探究分數教學 培養“幾何直觀”

江蘇省常熟市張橋中心小學 顧 健

探究分數教學 培養“幾何直觀”

江蘇省常熟市張橋中心小學 顧 健

“幾何直觀”是《數學課程標準（2011年版）》的十大核心理念之一，《課標》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”“幾何直觀”不但是學生理解和解決幾何問題的必備技能，可將抽象問題直觀化，而且是攻克數與代數難題的得力武器。本文擬以分數教學為例，探究“幾何直觀”能力的培養。

一、試卷調查與分析

筆者統計了六年級下冊一份模擬試卷的測試結果。

表1 六年級下冊模擬試卷測試結果統計表 （測試總人數：232人）

由上表可知，該卷中填空題的錯誤率最高。以下題為例：

許多學生往往惑于“3米”、“四次”等量詞，忘記了題中隱含的“圖形”，以致得出錯誤答案。筆者認為，這正是學生們欠缺“幾何直觀”能力所致。

二、改進教學

上引例題屬“數與代數”領域，這一領域相對抽象，理解較難，而利用“幾何直觀”將抽象的數學對象直觀化，能夠變虛為實、化繁為簡，有助于學生破題、解題。

（一）使用模型

數學源于生活，而生活中的事數學化后，其本身的幾何背景往往被虛化于焦外，變得抽象而不易把握。教師可以借助適當的圖形模型，把抽象問題形象化。

仍以前題為例，我們可以借助線段圖，把“3米的鐵絲”看成單位“1”，畫出一條線段。題中要求“剪四次”，即將此線段平均分成5份。這時，第一問就轉化為“其中的一份是單位‘1’的幾分之幾”，答案顯然是據此，第二問自然迎刃而解。

（二）畫圖訓練

畫圖示范，是教師培養學生“幾何直觀”能力慣用的辦法。在教師的引導下，學生們大多能較好地模仿。但當他們獨立解題時，他們的“幾何直觀”能力就往往被有意無意地“隱藏”了。究其原因，一是懶于畫圖，二是以圖形描述題意的能力尚有不足。針對上述情況，教學中應重視以下幾點。

1．誘發學生畫圖的意愿

畫圖解題最初往往是教師的要求，而非學生自覺。只有當它成為學生自覺的行動時，教學才會水到渠成。適當的誘導，特別是解答難題時的“現身說法”，更能激發學生畫圖解題的意愿。以下是四年級下冊“解決問題策略‘畫圖’”課堂教學的片段：

出示例2。

提問：你能想清楚數量關系解決這題嗎？

……

提問：你想到哪里想不清楚了？

生1：想著想著就混亂了。

生2：開始覺得挺簡單的，想到面積增加18平方米，就想不清楚了。

師：人的想象是具有局限的，當我們想不清楚的時候，該怎么辦呢？

生：畫圖。

……

教師不是把“畫圖”直接塞給學生，而是通過創設問題情境，激發學生的認知沖突。有了想象的基礎，學生知道哪里有困難、想不清楚，從而產生畫圖的需求，這種需求越強烈，越能激發學生學習的興趣，越能走向畫圖的本質。

2．教授必要的畫圖技能

有畫圖的意愿而缺乏相應的技能，畫圖解題只能是空談。教師應示范并逐步放手讓學生獨立畫圖，幫他們養成基本的畫圖技能。

在蘇教版“稍復雜的分數乘法實際問題（2）”中，如何準確畫出線段圖是其難點。為了突破這個難點，教師示范畫出“今年班級數是24個”后，詢問“今年班級數比去年增加了怎么畫？去年班級數怎么畫？通過這種層層設問，學生逐步掌握了畫線段圖的方法。

3．培養畫圖解題的習慣

答題完成后，教師應引導學生回顧解題過程，通過比較，加深學生對直觀圖形在分析、解決問題過程中作用的認識，讓學生切實認知到直觀圖形的價值，逐步養成畫圖解題的習慣。

（三）讀圖訓練

數學教學中，遇到一些難以用語言解釋的抽象問題時，直觀圖形的效用就凸顯出來了。直觀的現實情景和幾何形象，有助于激發學生自主思考的意愿，但對圖形中數學信息的理解并非與生俱來，需要多加訓練。表1就反映了學生讀圖能力的不足。

1．借助圖形表征概念

【片段一】蘇教版三年級下冊“分數的初步認識（2）”。

圖1

圖2

通過三種層次的比較，明確：只要把一個圖形平均分成了兩份，每一份就是該圖形的雖然紙片的分法、大小、形狀不一，但都符合的基本特征，這一特征是連接這些圖形的共同點。借助這些圖形，學生能直觀地感知不同情境下的進行抽象概括，建構的模型，讓的“幾何直觀”形象深入人心。

2．借助圖形表征算理

【片段二】蘇教版六年級上冊“分數除以整數”。

師：你是怎樣想的？

3．圖形表征數量關系

【片段三】蘇教版六年級上冊“稍復雜的分數乘法實際問題（1）”。

師：你能根據題意畫出線段圖嗎？

師：怎么表示？

生：把線段平均分成9份，其中的5份是男運動員，剩下的是女運動員。

師：你能看著線段圖再說說題意嗎？

師：仔細觀察線段圖，男運動員與女運動員有怎樣的關系？要求女運動員有多少人，可以先求什么，再求什么？你是怎樣想的？

解決稍復雜的分數乘法問題時，我們借助了圖形直觀描述和分析問題，幫助學生理解數量關系，掌握了解決問題的思路。

（四）分析問題訓練。

“幾何直觀”的價值在于幫助分析問題，形成解決問題的思路。利用“幾何直觀”，就是用圖形描述和表征數學問題，幫助學生把握問題情境中的信息，從整體上理解問題，找到問題的突破口，從而獲得正確的解題思路。加強“幾何直觀”教學，不只是要求學生會抽象出直觀模型、畫圖、讀圖，更要求學生能借助“幾何直觀”進行觀察、比較、分析和想象，進而洞察問題的結構和關系。

（五）體悟思想。

借助“幾何直觀”分析問題的過程，蘊含著數形結合的思想，其核心就是“數-形-數”的轉化。

當學生具備了數形結合的意識，遇到問題時能自覺地利用圖形來解釋或說明，表明他已具有一定的“幾何直觀”意識。無論利用何種載體，只要能不斷鍛煉學生自覺借助圖形“說話”的意識，都能有效發展他們的“幾何直觀”能力。