高等院校解析幾何教學改革淺談

【摘要】《解析幾何》是大學數學專業的一門主要基礎課，是對平面解析幾何及立體幾何的擴充和延伸，同時，它是大學很多其他課程的基礎，因此掌握好解析幾何的內容非常重要，本文作者從幾年的教學經驗中，針對教學過程中發現的問題，闡述總結了在教學改革中的實踐經驗。

【關鍵詞】解析幾何 ； 教學改革 ； 現代教育技術

【基金項目】廣西高等學校特色專業及課程一體化建設項目（GXTSZY2220）《數學與應用數學》；河池學院重點學科《應用數學》（2007）和《統計學》（2013）；2011年度院級青年科研立項A類項目（2011A-N009）。

【中圖分類號】O182-4 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）7-0001-02

解析幾何是一門較為基礎的課程，它是大學很多其他課程的基礎，如高等幾何、微分幾何、數學分析、高等數學等。此外，解析幾何的思想方法已滲透到中學的各個部分之中，它對提高學生的抽象思維能力、邏輯推理能力以及培養學生的創造能力也起著非常重要的作用。本文作者從幾年的教學經驗中，針對教學過程中發現的問題，談談師范院校解析幾何這門課程的教學改革。本文針對的教材是呂林根，許子道等編寫的《解析幾何》教材。

1.重視第一章——向量與坐標的學習，聯系中學初等幾何的內容，培養學生對本門課程的興趣

解析幾何的基本思想是用代數的方法來研究幾何，把幾何的研究從形的定性研究推進到可以計算的定量的層面，為了把代數運算引到幾何中來，最根本的做法就是設法把空間的幾何結構有系統的代數化，數量化。因此，教材《解析幾何》第一章所列內容向量與坐標是全書的工具和基礎.第一章的作用在本門課程的另一個重點內容平面與空間直線的教學中體現得尤為突出。在那里，平面方程和空間直線方程的建立，不過是向量互垂、向量共面、向量共線條件的應用。各種各樣的距離不過是向量的模的計算，而各種各樣的角的計算統統可歸為兩向量的夾角的計算，因此，在整個解析幾何教學過程中，注重第一章的學習，在第一章多花一些時間和功夫，掌握工具，打牢基礎，是很有必要的。這一章的特點是基本概念多、靈活技巧少，因此這一章的教學可采用概念符號鑒別法，自始至終緊扣每一個概念和符號的內涵，許多問題便迎刃而解了。另外這一章里前三節是高中已學過的內容，可讓學生先自學當做復習舊知，然后老師在強調重點概念，這樣學生對要掌握的知識印象更深刻。

在本章向量的學習內容中涉及到利用向量法解決初等問題的內容，在講授這些內容的時，讓學生感受到利用解析幾何的內容和方法，可以很簡便地處理一些初等問題。而方法上比中學的方法簡單很多，能激起學生的學習興趣，又能掌握好現所學的知識，對后面內容的學習有深遠的影響。

1.1利用向量方法可以簡便證明初等幾何中有關平行、垂直、相交等結論

例如證明四面體對邊中點的連線交于一點，且互相平分等。

1.2 利用向量法可以證明有關三角形、平行四邊形的一些量

比如三角形余弦定理、正弦定理、面積的海倫公式的，而且方法簡便。

1.3 利用向量運算可以簡便地算一些幾何量

比如利用向量積的模可以計算三角形、平行四邊形的面積，利用三向量的混合積的絕對值可以計算四面體、平行六面體的體積等。

2.在教學中要注意培養學生的空間想象能力，注重提高學生對空間圖形的繪制技能和技巧，為后續課程如微積分的學習打下堅實基礎

微積分是理工科學習的一門必修課，而重積分的計算是微積分學的一個重要的內容，計算重積分的一個關鍵就是要能夠根據曲面的方程繪制出一些簡單曲面的圖形，很多學生在學習這部分內容時都覺得繪制圖形很難，這就需要在解析幾何第2、3、4章的學習中打好基礎。

2.1 強調空間圖形方程的一般形式

解析幾何就是用代數的方法來研究幾何。它的基本的數學思想就是數形結合，通過標架，建立了空間的點、向量、有序數組的一一對應關系。點構成曲線（面），變數構成方程，點與數組既因坐標系的建立而聯系起來，曲線（面）與方程自然也可通過坐標系而結合起來。從而，研究曲線與曲面的幾何問題就可歸結為研究其方程的代數問題了。由幾何到代數，再由代數到幾何。幾何條件的代數表示，代數式子及代數步驟的幾何解釋，這是貫穿整個解析幾何內容始終的數學思想和方法。抓住了這一思想和方法，就是抓住了關鍵，這樣的例子是很多的。建立平面曲線的方程和建立空間曲面方程，基本的方法都是把曲線（曲面）上點所滿足的幾何條件用代數式子寫出來。由幾何條件到代數式子的勾通橋梁都是坐標系.所不同的只是空間范圍而已。如平面圖圖形在平面范圍（二維）里面討論是用二元方程F（x，y）=0或一元函數y=f（x）來表達。方程x2+y2=1在平面上表示xoy平面上的單位圓。三元方程F（x，y，z）=0或二元函數z=f（x，y）表示空間的曲面，如三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示平面，而方程x2+y2=1在空間表示準線為xoy平面上的單位圓，母線平行于z軸的柱面。空間曲線一般是表現為空間兩個曲面的交線，所以用方程組F1（x，y，z）=0F2（x，y，z）=0來表示，如空間直線的一般方程為？仔1：A1x+B1y+C1z+D1=0，？仔2：A2x+B2y+C2z+D2=0.，表現為兩個平面的交線。因此拿到一個方程要分析是什么圖形一定要注意它是在二維（平面）還是在三維（空間）里討論，因一個方程在二維平面表示曲線，而在三維空間表示曲面，如方程x2+y2=1。掌握圖形方程的一般形式讓學生從以前的認識中走出來。另外要特別強調，在三維空間一個方程F（x，y，z）=0或二元函數z=f（x，y）只能表示空間的曲面，不能表示空間曲線，空間曲線必須要用方程組來表示，有不少學生總喜歡把空間直線方程寫成Ax+By+Cz+D=0的形式，這是一個明顯的錯誤。endprint

