；

（2）結論的延伸與拓展；

（3）基本圖形的變化和拓展；

（4）條件、結論的互逆變換（即建立并討論原命題的逆命題）；

（5）基本圖形的構造與應用；二、以“條件的弱化或強化”為例，分析變式

針對上面習題的條件“AC=CE（線段相等）”、“ （三個角都為直角）”和特殊結論“ （三角形全等）”，以及所具有的簡單而特殊的圖形，我們可以對這道習題作各種常用的變式。下面我們就嘗試一下這道題的條件的弱化或強化。

當一個命題成立的條件較為多樣時，我們可考慮減少其中一兩個條件，或將其中的一兩條件“一般化”，并確定相應的命題結論，這樣的目的是概括成新命題以求拓展應用。針對上述習題中的關鍵條件“AC=CE”和“ ”，可分別弱化或同時弱化。

1.弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結論由三角形全等弱化為三角形相似

變式命題1：在 和 中，點D在邊BC的延長線上，且 。求證：△CAB～△ECD。

例1 正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連接AP，過點P作 交DC于點Q，設BP的長為 cm， CQ的長為 cm。

（1）求點P在BC上運動的過程中 的最大值；

（2）當 時，求 的值。

例2 邊長為1的正方形OABC的頂點O為坐標原點，點A在 軸的正半軸上，點C在 軸的正半軸上。動點D在線段BC上移動（不與點B，C重合），連接OD，過點D作 ，交邊AB于點E，連接OE。記CD的長為 .

（1）當 時，求直線DE的函數表達式。

（2）如果記梯形COEB的面積為S，那么S是否存在最大值？若存在，試求出這個最大值及此時 的值；若不存在，試說明理由。

（3）當 的算術平方根取最小值時，求點E的坐標。

[分析]我們來看例1和例2，一道是中等難度的運動變化問題，一道是中考壓軸題，它們都巧妙地運用了正方形的特殊性，弱化了條件，發現問題中所蘊含的變式命題1，并能正確運用其具有的相似這一結論，成了解決此類問題的突破口。

2.同時弱化條件“線段相等”和“直角”，則結論由全等弱化為相似。

變式命題2：在 和 中，點D在邊BC的延長線上， 。則： ～

這里的條件為三個角相等，至于等于多少度，并無要求，可以是下面例題中的 、 或 等特殊的度數，也可以是一個一般的度數。因而，變式命題3在中考命題中的拓展與應用更為廣泛。

例3 在等腰 中，AB=AC=8， ，P為BC的中點。小紅拿著含 角的透明三角板，使 角的頂點落在點P，三角板繞點P旋轉。

（1）當三角板的兩邊分別交AB，AC于點E，F時，

求證：△BPE～△CFP

（2）操作：將三角板繞點P旋轉到圖1（2）情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E，F。

（1）探究1、 與 還相似嗎？

（2）探究2、連接EF， 與 是否相似？試說明理由。

（3）設EF=m， 的面積為 ，試用含m的代數式表示 。

[分析]我們看三個例題分別結合學生熟悉的等邊三角形、等腰直角三角形和三角板，創設了“3個角相等”的條件，因而三例都要運用三角形相似解決問題。通過這一系列問題的解決，讓學生經歷了問題的變化、解決的過程，幫助學生認識蘊含在這些變化中的共同點和規律，有助于提高學生對此類問題及其解決策略的認識、理解與掌握。

例4 在筆直的公路的同側有A，B兩個村莊，已知A，B兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km。

（1）現要在公路上建一個汽車站P，使該車站到A，B兩村的距離相等，試用直尺和圓規在圖中作出點P（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）若連接AP，BP，測得 ，求A村到車站P的距離。

[分析]我們看這題是一道幾何實際應用問題，題中給出了AC，BD的長度，強化了基本問題的條件，學生若能發現這一點，就能很快運用三角形全等和勾股定理解決問題。

通過具體的案例，我們發現在中考數學復習中，教師要加強對課本例、習題和中考數學試題的研究，立足基礎，力求變化，形成問題鏈，以達到“做一題，通一類，會一片”的教學效果，真正提高45分鐘的課堂復習效益，切實減輕學生的學習負擔。

參考文獻

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