2.2對“消去”、“聯立”等每一代數步驟都能作出相應的幾何解釋

在代數上從兩個三元方程消去一個元，這樣的幾何意義就是求空間曲線L的射影柱面，例如在空間坐標系中，方程組x2+y2+z2=9 （1）z=1 （2）表示一個圓，它為球面（1）和平面（2）的交線，將（2）代入（1）消去z得x2+y2=8（3）表示求出剛才的圓對xoy面的射影柱面，它是一個圓柱面，（2）與（3）聯立得x2+y2=8 （1）z=1 （2）即用圓柱面和平面的交線來表示剛才的那個圓。對這樣的方法步驟理解透徹，學生就能舉一反三，應用自如地去自己討論問題。如用截面法去討論單葉雙曲面的形狀時，學生就會很容易理解。

3.以學生為本，充分發揮學生學習的主動性

啟發式是一切好的教學方法的公因子，堅持啟發式，廢止注入式、填鴨式、滿堂灌。學生是學習的主體，一定要調動主體的參與意識， “平面與空間直線”一章在整個解析幾何中占了很大的分量和篇幅，在教材中整整列了8節，若由教師順著教材按步就班，至少要安排16學時。但統覽教材，進行合理的教學設計，本章無非是三個內容：1）如何建立平面方程；2）如何建立空間直線方程；3）空間中點、直線、平面的相關位置。在向量工具熟練掌握的基礎上，建立平面方程，不過是兩向量互垂、三向量共面的具體應用。建立空間直線方程，不過是兩向量共線的具體應用。至于空間中點、直線、平面的各種位置關系，在中學立體幾何就已學過，只不過在這里要通過坐標、向量、方程來定量地研究它們。經過教師啟發，學生自己構建了這樣一個知識體系：（1）空間中點、直線、平面的各種位置關系；（2）每一種位置的判別條件；（3）每一種位置下需要研究的問題，在學生自己構建的這個知識體系下，學生可以自己動手進行研究，自己檢驗知識掌握的情況，教師只作一些指點。這樣做，學生與中學知識聯系，親身體驗向量的工具作用，主動地參與進來，主動地自己探索，學起來感覺到輕松而充實，初步嘗到了自己作為學習主體的甜頭。

4.充分使用現代教育技術手段

現代教育技術的快速發展加快了課程改革的進度。解析幾何的教學過程中，空間概念、方程的建立以及曲面的研究等都離不開圖形，如果將幾何圖形畫在黑板上，不但看起來不清楚而且其準確性也較差，利用幻燈片投影教學、利用錄像片和VCD 教學、利用多媒體組合的教學手段教學。作為現代教育技術典型代表多媒體的輔助教學， 不僅有利于提高課堂的教學效率和教學質量，更有利于提高學生的空間想象能力。它可以對重要的幾何概念進行圖形化和實物化分析講解，對幾何圖形運用多媒體技術制作了圖文并茂的教學軟件和學習系列課件， 使教學內容的文字和圖形結合自然、形象、直觀。通過動態演示形象地揭示幾何概念的內涵， 清晰地展現幾何圖形的構造和特點， 達到傳統式課堂教學難以達到的效果。譬如，在橢球面教學過程中，通過電腦演示，用不同的平面截橢球面獲得曲線的形狀，重點突出，用“平行截線法”來對曲面的性質進行研究，很好地展現了對象的形成過程，進而揭示了對象的本質，這樣一來，就明顯提高了課堂教學效果，同時教學的信息量也增加了。又如， 對于空間解析幾何中柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面這一章內容， 可根據柱面、錐面、旋轉曲面具有較為突出的幾何特征的特點， 我們可以利用Maple、Mathematica 以及Flash 等軟件畫出它們的圖像， 并以動畫的形式展現出圖像形成的過程。在這種形象、逼真的學習環境下誘導學生開展積極思維， 然后用PowerPoint 依次給出柱面、錐面旋轉曲面的曲線方程及其母線、準線等相關概念， 通過系統的講解使學生得到啟發， 深入理解所講內容。這樣既調動學生學習的積極性， 又培養他們分析和解決問題的能力。

5.改革考核辦法

考試是教學過程中的重要環節， 是檢驗學生學習掌握情況、評價教學質量的手段。純粹的閉卷考核方式重記憶、輕理解， 重知識、輕智力， 重理論、輕實踐， 在某種程度上存在著一些弊端。所以， 改革考核方式將具有重要意義。對于解析幾何課程的考核可采取“多模塊， 取總評”的考核方式， 比如， 可將解析幾何的考核分為平時作業、其中測驗、上機考試（ 如實驗設計能力的考核、計算機數學軟件的使用等考核） 、期末理論考試四個模塊，每個模塊設定相應的比重， 然后取總評成績。這種考核方式， 除了要讓學生掌握課本的理論知識外，還注重學生平時各方面的表現以及各種能力的訓練， 有利于應用型人才的培養。

參考文獻

[1]呂林根，許子道等編. 解析幾何.北京：高等教育出版社.

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作者簡介：黃春妙（1982-），女，碩士，廣西田東人，河池學院數學系講師，主要研究方向：基礎數學。endprint